《概率论与数理统计》习题三答案-设二维随机变量(x,y)之欧阳理创编

欧阳阳理创编

时间：2021.03.05

创作：欧阳理习题三1将一硬币抛掷三次，以表示在三次中出现正面的次数，以表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值试写出X和联合分布律.【解】X联合分布律如表：

2

C3

12

23

13/2

1122.子里装有3只黑球、2红球、只白球，在其中任取球，以X示取到黑球的只数，以Y示取到红球的只数求和Y联合分布律【解】X联合分布律如表：

CC1C232C7

C33C7C2C1C132C47

C123C47C123C47欧阳阳理创编

227F，）欧阳阳理创编227F，）

P黑2红2白=12/435

CC32C7

C

2C3C7

3.二维随机变量（，的联合分布函数为ππxsiny2其他求二维随机变量（，Y）在长方形域πππxy43

内的概率.【解】如图

πππP{0X,}公式463题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.随机变量（，的分布密度)f（，）=求：（1常数A

x0,y0,他（2随机变量（XY的分布函数；（3P≤X<10≤Y【解】（由

f(x,)dxdy

0

e

xy)

dxdy12得=12（2由定义，有

P{05.随机变量（，的概率密度为欧阳阳理创编

0,其他欧阳阳理创编0,其他

f（，）=

k(6),2,2y他（1确定常数k；（2求P{＜Y3}（3求P{<1.5}；（4求P{+≤4}.【解】（由性质有故

R

（2

P{X

Y

f(yx

P{1.5}

x

f(x)dxdy如dyD

P{

X

f(xd如图b

D

f(x,)dx题5图6.X和是两个相互独立的随机变量X在（0.2上服从均匀分布，Y的密度函数为0,f（）=求：（1与联合分布密度；（）{X}.题6【解】（因X在（）服从均匀分布，所以X的密度函数为欧阳阳理创编

0,f()f0,f()f（，）f()

而所以

y

f(x)dx图D

25e

xdy7.二维随机变量（，的联合分布函数为F，）

),xy他求（，Y的联合分布密度【解】

(x,)f(x,y)

x0,y0,他8.二维随机变量（，的概率密度为f（，）=求边缘概率密度

4.8y0xy,0,他.【解】

f(y)dy题8图

题9.二维随机变量（，的概率密度为e,x0,其他求边缘概率密度【解】

f(y)dy题图10.二维随机变量XY的概率密度为欧阳阳理创编

0,f（x）=Y0,f（x）=YYf()2f（x）=

y,

2

y其他（1试确定常数c（2求边缘概率密度.【解】（

f(,y)dxy)dxD得

.

f()f(yX11.随机变量（，）概率密度为y,x0,其求条件概率密度f

（｜x，f（｜y｜｜题图【解】

f(y)dy所以中有五个号码，35从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X最大的号码为（1求与Y联合概率分布；（2Y否相互独立？【解】（Y联合分布律如下表X

Y

45欧阳阳理创编

P{X}i

i欧阳阳理创编i

P{Yy}i

11C35

22C310511C3105

33C310522C310511C2105

P{{Y

6{3},1010故X与Y独立13.二维随机变量XY的联合分布律为Y0.40.8

X

50.300.12（1求关于和关于边缘分布；（2与否相互独立？【解】1X边缘分布如下表0.40.8P{}i

20.2

5

8

{Y=y}0.80.2P{P{Y0.4}0.80.160.15(0.4),

因故X与Y独立.14.是两个相互独立的随机变量（0）上服从均匀分布，Y的概率密度为欧阳阳理创编

Y欧阳阳理创Yf（y

/

,

0,其他.（1求和联合概率密度；（2设含有a二次方程为有实根的概率

2

+2+=0试求a【解】（因故

xf(x)X他

e2,yf(y)0,他.f(x,)X,Y独立(x)f(y)XY

0,

/2

y0,其题图a故

Xa

有实根的条件是从而方程有实根的概率为：15.和Y别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（）=

