数系的扩充与复数的引入

第五节数系的扩充与复数的引入考纲要求1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示法及其几何意义4.会进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义三年考题13年(18考):新课标全国卷ⅠT2四川T3

新课标全国卷ⅡT2浙江T2

山东T1陕西T6湖南T1

江西T1安徽T1北京T4

福建T1广东T3辽宁T2

天津T9重庆T11上海T3湖北T11江苏T2三年考题12年(13考):新课标全国卷T2陕西T4

湖南T2北京T2江西T1

山东T1广东T1江苏T3

安徽T1浙江T2辽宁T3

福建T1天津T111年(10考):江苏T3陕西T8湖南T2

江西T1福建T2

新课标全国卷T2辽宁T2

广东T1浙江T2山东T2考情播报1.复数的基本概念、复数的几何意义、复数代数形式的四则运算是近几年各地高考命题的必考点2.题型一般为选择题、填空题【知识梳理】1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念设a,b都是实数,形如_____的数叫复数,其中实部为__,虚部为__,i叫做虚数单位a+bi为实数⇔____a+bi为虚数⇔_____a+bi为纯虚数⇔__________复数相等a+bi=c+di⇔_________(a,b,c,d∈R)

a+biabb=0b≠0a=0且b≠0a=c且b=d内容意义备注共轭复数a+bi与c+di共轭⇔__________(a,b,c,d∈R)复数a(a为实数)的共轭复数是a复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面,x轴叫_____,y轴叫_____实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数复数的模向量的长度叫做复数z=a+bi的模,记作|z|a=c且b=-d实轴虚轴2.复数的几何意义3.复数代数形式的四则运算(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2=(a+bi)±(c+di)=_______________把实部、虚部分别相加减乘法z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________按照多项式乘法进行,并把i2换成-1除法(c+di≠0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数,然后分子、分母分别进行乘法运算(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(ad+bc)i(2)复数加法的运算律:设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律:①交换律:z1+z2=_____;②结合律:(z1+z2)+z3=__________.z2+z1z1+(z2+z3)【考点自测】1.(思考)给出下列结论:①任何数的平方都不小于0;②已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时复数z为纯虚数;③两个虚数的和还是虚数;④复数的模就是复数在复平面内对应向量的模.其中正确的是(

)A.②

B.④

C.②③

D.①④【解析】选B.①错误,纯虚数的平方小于0,如(2i)2=-4<0;②错误,当a=0,且b=0时,z=0是实数;③错误,例如,2+i与2-i是两个虚数,其和为4是实数;④正确,由复数的几何意义知该结论正确.故选B.2.复数=()A.1B.-1C.iD.-i【解析】选D.3.复数z=(i+1)(i-1)在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第三象限 C.实轴上 D.虚轴上【解析】选C.因为z=(i+1)(i-1)=i2-1=-1-1=-2,所以选C.4.(2014·宜昌模拟)已知复数z=(a2-1)+(a-1)i(a∈R)是纯虚数，则a=()A.0B.1C.-1D.±1【解析】选C.由题意得解得a=-1.5.(2014·衡阳模拟)已知=b+i(a，b∈R，i为虚数单位)，则a-b=_______.【解析】由于

=b+i⇔a-2i=bi-1⇔a=-1,b=-2,则可知a-b=1.答案：16.复数的共轭复数是________.【解析】因为所以其共轭复数为答案：

考点1复数的有关概念

【典例1】(1)(2013·天津高考改编)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则复数z=a+bi的共轭复数是(

)A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2i(2)(2013·江苏高考)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为

.(3)(2013·上海高考)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=

.【解题视点】(1)由复数相等的意义确定a,b的值，由共轭复数的概念确定答案.(2)先化简复数z,再求复数z的模.(3)由纯虚数的概念求解.【规范解答】(1)选D.因为(a+i)(1+i)=a－1+(a+1)i=bi，所以a－1=0,a+1=b，即a=1,b=2，所以z=a+bi=1+2i,故复数z的共轭复数是1-2i.(2)z=(2-i)2=4+i2-4i=3-4i，故|z|=5.答案：5(3)m2+m－2+(m2－1)i是纯虚数⇒答案：-2【易错警示】注意条件的完整性本例第(3)题容易出现对条件考虑不完整致误，在解决复数类问题时要注意条件的完整性.【互动探究】若本例(3)中的复数是非零实数，试求m的值.【解析】由m2+m-2+(m2-1)i是非零实数(m∈R),得

m2-1=0，

m2+m-2≠0，解得m=-1.【规律方法】求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a+bi(a,b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解.【变式训练】（2014·福州模拟）若复数z满足(2-i)z=|1+2i|，则z的虚部为()A.-B.C.D.-【解析】选B.设z=x+yi(x，y∈R)，则(2x+y)+(2y-x)i=，所以解得所以故z的虚部为【加固训练】1.(2013·山东高考)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i【解析】选D.因为(z-3)(2-i)=5，所以所以2.若复数|z|=5,其共轭复数为3-mi,则实数m的值为()A.4B.-4C.±4D.±5【解析】选C.由题意，得z=3+mi,所以即m2=16,解得m=±4.3.已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若为纯虚数，则复数

