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高等数学由何满喜制作第三章微分中值定理
与导数的应用3.7曲线的曲率3.7.1弧微分3.7.3小结*3.7.2平面曲线的曲率3.7.1弧微分函数在内具有连续导数．现把时曲线上的点记为，见图3-13
规定：一是依增大的方向作为曲线二是对曲线上任一点，有向弧段的值的大小等于该段弧的方向与曲线的正向一致，相反时时的正向,的长度，有向弧段的单调递增函数，可记为因此弧是其增量为，当很小时，来近似，即弧的增量可用弧长而
，所以即因，于是得
或
把称为曲线的弧微分．
（1）若平面曲线以参数方程给出：，且函数在该区间内具有连续导数，（2）则弧微分公式为*3.7.2平面曲线的曲率在图3-14中，设曲线弧与的长度相等，的弯曲比较缓慢，而曲线弧的弯曲比较厉害．当动点沿曲线移动时，从点但曲线弧移到点时，切线转不大，而点移动到点时，切线转过的角度明显比图3-15中，曲线弧过的角度（称为转角）的长度不相等，当
大．
动点从点移动到点时，切线转过的角度与点移动到点的切线转过的转角都是
可见，曲线（弧）的弯曲程度不仅与转角有关，而且还与弧长有关．
在图3-16中，设曲线弧的长度为在点处的切线的倾角分别为当动点从移动到时，切线的转角为把比值称为曲线弧的平均曲率，记作，曲线定义在曲线上,当动点沿曲线趋于点时，如果存在，则称此极限为曲线在点记作当极限存在时有（4）处的曲率,（3）从图3-16可见，在动点处有，即的大小与变量有关，所以得即
于是，而所以由（4）可得式（5）就是函数曲线在点曲率计算公式．
（5）处的对于半径为的圆来讲，因，所以得，即圆的曲率是其半径的倒数.
设曲线在点处的曲率为，当时把就称为曲线的曲率半径.（6）设函数在点处的曲率半径为.在点处的曲线的法线上，且在曲线凹的,使,则把以为圆心，为半径的圆称为点处的曲率圆,图3-17.
一侧取一点例1求抛物线解因所以有
上最大的曲率．因此当时可取得最小值0．
所以说，该抛物线在其顶点处的曲率为最大.经计算得最大曲率为例2设在处的曲率．
,求曲线解因所以有3.7.3小结
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