第五讲 小学数学的教学过程

第四讲小学数学教学过程按照学习的内容划分，小学数学学习可分为数学知识的学习、数学技能的学习和数学问题解决的学习。

数学知识的学习，主要包括数学概念和数学规则(公式、定理、法则等)的学习。数学概念：是客观事物的数量关系和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映。数学规则，是两个或者两个以上数学概念之间固有关系的叙述。一、数学概念的学习过程（一）数学概念及其表现形式

1.数学概念：是客观事物的数量关系和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映。具有普遍性和抽象性。例如：三角形是由三条线段围成的平面图形。它是不同位置、不同大小、不同类别的三角形的本质属性在人脑中的反映。

数学概念具有抽象的特征，而小学生的认识特点带有具体形象性，如何使抽象的概念适合小学生认识的具体形象性？2.数学概念的表现形式①

用画图的形式表现概念在小学中、低年级，为了使学生具体的认识数学概念，一些概念往往用物体、画图的形式来表现。像右边这样的数叫做“小数”。“

.”叫做小数点。彩笔3.50元橡皮擦0.20元铅笔0.15元书包45元文具盒18元日记本3元②

用描述的方法借助具体事例说明概念例3二年级上册③

用逐步渗透的方法来揭示概念平行四边形一年级下册三年级上册四年级上册用定义的形式来揭示概念的本质属性（a）“属加种差”定义法，其公式为：种差+最邻近的属概念=被定义的概念(类)

两组对边平行的四边形叫平行四边形。（b）发生定义法(也称构造性定义法)

圆的定义：在一个平面内，一条线段固定一个端点，另一个端点绕其旋转一周所形成的图形叫做圆。固定的端点叫做圆心；连结圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。(c)约定式定义为了使乘法定于“求几个相同加数的和的渐变运算叫做乘法”中的“几”等于1或0时有意义，我们规定“a*1=1，a*0=0”概念学习是学生对事物的本质属性进行抽象概括的过程，数学概念的学习一般有两种基本形式：一是概念形成，二是概念同化。2.数学概念学习的基本形式（1）概念形成①概念形成的含义在课堂教学条件下，从一定的具体例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳方式抽象概括出事物的本质属性。例5：认识长方形1、同学们，今天老师给大家带来了一位新朋友，大家鼓掌欢迎！

2、这个图形是什么形状的？你们知道吗？生活中的图形生活中的图形生活中的图形生活中的图形生活中的图形国旗的面是什么形状的？数学课本、练习本的面是什么形状的？彩纸横着放是什么形状的，竖着放、斜着放呢？

以上这些物品的面，不管大，还是小，它们的形状都可以用这样一个图形表示。数一数长方形有几条边，再数一数桌上的长方形纸有几条边，用彩笔逐一勾出四条边。长方形长方形对边相等长方形四个角都是直角辨一辨生活中的图形2.概念形成的一般过程分析比较辨别一类事物的具体例子抽象出各个例子的共同属性概括共同的本质属性作为新概念的内涵根据新概念的内涵明确新概念的外延明确新概念与原有的认知结构中有关概念间的关系，扩大或改组原有的认知结构例6循环小数概念形成的过程1）竖式计算：（1）32÷6（2）2.7÷11

注意：在除的过程中，如遇到什么问题，请仔细观察商的小数部分和余数有什么特点？想一想，这样的商可以怎样表示？把你的发现与同学交流一下。32÷6=5.336)3230201820182222余数重复出现2，335.33……商会重复出现3。2.7÷11=0.2454511)2.722504460555044605554545

5

6

56

5余数重复出现5和6，商会重复出现4和5。0.24545……2）5.330.24545…………

一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。写作：5.3...写作:0.2453）4）做一做，明确循环小数的外延判断下面哪几个是循环小数，为什么？①0.999……②2323.1③6.416416……④3.21212

⑤3.1415926……⑥0.547745……⑦1.6025⑧5.02727……

观察练习中的小数，你能根据一定的标准把它们分成两类吗？和同学商量一下。小数部分的位数是有限的小数，叫有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫无限小数。①0.999……③6.416416……⑤3.1415926……⑥0.547745……⑧5.02727……②2323.1④3.21212

⑦1.6025循环小数是无限小数中的一种。5）明确循环小数与原有的认知结构中有咸小数的区别练一练

先指出下面各数中哪些是有限小数，哪些是无限小数；再指出无限小数中哪些是循环小数。0.66661.5353……3.14159……3.16040.192920.32727……..有限小数有：0.66660.19292

