弯曲应力 材料力学

第7章弯曲应力及弯曲强度计算

7.1纯弯曲梁横截面上的正应力7.2弯曲切应力7.4提高梁的弯曲强度的措施7.3弯曲梁的强度计算7.1纯弯曲梁横截面上的正应力

7.1.1纯弯曲概念

FFaaFaMo+纯弯曲：横截面上只有弯矩M

没有剪力剪切弯曲

各横截面上既有弯矩M

又有剪力FQ7.1.2实验观察与假设

（1）梁变形后，横向线段I-I和II-II还是直线，它们与变形后的轴线仍然垂直，但倾斜了一个小角度dθ。（2）纵线ab缩短了，而纵线cd伸长了

平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴旋转了一个角度。梁的各纵向纤维都是受到轴向拉伸和压缩的作用，因此横截面上只有正应力。+FaFaFQo弯曲应力1122cabd1122cabdMMMM7.1.3正应力计算公式中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。弯曲应力中性轴：横截面与中性层的交线。中性层横截面中性轴1.几何关系MM1.几何方面弯曲应力m2n2sysLyO1O2ra2'dxn2m2n1m1O曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性层z中性轴y对称轴oa2a1ydqdldqxe2e12.物理关系(虎克定律)弯曲应力3.静力学关系dAyz(中性轴)xzyOsdAM即中性轴通过截面形心②梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值—抗弯截面模量。

纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)：

①距中性层y处的应力三、最大弯曲正应力EIz：抗弯刚度横截面上正应力的画法：

MsminsmaxMsminsmax弯曲应力

①线弹性范围—正应力小于比例极限sp；②精确适用于纯弯曲梁；

③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。公式适用范围：1.矩形截面三种典型截面对中性轴的惯性矩2.实心圆截面

3.截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:

例7-1一空心矩形截面悬臂梁受均布载荷作用，如图所示。已知梁跨长l=1.2m,均布载荷集度q=20kN/m，横截面尺寸为H=12cm，B=6cm，h=8cm，b=3cm。试求此梁外壁和内壁的最大正应力

解：（1）作弯矩图，求最大弯矩

（2）计算横截面的惯性矩

(3)计算应力

qlbBHh弯曲应力例7-2一受集中载荷的简支梁，由18号槽钢制成，如图所示。已知梁的跨长l=2m，F=5kN,求此梁的最大拉应力和最大压应力。

ABCF解：（1）作弯矩图，求最大弯矩

在梁中点截面上的弯矩最大

（2）求截面的惯性矩及有关尺寸

Iz=111cm4

横截面上边缘及下端至中性轴的距离分别为

（3）计算最大应力

危险截面的弯矩为正，截面下端受最大拉应力

=截面上缘受最大压应力

弯曲应力例

如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面B--B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。

解：1．确定截面形心位置选参考坐标系z’oy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为:2．计算截面惯性矩弯曲应力2012020120单位：mmIII3计算最大弯曲正应力截面B—B的弯矩为:

在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：弯曲应力

7.2

弯曲切应力7.2.1矩形截面梁弯曲应力n1m'n'2m1'ze11'1'11ye2e1x2112dxBAyyxdxxM+dMMFSFSss+dst'mnmm'dxtyt'AOyzbhtmaxyOt代入切应力公式：切应力t呈图示的抛物线分布，在最边缘处为零在中性轴上最大，其值为：—平均切应力

弯曲应力xdx7.2.2工字形截面梁腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：式中：b为腹板厚度弯曲应力中性轴处最大切应力腹板与翼板交接处，切应力最小若b远小于B，则最大切应力与最小切应力，近似相等，对腹板上切应力可视为均匀分布。7.2.3圆形截面梁式中：A为圆截面面积对于等直杆，最大切应力的统一表达式为：弯曲应力例7-3由木板胶合而成梁如图，求胶合面上沿x轴单位长度内剪力胶合面解：取长dx

微段，再从微段中取平放木板MM+dMFQdxxpqsrdxqxdxqFN1FN2psr可得7.3弯曲梁的强度计算

7.3.1弯曲梁的正应力强度计算

材料的拉压强度相等时，梁的正应力强度条件为抗拉和抗压强度不等的材料（如铸铁）则拉、压的最大应力不超过各自的许用应力

例7-4

某单梁桥式吊车如图所示，跨长l=10mm，起重量（包括电动葫芦自重）为G=30kN，梁由№28号工字钢制成，材料的许用应力[σ]=160MPa，试校核该梁的正应力强度。

