平行线相似三角形性质和判定

平行线相似三角形性质和判定第一页，共五十一页，2022年，8月28日平行线的定义、性质和判定(1)定义

在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线(2)性质a.若两直线平行,则同位角相等、内错角相等、同旁内角互补b.平行线间的距离相等,夹在两平行线间的平行线段相等c.平行公理:过直线外有且只有一条直线和这条直线平行(3)判定a.若同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,则两直线平行b.若a∥c,b∥c,则a∥bc.在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b第二页，共五十一页，2022年，8月28日平行线的判定平行线的性质条件结论条件结论同位角相等两直线平行两直线平行同位角相等内错角相等内错角相等同旁内角互补同旁内角互补在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。第三页，共五十一页，2022年，8月28日平行线的判定平行线的性质条件结论条件结论同位角相等两直线平行两直线平行同位角相等内错角相等内错角相等同旁内角互补同旁内角互补在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。第四页，共五十一页，2022年，8月28日初学者容易混淆平行线的判定定理和性质定理两个方面加深理解：一是从意义上看平行的判定是“判定”平行就是说，在已知两角相等或互补或其它的题设下，得到两直线平行的结果；平行线的性质是“平行”以后才有的“性质”就是说，在已知两直线平行的题设下，得出的平行线的某些性质．二是从作用上看平行线的判定是证明两直线平行的依据平行的性质是作为证明两角相等或互补的依据．表达时要特别注意因果关系．第五页，共五十一页，2022年，8月28日例1如图，已知AD∥BC，∠BAD=∠BCD，求证：AB∥CD．错证因为AD∥BC(已知)，所以∠3=∠4(内错角相等，两直线平行)．又∠BAD=∠BCD(已知)，所以∠1=∠2(等量减等量，差相等)，所以AB∥CD(两直线平行，内错角相等)．诊断如果不考虑后面括号内所注明的理由，那么上述全部推导过程是合理的．但是从论证整个过程来看，这是错误的．原因在于对平行线的判定定理和性质定理混淆不清，因而造成逻辑推理上的错误．事实上，由两直线平行推出两角相等，是根据平行线的性质定理；由两角相等推出两直线平行，则是根据平行线的判定定理．第六页，共五十一页，2022年，8月28日例27如图2－19，已知OE，OF是两条射线，AC经过点O，且AB⊥OE于点B，CD⊥OF于点D，∠AOB=∠COD，求证：AB∥CD．错证因为AB⊥OE，CD⊥OF(已知)，所以AB∥CD(如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行)．诊断这里的问题在于：一是“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”在义务教材中没有作为定理，就不能作为证题的论据；二是没有证明E，O，F在一条直线上，就默认它们在一条直线上．这就犯了虚假论据的错误．正确证法因为∠AOB=∠DOC(已知)，∠AOD＋∠DOC=180°(平角定义)，所以∠AOD＋∠AOB=180°．又E，F分别在边OB，OD上，所以E，O，F三点在同一直线上．又因为AB⊥OE，CD⊥OF(已知)，所以∠ABO=∠CDO=90°．所以AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．第七页，共五十一页，2022年，8月28日例1.如图是某市部分街道图，比例尺是1:10000，请你估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.解：地图上的比例尺为1：10000，就是地图上的△ABC与实际三角形地块的相似比为1：10000，量得地图上AB=3.4cm,BC=3.8cm,AC=2.5cm。∴三角形地块的实际周长为9.7×104cm，即970m。∴三角形地块的实际面积为4.18×108cm2,即41800m2答：估计三角形地块的实际周长为970米，实际面积为41800平方米。∵ABCD∵×3.8×2.2=4.18cm2∴地图上△ABC的面积为则地图上△ABC的周长为3.4+3.8+2.5=9.7(cm)量得BC这上的高为2.2cm第八页，共五十一页，2022年，8月28日小结判断四条线段是否成比例的方法有两种：

(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等。若第1，4两个数的积等于第2，3两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例。(2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积。四条线的单位要一致第九页，共五十一页，2022年，8月28日例2

如图，在直角三角形ＡＢＣ中，ＣＤ是斜边ＡＢ上的高线，请找出一组比例线段，并说明理由.ＡＢＣＤ分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法?(看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积)第十页，共五十一页，2022年，8月28日

比例基本性质比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰:

横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘.