无限小数有：1.5353……3.14159……3.16040.32727……..其中循环小数有：1.5353……3.16040.32727……..③

概念形成的条件内部条件（学生自身的条件）：学生必须辨别概念的正反例证。正例可突出有关特征，反例能有效地排除无关特征的干扰。外部条件（情景条件）：学生必须从外界获得反馈信息。教师必须对学生所提出的概念特征的假设做出肯定或否定的反应。（2）概念同化概念同化，利用学习者认知结构中原有的概念，找出两者的联系，通过比较新旧概念的差异，进而使学习者获得概念的过程。②概念同化的一般过程找出原有的认知结构中的有关概念，研究它的分类把新概念从原有概念中分化出来，并给出定义，根据新概念的内涵明确新概念的外延明确新概念与原有的认知结构中有关概念间的关系，扩大或改组原有的认知结构例7三角形的认识东二小学周蕾直角钝角锐角直角钝角锐角锐角三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形直角三角形123123123123123123直角三角形猜一猜纸片下是什么三角形？钝角三角形钝角三角形直角三角形锐角三角形判断：（3）任何一个三角形至少有2个锐角（）（1）有1个角是钝角的三角形一定是钝角三角形。（）（2）有1个角是锐角的三角形一定是锐角三角形。（）（4）有2个角是锐角的三角形不一定是锐角三角形。（）③概念同化的条件内部条件：学生认知结构中有同化新概念的有关知识。旧知识越巩固，越清晰，则新概念的同化越容易。外部条件：必须把原有的有关概念精确分化。练习1.自然数概念的学习。2.偶数、奇数，质数、合数概念的学习。3。数学概念学习应注意的问题（1）注意选择学习新概念的感性材料和经验。材料或经验的数量要足够。材料要典型。要选用那些能反映概念本质属性的典型材料说明概念。材料的表现形式：既要有“标准式”，又要提供变式。例8材料的典型性圆的认识正方形长方形三角形平行四边形梯形圆例：认识圆go折一折·O圆心

半径r

直径d·（2）注意概念教学的阶段性和连贯性（3）帮助学生形成概念系统锐角三角形直角三角形钝角三角形三角形（按角分）不等边三角形等腰三角形三角形（按边分）只有两边相等的等腰三角形等边三角形①用分类的方法表示概念外延间的关系②用增加内涵的方法表示概念之间的属种关系四边形平行四边形长方形菱形正方形梯形等腰梯形直角梯形两组对边分别平行有一个角是直角邻边相等邻边相等有一个角是直角

一组对边平行另一组对边不平行两腰相等

有一个角是直角有一个角是直角且邻边相等直角三角形锐角三角形钝角三角形三角形按角分③用集合图表示概念外延间的关系类型线段射线直线端点有2个端点延伸方向可不可度量可度量有1个端点向一个方向无限延伸不可度量无端点向两个方向无限延伸不可度量不向任何一方延伸③用集合图表示概念外延间的关系（4）注意在概念教学中培养学生的思维能力在概念教学的过程中，要组织学生在观察的基础上进行分析、综合、比较、抽象、概括，获得概念，进而依据概念进行判断、推理，把培养学生思维能力的工作贯穿始终。直径：例9：半径：连接圆心和圆上任意一点的线段。通过圆心并且两端都在圆上的线段。在同一个圆中，半径有无数条，且每条半径都相等.在同一个圆中，且每条直径都相等.直径有无数条，oCDGHMNBFE图中哪些是半径？哪些是直径？哪些不是，为什么？指出下列线段哪些是半径，哪些是直径。为什么车轮要做成圆的，车轴应装在哪里？例10质数和合数1、由1—20的各自然数中，奇数有哪些？偶数有哪些？奇数

偶数

2、想一想：自然数分成偶数和奇数,是按什么标准分的?自然数分成偶数和奇数是按能否被2整除来分的。1357911131517192468101214161820复习写出下面每个数的所有的约数：1的约数：（）2的约数：（）3的约数：（）4的约数：（）5的约数：（）6的约数：（）7的约数：（）8的约数：（）9的约数：（）10的约数：（）11的约数：（）12的约数：（）1、2、3、4、6、121、111、2、5、101、71、2、4、81、3、911、31、21、2、3、61、51、2、4有一个约数的：1有二个约数的：2、3、5、7、11有两个以上约数的：4、9、6、8、10、12思考:按照每个数的约数的多少，可以分为哪几种情况？有二个约数的：

