426高二春季同步班数学导数3

导数的综合应用【例1】已知函数f(x)x22alnx.1）若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1，求实数a的值；2）求函数f(x)的单调区间；（3）若函数g(x)2a的取值范围.f(x)在[1,2]上是减函数，求实数x【例2】已知函数f(x)1x2alnx(a0).2(1)若a2,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,求a的取值范围.【例3】设函数fxx1exkx2(其中kR).当k1时,求函数fx的单调区间和极值；(2)当k0，+时，函数fx在R上有且只有一个零点．1x【例4】已知函数f(x)lnxax（1）当a1时，求f(x)在[1,2]上的最小值；（2）若函数f(x)在[1,+2)上为增函数，求正实数a的取值范围；2（3）若关于x的方程1x2xlnx2mx0在区间1,e内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围．e【例5】已知函数1a1(a0)f(x)lnxaxx(1)谈论f(x)单调性(2)设g(x)x22bx4，当a1时，若关于任意的x1(0,2)，存在x2[1,2]，使得4f(x1)g(x2），求实数b的取值范围.【例6】已知函数f(x)2lnxaxa(aR).（1）谈论f(x)的单调性；（2）若f(x)0恒成立，证明：当0x1x2，f(x2)f(x1)2(11).x2x1x1【例7】已知函数f(x)1x2ax(a1)lnx，a12（1）谈论函数的单调性？（2）证明：若a5，则对任意x1，x2(0,)，x1x2f(x1)f(x2)，有1x1x2【例8】已知函数f(x)x1lnx（1）求函数f(x)的最小值；1111求证：当nN*23nn1.（2）时，e【例9】已知fxxlnx,gxx3ax2x2求函数fx的单调区间;求函数fx在t,t2t0上的最小值;(3)对所有的x0,,2fxg'x2恒成立,求实数a的取值范围.参照答案【例1】（1）f'(x)2a2x22a1,解得a32x，由已知f'(2)xx2(x3)(x3)（2）f'(x)xx,f'(x),f(x)的变化情况以下列图f(x)的减区间为(0,3)，递加区间为(3,)由g(x)2x22alnx,g'(x)xg'(x)0在区间[1,2]恒成立，即令h(x)1x2，h'(x)1xx27a2

22x2a,由g(x)在区间[1,2]为减函数知，x2xa1x2在区间[1,2]上恒成立x172x0h(x)在区间[1,2]上为减函数h(x)min422【例2】剖析：（1）a2,f(x)1x22lnx,f'(x)x2,f'(1)1,f(1)12x2f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x2y30ax2a，由a0及定义域为(0,)令f'(x)0得xa（2）由f'(x)xxx【例3】gtet2t,g(t)et2．t2,gt0,gt在2,上单增，【例4】剖析：（1）当a1f(x)111x1lnx1，f'(x)xx2x2，x于是，当x在[1,2]上变化时，f'(x),f(x)的变化情况以下表：2x1（1，1）1（1,2）222f'(x)－0＋f(x)1ln2极小值01单调递减单调递加ln22【例5】【例6】【例7】剖析:(1)f(x)的定义域为(0,)。f'(x)xaa1x2axa1(x1)(x1a)xxx（i）若a11即a2,则f'(x)(x1)2故f(x)在(0,)单调增加。x(ii)若a11而a1,故1a2则当x(a1,1)时，f'(x)0;,,当x(0,a1)及x(1,)时，f'(x)0故f(x)在(a1,1)单调减少，在(0,a1),(1,)单调增加。(iii)若a11,即a,f(x)在(1,a1)单调减少，在(0,1),(a1,)单调增加.2同理可得(II)考虑函数g(x)f(x)x1x2ax(a1)lnxx2则g(x)x(a1)a12xga1(a1)1(a11)2xx由于1<a<5,故g(x)0，即g(x)在(4,+∞)单调增加，从而当x1x20时有g(x1)g(x2)0，即f(x1)f(x2)x1x20，故f(x1)f(x2)，当0x1x2时，有x11x2f(1x)f2(x)2f(1x)1f(x)x1x2x2x1【例8】【例9】(1)f'(x)lnx1,令f'x0,解得0x1,efx的单调递减区间是0,1;e令f'x0,解得x1,efx的单调递减区间是1,.e(2)(ⅰ)0<t<t+2<1，t无解；e(ⅱ)0<t<1<t+2，即0<t<1时，f(x)minf(1)1；eeee1tt2，即t1时，f(x)在[t,t2]单调递加，(ⅲ)ee-10t1f(x)minf(t)tlntee，f(x)mint1tlnte(3)由题意:2xlnx3x22ax12在x0,上恒成立即2xlnx322ax1x可