1000,x1000,x0,其他.求ZX/Y概率密度.【解】如图Z的分布函数

F(){}{Z

}欧阳阳理创编

iiii欧阳阳理创编(z)≤0时，Z（2当，（这时当=1000时,=(图a)题15

z

）当z≥1时，（这时当y

时，x

3

z（如图即

1,f(z),0他2f(z)故

16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从（160202

）分.机地选取

只，求其中没有一只寿命小于180的率【解】设四只寿命为(i则N160，20

2

），从而17.，相互独立的随机变量，其分布律分别为{=k}=），k，12…，欧阳阳理创编

121n12n1121n12n1n1nn

P{=r}=qr，r=0….证明随机变量Z=X分布律为{=i}=

ik

p)(i

，i=0，….【证明】所有可能值都是非负整数，所以于是18.是相互独立的随机变量，它们都服从参数为np的二项分布.明=+服从参数为2np的二项分布【证明】法一X能取值为1…，2方法二：设μ布（参数为，则

,μ,…,;μ′,μ′,，μ′服从两点分X=++μ，=′+μ′+…+′,X+=++…++′+μ′+…+μ′,所以，+从参数为（2p二项分19.随机变量（，）分布律为

X

50.010.030.070.09

0.020.040.060.080.030.050.050.050.020.04{=2｜=2}{｜=0}（2求V=max，Y的分布律；欧阳阳理创编

欧阳阳理创编

（3求U=minXY的分布律；（4求WX+分布律.【解】（

P{Y2}

P{2}P{Y2}（2

P{

}{max(X}{X}{Y}所以V的分布律为V=max(Y)0P0

PU}{min(,Y}于是U=min(XY)P

似上述过程，有=+P0

20.达的圆形屏幕半径为，设目标出现点XY在屏幕上服从均匀分布（1求P{Y＞}（2设M=max{，Y}求{M＞0}.题20【解】因（，）联合概率密度为（1

P{Y|YX}

P{Y}P{YX}

P{M{max(X)0}{max(X)设平面区域

D由曲线y=1/x及直线，x

所围成，二维随机变量（，在区域D上服欧阳阳理创编

X123i12j111欧阳阳理创编X123i12j111

从均匀分布，求（XY关于的边缘概率密度在x=2处的值为多少？题21【解】域D的面积为

S0

1

1x

dln

1

2.

（,的联合密度函数为（，Y关于X边缘密度函数为所以

1f.422.随机变量X和Y互独立，下表列出了二维随机变量（，Y联合分布律及关于边缘分布律中的部分数值试将其余数值填入表中的空白处X

y

P{X=}=

ixxP{=y}=

j

1/81/6

1/8

【解】因

2P{y}PP{xY}jjiji

,故

PY}P{X1

Y}{Xx,y},11从而

P{xY}11

111.6824而X与Y立，故

{X

}{y}{X,Yy}ijii

,从而

11P{x}P{xY}.6即：

11P{x}/1244欧阳阳理创编

1,322232欧阳阳理创编1,322232

又{x}P{XY}{XxYy}{X,y},11111{y},即48从而

P{,Yy}1

112

.同理

13PY}P{Yy}28又

3j

P{y}j

11P{Y},623同理从而故

3P{}4

y1

y

2

y3

P{x}ii

14x

2

14

34P{}pj

j

12

23.某班车起点站上客人数服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p<1，且中途下车与否相互独立，以表示在中途下车的人数，求：（）发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率；（二维随机变量（，的概率分布.欧阳阳理创编

【解】(1)

欧阳阳理创编P{m|}mp(1)n

,0,

.

P{Y}P{}{mX}设随机变量和独立，其中X的概率分布为

0.7

，而的概率密度为f(y)求随机变量U=X概率密度).【解】设F（y是Y分布函数，则由全概率公式，知U=X分布函数为由于X和Y立，可见由此，得U的概率密度为25.25.设随机变量XY互独立，且均服从区间上均匀分布，求{max{XY}1}.：因为随即变量服从[03]上的均匀分布，于是有因为，Y互独立，所以推得

P{max{}

1926.二维随机变量（，）概率分布为

X

01

0.20.10.20.1其中

a,

为常数，且

X

的数学期望()=

0.2,{≤0|≤0}=0.5，记Z+求：欧阳阳理创编

欧阳阳理创编（1ac的值；（2概率分布；（3P{XZ}.解(1)由概率分布的性质知，

即=0.4.由

(X)

，可得再由

PYX