的虚部为______.【解析】因为为纯虚数，故的虚部为1.答案：1考点2复数的几何意义【典例2】(1)(2013·湖南高考)复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(3)已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A(1，1)，B(-2，3)，则向量对应的复数为_______.【解题视点】(1)先把复数化为a+bi(a,b∈R)的形式，再判断其对应的点所在的象限.(2)由共轭复数的定义及复数的几何意义进行判断.(3)先求的坐标，再确定其对应的复数.【规范解答】(1)选B.因为z=i·(1+i)=－1+i,而(-1,1)对应的点在第二象限，所以选B.(2)选B.由于点A表示复数z=a+bi，所以其共轭复数是a－bi，在图中应该是点B对应的复数，故选B.(3)因为=(-2，3)-(1，1)=(-3，2)，所以向量对应的复数为-3+2i.答案：-3+2i【互动探究】设本例题(2)点A表示的复数z=a+bi(a,b∈R),试求点C，点D对应的复数.【解析】由图易知，点A与点C关于y轴对称，点A与点D关于原点对称，所以点C与点D对应的复数分别为z1=-a+bi,z2=-a-bi.【规律方法】复数几何意义及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量

相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.提醒：|z|的几何意义令z=x+yi(x,y∈R),则由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1-z2|的几何意义是复平面内表示复数z1,z2的两点之间的距离.【变式训练】(2013·湖北高考)在复平面内，复数

(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】选D.所以复数z的共轭复数对应的点位于第四象限.【加固训练】1.已知i是虚数单位，则复数z=i+2i2+3i3所对应的点落在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i，对应的点是(-2,-2)，故选C.2.已知f(x)=x2,i是虚数单位，则在复平面内复数对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.故复数对应的点是在第一象限.3.已知复数的对应点在复平面的第二、四象限的角平分线上，则实数a=_____.【解析】已知复数由题意知a+1=-1，解得a=-2.答案：－2考点3复数的四则运算【考情】复数的加、减、乘、除四则运算一直以来都是高考的热点，作为复数的运算它常与复数的相关概念及复数的几何意义相结合进行考查，以选择题、填空题的形式出现.高频考点

通关【典例3】(1)(2013·浙江高考)已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)=()A.5-5iB.7-5iC.5+5iD.7+5i(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)设复数z满足(1-i)z=2i，则z=()A.-1+i B.-1-iC.1+i D.1-i(3)(2013·新课标全国卷Ⅰ)()A.B.C.D.【解题视点】(1)直接运用复数乘法的多项式法则进行计算化简.(2)解方程，利用复数除法的运算法则求解.(3)利用复数乘法、除法的运算法则计算化简.【规范解答】(1)选C.(2+i)(3+i)=6+5i+i2=5+5i.(2)选A.由(1-i)z=2i得

(3)选B.【通关锦囊】

高考指数重点题型破解策略◆◆◆复数的乘法运算复数的乘法运算满足多项式的乘法法则,多项式的乘法公式,利用上述法则或公式计算◆◆◆复数的除法运算分子分母同乘以分母的共轭复数,转化为复数的乘法进行计算化简◆◆◆复数的运算与复数有关概念的综合题先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答高考指数重点题型破解策略◆◆◆复数的运算与复数的几何意义的综合题先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答◆◆

复数的综合运算分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的【通关题组】1.(2013·广东高考)若复数z满足iz=2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是(

)A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2)【解析】选C.解方程iz=2+4i,z对应点的坐标是(4,－2).另解：在iz=2+4i两端乘以因式－i可得(－i)iz=(－i)(2+4i),z=4－2i，z对应点的坐标是(4,－2).2.(2013·山东高考)复数

(i为虚数单位)，则|z|=()A.25B.C.5D.【解析】选C.3.(2013·安徽高考)设i是虚数单位，若复数

(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A.-3B.-1C.1D.3【解析】选D.由令a－3=0，则得a=3.【加固训练】1.(2013·大纲版全国卷)()A.-8B.8C.-8iD.8i【解析】选A.2.(2013·辽宁高考)复数的模为()A.B.C.