2、3、5、7、11……有两个以上约数的：

4、9、6、8、10、12……质数合数1既不是质数，也不是合数只有两个约数的数有两个以上约数的数有一个约数的：1二、数学规则的学习过程（1）数学规则，是两个或者两个以上数学概念之间固有关系的叙述，通常以经过严格论证的数学命题的形式呈现。在小学数学学习中，数学规则的学习主要是运算性质、运算法则和公式的学习。下位学习：原有命题在概括水平上高于新命题。例：Aa1a4a2a3（原有的一般概念）新学的观念（原有的具体观念）（2）数学规则的分类上位学习：新命题在概括水平上高于原命题。例：Aa1a2a3新学的观念原有的具体观念新的学习为a1、a2、a3的总括并列学习：新命题与原命题是并列关系。例：xuyvw（原有的一般观念）新学的观念（原有的具体观念）x与y的相互作用，通过x的部分质变来理解y。2.数学规则学习的基本形式

数学规则学习的关键是获得数学概念之间关系的理解，而数学概念之间各种关系的获得又依赖于新命题与原有认知结构中有关知识的联系。（1）例——规法先呈现规则的若干肯定例证，然后从例证中概括出一般结论，从而获得规则的方法。小学数学学习中，大多数规则的学习都采用这种形式，是一种上位学习。例11商不变的性质仓库路小学刘建民猴王分桃每3只小猴分6个桃子吧！

不够！不够！好吧！给你们60个桃子，30只小猴分着吃吧。真拿你们没办法，

给你们600个桃子，

不过得300个小猴分。

这下你们该满意了吧！不够，不够！真拿你们没办法，

给你们600个桃子，

不过得300个小猴分。

这下你们该满意了吧！够了，够了！6个桃，平均分给3个猴子。

60个桃，平均分给30个猴子。

600个桃，平均分给300个猴子。

平均每个小猴子分几个桃子？

6÷3＝2（个）

60÷30＝2（个）

600÷300＝2（个）

6÷3=（个）

60÷30=（个）

600÷300=（个）

222被除数变变不变除数商

被除数和除数同时乘以或者除以相同的数（零除外）它们的商不变。这叫做商不变的性质。

在“猴王分桃”的故事中，现在你知道猴王是运用什么规律教育帮助贪吃的小猴子肥肥的吗？

商不变的性质

（2）规——例法先推导出要学习的规则，然后用实例说明规则的方法。一般属于下位学习。梯形面積公式5A冊計算在方格紙上的梯形面積例12這是一個梯形，它有一對平行的邊。上面的邊稱為上底。下面的邊稱為下底。上底和下底之間的垂直距離稱為高。利用兩個相同的梯形可以拼砌成一個平行四邊形。平行四邊形的面積=梯形的面積×2梯形的面積=

(上底+下底)

梯形的面積=

(上底+

下底)

×

高÷2上底下底高高底×高

÷2÷2==上底+

下底平行四邊形的面積÷2底×高計算下列梯形的面積。25cm1.42cm35cm上底=cm，下底=cm，高=cm。面積︰(+)×÷2

=(cm2)上底=cm，下底=cm，高=cm。面積==(cm2)2.10cm14cm8cm253542253542126081410110(8+14)×10÷2上底=cm，下底=cm，高=cm。面積==(cm2)上底=cm，下底=cm，高=cm。625面積==(cm2)456(6+2)×5÷2(4+5)×6÷220271cm1cm3.数学规则学习应注意的问题（1）学习新规则要与已掌握的知识联系，把新规则纳入到原有的认知结构。大象的重量

转化成石块的重量秤出石块的重量答案曹冲称象为防“非典”，我们学校总务处李老师在六（1）班消毒用了小时，在六（2）班消毒用了小时。李老师一共用了多少小时？1、先独立进行尝试计算。2、再小组合作交流、汇总计算方法。3、最后小组讨论“转化”方案。+=+=+=+=例13：异分母分数加法计算例题：为防“非典”，我们学校总务处李老师在六（1）班消毒用了小时，在六（2）班消毒用了小时。李老师在六（1）班比六（2）班多化了多少小时？想：分母不同，不能直接相减怎么办？

用你喜欢的计算方法任选几题进行计算。+––+异分母分数加减法异分母分数加减法通分转化成同分母分数加减法按照同分母分数加减法的方法进行计算答案异分母分数加减法的计算方法：

