第三章(应变分析)

第三章应变分析变形的基本概念a)均匀拉伸P→P1

拉长变细Q→Q1单元体取的方位不同，变形方式不同，歪斜了b)金属在有摩擦的平板间压缩成鼓形P→P1

沿中心线压扁Q→Q1由于摩擦的作用，压扁且歪斜了R→R1成鼓形后有明显的角度偏转c)理想剪切P→P1剪斜了Q→Q1平移到Q1，未变形d)弯曲工序P→P1

缩短且转动一角度Q→Q1转动一角度，但未变形由以上实例可以得到以下概念：1、变形正变形（线变形）：线性尺寸伸长或缩短切变形（角变形）：单元体发生畸变纯变形2、同一质点的不同方位，有不同的变形值点的应变状态3、物体变形时，单元体一般将同时发生平移、转动、正变形和剪变形。除去刚体位移后，才能得到纯变形。4、变形就是各点位移不同，致使各点相对位置发生变化。5、变形的大小用应变表示。物体变形时，其体内各质点在各方向上都会有应变，与应力分析一样，同样需引入“点应变状态”的概念。点应变状态也是二阶对称张量，故与应力张量有许多相似的性质。6、研究应变问题往往从小变形（数量级不超过10-3~10-2的弹-塑性变形）着手。金属塑性加工是大变形，小变形是大变形的基础。§3.1

、位移和应变一、位移及其分量§3.1

、位移和应变二、应变及其分量(二)应变及其分量真实应变变形体由l0→ln可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。应用微分的概念——自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也称真实应变。对数应变的优点：1、表示变形的真实情况将真实应变用相对应变表示，并按泰勒级数展开：只有当变形程度很小时，ε才能近似等于，变形程度愈大，误差也愈大。对数应变的优点：2、具有可叠加性：总应变为各阶段应变之和。拉伸拉伸拉伸则：而：显然对数应变3、具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数应变相等，仅差一符号。拉伸压缩和则：而：§3.1

、位移和应变二、应变及其分量体积不变条件：对数应变表示的体积不变条件：塑性变形时，三个线应变分量不可能全部同号，绝对值最大的应变分量永远和另外两个应变分量的符号相反。§3.2塑性变形时的体积不变条件§3.3

点的应变状态和应变张量一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分量来表示。与应力状态相似，如果当坐标轴旋转后在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上张量之定义，即εij为二阶对称张量§3.3

点的应变状态和应变张量一、主应变及应变张量不变量过变形体内一点存在有三个相互垂直的应变主方向（也称应变主轴），该方向上线元没有切应变，只有线应变，称为主应变。在主轴坐标系统中，应变张量为对于各向同性材料，可以认为小应变主方向与应力主方向重合。应变张量不变量（多用J表示）应变状态特征方程二、主切应变和最大切应变若ε1>ε2>ε3,则用主应变的个数和符号来表示应变状态的简图称主应变状态图。a)压缩类变形

b)剪切类变形(平面变形)c)伸长类变形特征应变为负应变，另外两个应变为正应变。一个应变为零，其他两个应变大小相等，方向相反。特征应变为正应变，另外两个应变为负正应变。三、主应变简图八面体线应变八面体切应变四、八面体应变五、应变偏张量和应变球张量取八面体切应变绝对值的倍所得之参量称为等效应变，也称广义应变或应变强度。六、等效应变4)等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压缩)时的拉伸(或压缩)应力σ1

，即2)等效应力没有特定的作用面；等效应力的特点1)等效应力是一个不变量；3)等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。比较：等效应变的特点：1)是一个不变量；2)在塑性变形时，其数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变。(位移场和应变场之间的关系)§3.4小应变几何方程(位移场和应变场之间的关系)单元体在xoy坐标平面上的投影：变形前abcd,变形后为a1b1c1d1设ac=dx,ac∥ox轴，则ab=dy,ab∥oy轴a点位移分量为u,v,则由前式得出b,c点的位移增量为：§3.4小应变几何方程几何关系：棱边ac在x方向的线应变：棱边ab在y方向的线应变：由几何关系可得：同理：因：则工程切应变：切应变：综合可得：简记为即小应变几何方程因：简记为即小应变几何方程例：设一物体在变形过程中某一极短的时间内的位移场为：

u=(10+0.1xy+0.05z)×10-3

v=(5-0.05x+0.1yz)×10-3

w=(10-0.1xyz)×10-3

求：点A（1,1,1）的应变分量、应变球张量、应变偏张量、主应变、八面体应变、等效应变（应变协调方程、变形连续方程、变形协调方程）相加可得对y求两次偏导得对x求两次偏导得§3.5应变连续方程程（应变协调方程、变形连续方程、变形协调方程）同理每个坐标平面内，应变分量之间应满足的关系：两个线应变分量一经确定，则切应变分量随之被确定。§3.5应变连续方程程用同样的方法不同坐标平面内，应变分量之间应满足的关系：在三维空间内三个切线应变分量一经确定，则线应变分量随之被确定。如果已知一点的位移分量，利用几何方程求得的应变分量自然满足连续方程。但如果先用其他方法求得应变分量，则只有当它们满足应变连续方程，才能用几何方程求得正确的位移分量。一、速度分量和速度场位移速度：质点在单位时间内的位移。

位移速度是坐标的连续函数，又是时间的函数，故或§3.6应变增量和应变速率张量位速度分量：位移速度在三个坐标轴上的投影称为位移速度分量，简称速度分量。速度场二、位移增量和应变增量位移增量:物体在变形过程中，在一个极短的时间dt内，其质点产生极小的位移变化量称为位移增量。如图中的矢量，记为dui应变增量：变形过程中某极短阶段的无限小应变（由图中矢量求得的应变）全量应变:在变形的某过程或过程的某阶段终