解：(1)画计算简图

将吊车横梁简化为简支梁，梁自重为均布载荷q

№28号工字钢

(2)画弯矩图

（3)校核弯曲正应力强度

№28号工字钢

此梁的强度足够。

例7-5

螺栓压板夹紧装置如图所示。已知板长3a=150mm，压板材料的弯曲许用应力为[σ]=140MPa。试确定压板传给工件的最大允许压紧力F。

解：压板可简化为图所示的外伸梁

作弯矩图如图所示。最大弯矩在截面B上

MFaMB==max例7-6

T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许用应力为[σT]=30MPa，抗压许用应力为[σc]=160MPa。已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm3，且y1=52mm。试校核梁的强度

解：支座反力为

作弯矩图如图所示

最大正弯矩在截面C上

最大负弯矩在截面B上

在截面B上，弯矩为负，最大拉应力发生于上边缘各点

最大压应力发生于下边缘各点

在截面C上，弯矩为正，最大拉应力发生于下边缘各点，而这些点到中性轴的距离却比较远，因而就有可能发生比截面B还要大的拉应力。强度条件满足

CABD801202020y1y2+一4kN·m2.5kN·mxMO例

图示圆截面轴AD，中段BC承受均布载荷q=1kN/m，许用应力[σ]=140MPa。试确定轴径。弯曲应力解：轴计算简图及弯矩图如图由强度条件得代入数据得：d1=321mm，d2=248mm取：d1=320mm，d2=250mm例

T形截面铸铁外伸梁，均布载荷q=25N/mm，截面形心离底边及顶边分别为y1=45mm与y2=95mm，惯性矩Iz=8.84×104m4，许用拉应力[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=140MPa，试校核强度。弯曲应力解：1.危险截面与危险点判断作弯矩图如图危险截面为D与B截面二截面应力分布如图危险点可能为a、b、c三点2.强度校核强度满足要求例

简易起重机，工字钢制成，载荷F=20kN，并可沿轴移动（0<η<l），试选择工字钢型号。已知梁跨度l=6m，许用应力[σ]=100MPa，许用切应力[τ]=60MPa。弯曲应力解：1.内力分析载荷位于梁中点时，弯矩最大载荷靠近支座时，剪力最大2.按弯曲正应力强度选择截面查表3.校核梁的剪切强度选择NO22a工字钢可同时满足要求弯曲应力

例

已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，[s]=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片，测得C点轴向线应变,求F并校核梁正应力强度。CNO.16FAB例T形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知[s]y=100MPa，[s]L=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。CAB40401010yc1FQ0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_弯曲应力该梁满足强度要求7.3.2横力弯曲梁的切应力强度计算

弯曲切应力的强度条件为满足弯曲正应力强度条件的梁一般说都能满足剪应力强度条件。在下述一些情况下要进行梁的弯曲剪应力强度校核：（1）梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小而剪力颇大；（2）铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时，对腹板应进行剪应力校核；（3）经焊接、铆接或胶合而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面等，一般要进行剪切计算。

CABz+一一例7-7

外伸梁如图所示，外伸端受集中力F的作用，已知F=200kN，l=0.5m，a=0.3m，材料的许用正应力[σ]=160MPa，许用剪应力[τ]=100MPa，试选择工字钢型号。

解：(1)画剪力图和弯矩图

(2)由正应力强度条件，初选工字钢型号

依据，Wz=375cm3查型钢表得，№25a号工字钢：

(3)校核切应力强度

梁的切应力强度不够

（4）

按切应力强度条件选择工字钢型号

选定工字钢型为№25b7.4提高梁的弯曲强度的措施

弯曲正应力的强度条件

提高梁的承载能力应从两个方面考虑，一方面是合理安排梁的受力情况，以降低Mmax的数值；另一方面则是采用合理的截面形状，以提高的数值Wz，充分利用材料的性能。

7.4.1合理安排梁的受力情况

合理布置梁的支座

合理布