异分母分数相加减，先（），然后按照（）加减法的方法进行计算。通分同分母分数分数加减法的验算方法与整数加减法的验算方法相同。练习一：看图填空。+=+=（）（）（）（）（）++=练习二：下面的计算对吗？把不对的改正过来。（1）+=

（2）–=××=+===（2）弄清新规则的形成过程笔算。14×2=45×6=225×3=你能说说一个因数是一位数的乘法法则吗？1、从个位起，用一位数依次乘多位数的每一位数；2、哪一位乘的积满几十，就向前一位进几。例14：两位数乘以两位数3、每盒彩色笔24枝，3盒一共有多少枝？24×3=72（枝）答：3盒一共有72枝。4、10盒一共有多少枝？24×10=240（枝）答：有240枝。如果我们买了13盒笔，每盒24枝，那么一共有多少枝笔呢？想一想：怎样列式？你能把24乘13变成已学过的计算吗？2、10盒的枝数：24×10=240（枝）

24×102403、13盒的枝数：把两次乘的数加起来。72+240=321（枝）

72+240312你能把上面的计算写成一个竖式吗？1、3盒的数：24×3=72（枝）

24×372练一练：

25×13=32525×137525325个位的3×25的积十位的1×25的积（13×25）的积巩固练习：先计算，再写出计算步骤。42×23=4223×1、先用个位上的（）乘42，得（）。2、用十位上的（）乘42，得（）。3、把（）与（）加起来得（）。3126284012684096625×10=？12510×50200250

5×1020×10250+2510×250簡化25×10=？1250果汁糖20

盒，每盒32粒，共有果汁糖多少粒？232×20=3220×640共有果汁糖

640粒。64012×13=？31213×120

3615612×1012×3156+56×11=？45611×560

5661656×1056×1616+橙41

袋，每袋12個，共有橙多少個？512×41=共有橙492個。4921241×480

12492+（3）通过规则的系统化，完善学生的认知结构小结：两位数乘两位数的笔算：1、先用第二个因数的个位去乘第一个因数，得数末尾和第一个因数的个位对齐。2、再用第二个因数的十位去乘第一个因数，得数末位和第一个因数的十位对齐。3、然后把两次乘得的积加起来。练习小学数学规则学习有哪些形式？举例说明。3.4数学技能的学习过程P851.数学技能的含义及作用技能是指顺利完成某种任务的一种操作性活动方式或心智活动方式。它是一种接近自动化的、复杂而较为完善的动作系统，是通过有目的、有计划的练习而形成的。数学技能通常表现为完成某种数学活动是一系列动作的协调和活动方式的自动化，这种协调的电子和自动化的或多方式是在已有的数学经验基础上经过反复练习而形成的。数学技能与数学知识和数学能力既有密切联系，又有本质区别。一、数学技能及其分类（1）数学心智技能。一种借助于内部言语进行的认知活动，以思维为其主要成分。如口算技能、笔算、解方程技能等。（2）数学操作技能，一种通过外部活动或操作去完成的技能，由各个局部动作按一定的程序连贯而成的外部操作活动方式。如作图技能、测量技能、使用计算工具(算盘、数学用表、计算器、计算机等)的技能。2.数学技能的分类二、数学心智技能的学习过程小学数学技能学习中，最主要的是数学心智技能的学习。心智技能的形成过程是一个从外部的物质活动到内部心智活动的转化过程，即内化的过程。(一)认知阶段了解并记住与技能有关的知识，了解活动的过程和结果。(二)示范、模仿阶段学生在教师的示范下，把在头脑中已初步建立起来的活动程序已外显的操作方式付诸执行，以获得数学技能。(三)有意识的言语阶段学生进行数学活动时，不用模仿就能自己进行言语表述，往往是边说边做，在这一过程中，学生对于活动方式是明确意识到的。(四)无意识的内部言语阶段学生不自觉地运用运算法则进行运算，运算过程的进行和运算法则的运用完全自如了。例15小数的乘法(三)小数乘小数准备题:6×3=18

因数6和3都扩大10倍，积就扩大100(10×10)倍。（６×１０）×（３×１０）（６×１００）×（３×１０）因数６扩大１００倍，因数３扩大１０倍积就扩大（）倍。（６×１０）×（３×１０００）因数６扩大１０倍，因数３扩大１０００倍，积就扩大（）倍例４：认知阶段

51.2×0.8-----------------40.96

51.2×0.8=40.96扩大10倍512扩大10倍×8------------缩小100倍