必修五 第三章 32 一元二次不等式的解法(全)

3.2一元二次不等式及其解法理解教材新知把握热点考向应用创新演练第三章不等式第一课时一元二次不等式的解法(1)考点一考点二考点三知识点一知识点二观察下列不等式：(1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0.问题1：上述不等式各有几个未知数，并且未知数的最高次数是多少？提示：各有一个未知数x，并且未知数的最高次数是2.问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？提示：形如ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中a，b，c为常数，且a≠0.

1.定义只含有

未知数，并且未知数的

的不等式，称为一元二次不等式．

2.一般表达式一元二次不等式的一般表达形式是ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0或ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0)，其中a、b、c为常数，a≠0．

一个最高次数是23.解与解集使一元二次不等式成立的

叫做一元二次不等式的

，所有的解所组成的

叫做一元二次不等式的

.x的值解集合解集已知一元二次不等式x2－2x＞0，一元二次函数y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0.问题1：二次函数的图像与x轴交点坐标是多少？提示：(0,0)，(2,0)．问题2：一元二次方程的根是什么？提示：x1＝0，x2＝2.问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？提示：交点的横坐标为方程的根．问题4：x满足什么条件，函数图象在x轴上方？提示：x＞2或x＜0.问题5：能否利用问题4得出不等式x2－2x＞0的解集？提示：能．不等式的解集为{x|x＞2或x＜0}．问题6：不等式x2－2x＜0的解集呢？提示：{x|0＜x＜2}．解一元二次不等式可以根据函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集

ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集

∅∅

{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x1<x<x2}R1．对一元二次不等式概念的理解

(1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，哪一个是变量“未知数”，哪一些是“参数”就可以．

(2)“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．2．①当Δ≥0(其中a＞0)时，相应的一元二次方程有两个实根，ax2＋bx＋c＞0的解集可简记为“判别式大于零，取两边”，ax2＋bx＋c＜0的解集可简记为“判别式大于零，取中间”；②当Δ＜0(其中a＞0)时，方程无实根，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是R，ax2＋bx＋c＜0的解集是∅.第一课时一元二次不等式的解法(1)[例1]解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6；(3)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．[思路点拨]

首先将不等式等价转化为不等式的右边是0，左边为ax2＋bx＋c(a>0)的形式，再求出对应方程的根，然后结合二次函数的图象写出解集．[精解详析]

(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．(2)原不等式可化为x2－7x＋6<0.解方程x2－7x＋6＝0，得x1＝1，x2＝6.结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为{x|1<x<6}．(3)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．[一点通]

(1)解一元二次不等式一般按照“三步曲”进行：第一步，化二次项的系数为正数；第二步是求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．

(2)当把二次项的系数化为正数，并求得相应方程的根后，也可以直接按下列技巧写解集，即“大于0取两边，小于0取中间”，意指“取根的两边”、“夹根的中间”．如(x－1)(x－2)>0⇔x<1或x>2；(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.1．不等式x>x2的解集是 (

)A．{x|x>1}

B．{x|x<0}C．{x|0<x<1} D．R解析：x>x2⇔x(x－1)<0⇔0<x<1.答案：C2．不等式x2＋6x＋10<0的解集是 (

)A．∅

B．RC．{x|x>5} D．{x|x<2}解析：∵Δ＝36－40＝－4<0，∴方程x2＋6x＋10＝0无实根．结合二次函数y＝x2＋6x＋10的图象知，不等式的解集为∅.答案：A3．解下列不等式：(1)2＋3x－2x2＞0；(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；[一点通]

“三个二次”之间的内在联系4．关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|x<2或x>3}，则b＝________，c＝________.答案：－5

65．若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1<x<m}，则a＝________，m＝________.答案：－2－2[例3]

(12分)解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.[思路点拨]

先将不等式的左边分解因式，就此得方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根，然后就a的取值范围比较两根的大小，从而写出不等式的解集．[精解详析]

原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2 .(2分)由a2－a＝a(a－1)可知:(1)当a<0或a>1时，a2>a.∴x>a2或x<a. (5分)(2)当0<a<1时，a2<a，∴x>a或x<a2. (8分)(3)当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0.

(9分)(4)当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，∴x≠1.

(10分)综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}. (12分)[一点通]

含参数的不等式的解题步骤为

(1)将二次项系数转化为正数；

(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；

(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．7．当a>－1时，关于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集是________．解析：原不等式可化为(x＋a)(x－1)>0∴方程(x＋a)(x－1)＝0.的两根为－a,1.∵a>－1，∴－a<1，所以不等式的解集为{x|x<－a或x>1}．答案：{x|x<－a或x>1}8．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R).解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)＜0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.(1)当a＞0时，x1＞x2，不等式的解集为{x|－a＜x＜2a}；(2)当a＝0时，原不等式化为x2＜0，无解；(3)当a＜0时，x1＜x2，不等式的解集为{x|2a＜x＜－a}．综上所述，原不等式的解集为a＞0时，{x|－a＜x＜2a}；a＝0时，x∈∅；a＜0时，{x|2a＜x＜－a}．1.解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标准形式；②确定判别式Δ＝b2－4ac的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根；若Δ＜0，则对应的二次方程无根；④联系二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集(在两根之内或两根之外)．2.解含字母参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用．

3.解一元二次不等式，应首先尝试因式分解法．若能够进行因式分解，那么在解含参数的不等式时，就可以避免了对Δ进行讨论．[例2]

已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．[思路点拨]原不等式对所有的实数x都成立，即原不等式(关于x)的解集为R.注意到二次项的系数为参数a，故应分a＝0与a≠0两种情况分类讨论.当a≠0时，可借助于“三个二次”关系求解．[精解详析]

若a＝0，则原不等式为－x－1<0，即x>－1，不合题意．故a≠0.令f(x)＝ax2＋(a－1)x＋a－1，∵原不等式对任意x∈R都成立，∴二次函数f(x)的图象在x轴的下方．∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0,3．若关于x的不等式x2＋x＋k>0恒成立，则实数k的取值范围是________．4．设a≠0，对于函数f(x)＝log3(ax2－x＋a)，若定义域为R，求实数a的取值范围．[例2]

某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．[思路点拨]

(1)按“税收＝收购总金额×税率”可建立y与x的函数关系式；(2)将不等关系用不等式表示，从而求解．[精解详析]

(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．

(5分)(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， (9分)化简得x2＋40x－84≤0， (10分)∴－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2.∴x的取值范围是0<x≤2. (12分)[一点通]

解不等式应用题，一般可按以下四步进行

(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；

(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；

(3)解不等式；

(4)回代实际问题．5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x