等比性质:合比性质:用“设k法”，计算。(b=0,d=0)线段a、d

叫做比例外项，线段b、c

叫做比例内项，线段d

叫做a、b、c的第四比例项.第十一页，共五十一页，2022年，8月28日第十二页，共五十一页，2022年，8月28日例.已知:如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.

试问:成立吗?为什么?ABCDEFABCEFABCDE等比代换第十三页，共五十一页，2022年，8月28日例.已知:如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB.

试问:成立吗?ABCDEFABCEFABCDE等线代换第十四页，共五十一页，2022年，8月28日三角形一边的平行线平行线分线段成比例性质定理判定定理定理(没有逆定理）平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.如果一条直线截三角形的两边,截得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边的直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧),所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.平行线等分线段定理两条直线被三条平行线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等与比例有关定理第十五页，共五十一页，2022年，8月28日字母型A平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.1.三角形一边的平行线的性质定理复习字母型X第十六页，共五十一页，2022年，8月28日平行于三角形的一边的直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.EADBCX字母

型ADEBCA字母型2.三角形一边的平行线的性质定理的推论第十七页，共五十一页，2022年，8月28日如果一条直线截三角形的两边,截得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.1.三角形一边的平行线的判定定理∥∥∥第十八页，共五十一页，2022年，8月28日如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧),所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.三角形一边的平行线的判定定理的推论∥∥∥第十九页，共五十一页，2022年，8月28日2023/2/5一、平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

（关键要能熟练地找出对应线段）小结二、要熟悉该定理的几种基本图形ABCDEFABCDEF第二十页，共五十一页，2022年，8月28日2023/2/5平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的线段对应成比例.推论第二十一页，共五十一页，2022年，8月28日平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。AB.E.F.GCDP推论1推论2平行线等分线段定理的应用把线段n等分证明同一直线上的线段相等第二十二页，共五十一页，2022年，8月28日2023/2/5ab平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等。L1L2L3ABCDEFDE=EF,AB=BC因为：第二十三页，共五十一页，2022年，8月28日2023/2/5平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？ABCDEFABCDEF结论：后者是前者的一种特殊情况！第二十四页，共五十一页，2022年，8月28日!

注意:应用平行线分线段成比例定理得到的比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关!平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.平移BACABFECDM(D)EF平移ABC平移ABCEDNFDF(E)第二十五页，共五十一页，2022年，8月28日2023/2/5作平行线是构造比例线段的主要手段，在比例式变形过程中要注意灵活运用合比、等比的性质对于中点，常过中点作平行线以等分线段或利用中位线定理第二十六页，共五十一页，2022年，8月28日1.形状相同的图形

①表象：大小不等，形状相同.

②实质：各对应角相等、各对应边成比例.三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形,叫做相似三角形.△ABC与△DEF相似,就记作:△ABC∽△DEF.

注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！性质：相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.如果△ABC∽△DEF,那么∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.小结拓展①.两个三角形相似，一定有角相等。当特殊位置时才有平行，而一旦有了平行就一定有相似三角形对应边以外的成比例的线段。②.对应边成比例提供了等量关系，我们可以借助方程的思想来解决问题。.图形的相似第二十七页，共五十一页，2022年，8月28日1.相似图形三角形的判定方法：

通过定义平行于三角形一边的直线（预备定理）三边对应成比例两边对应成比例且夹角相等两角对应相等两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）相似三角形第二十八页，共五十一页，2022年，8月28日

对应角相等。对应边成比例。对应高的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。相似三角形的性质：周长比等于相似比。

面积比等于相似比的平方。第二十九页，共五十一页，2022年，8月28日ABCDE相似具有传递性△ADE∽△ABCMN

如果再作MN∥DE，共有多少对相似三角形？△AMN∽△ADE△AMN∽△ABC共有三对相似三角形。第三十页，共五十一页，2022年，8月28日相似三角形的8类基本模型第三十一页，共五十一页，2022年，8月28日相似三角形的8类基本模型第三十二页，共五十一页，2022年，8月28日常用的成比例的线段：常用的相等的角：∠A=∠DCB；∠B=∠ACDBDAC模型“双垂直”三角形直角三角形斜边上的高

分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似.△ACD∽△CBD∽△ABC.直角三角形中的射影定理第三十三页，共五十一页，2022年，8月28日公边共角已知：如图，△ABC中，D是AC上一点，∠ABD=∠C。

求证：（1）△ABD∽△ACB（2）AB²=AD·AC

由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若△ABD∽△ACB，则AB²=AD·AC。第三十四页，共五十一页，2022年，8月28日判定两个三角形相似的基本思路已知条件中有平行线截线时，先考虑用预备定理已知两个三角形中有一个角对应相等时证明另一个角对应相等证明夹这一对角的两组边对应成比例已知两个三角形中有两边对应成比例时证明这两边的夹角对应相等证明第三对边与其余两边中的一对边对应成比例证明有一对角是直角证明两个直角三角形相似的方法有两个证明有一个锐角相等证明有两条边对应成比例条件中若有等腰关系，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例。第三十五页，共五十一页，2022年，8月28日证明比例式或等积的常用方法先看这些线段确定哪两个可能是相似三角形再找这两个三角形相似所需条件如果这两个三角形不相似，则采用其它办法（如找中间比代换等）注意：当无法用三角形相似来证明线段成比例时，可试着用引平行线的方法，实质是构造“A”型或“X”型基本图形。

一般是选过已知点（或求证）中比在同一直线的点作为引平行线的出发点。还可以直接运用射影定理第三十六页，共五十一页，2022年，8月28日基本图形：“A”字形基本图形：“x”字形第三十七页，共五十一页，2022年，8月28日①已知角相等；②已知角度计算得出相等的对应角；③公共角；④对顶角；⑤同（等）角的余（补）角相等；⑥两直线平行，同位角（内错角）相等；1、通过证明三角形全等，从而证明角相等。2、直角三角形余角。3、分别通过求证对应角的tan相等相似三角形证明中常用找对应角的方法第三十八页，共五十一页，2022年，8月28日例1。如图：AB∥DE，BC∥EF求证：△ABC∽△DEF△ABC∽△DEFAB∥DEBC∥EF（条件）（结论）引申：证明一个结论，可以从条件出发，围绕条件找条件，直到找到所需的条件。也可以从结论开始分析，证此结论需要什么条件，从题中证出所需条件，从而找到解题思路。第三十九页，共五十一页，2022年，8月28日练习1：如图:∠ACB=90°,CD⊥AB于D,以AC、BC为边向外作等边三角形△ACE和△BCF，求证：①△ADE∽△CDF，②DE⊥DF分析:DE⊥DFCD⊥AB需证∠ADE=∠CDF需证△ADE∽△CDFRt△ABC,∠ACB=90°CD⊥ABRt△ACD∽Rt△CBD等边△ACE和△BCFAC=AEBC=CF需证∠DAE=∠DCF已知……结论2结论1第四十页，共五十一页，2022年，8月28日小结：本节课我们学习了三角形相似的判定定理的综合运用。证明有关问题可以从两个方面（即条件和结论）寻找解题途径。条件结论1在结合条件结论2…………要求证的结论已有条件还需的条件解题时，如果我们能将上述两种途径有机结合，双管齐下，“围绕条件找条件”，“围绕结论找条件”，必可很快找到解题的思路，收到事半功倍的效果。第四十一页，共五十一页，2022年，8月28日2.AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF第四十二页，共五十一页，2022年，8月28日1.相似三角形的应用主要有两个方面：（1）测高

测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接测量的两点间的距离）

测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。（2）测距相似三角形应用举例第四十三页，共五十一页，2022年，8月28日讲解新课校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？

第四十四页，共五十一页，2022年，8月28日

把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？ABEDC第四十五页，共五十一页，2022年，8月28日

把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？ABCD第四十六页，共五十一页，2022年，8月28日

现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？例4ABCA′B′C

′第四十七页，共五十一页，2022年，8月28日

比如，量得树AB的影长BC=20m，木杆长A′B′=

1.5m，影长B′C′=

2.5