《概率论》数学2章课后习题详解

223223概率论第章习题参考解答若次射击中靶的概率为0.7,求击10命炮概至命中3炮概最可能命中几炮.解设ξ为射击10炮中的炮数则命的概率为{3310至少命中炮的概率为1减命中不到3炮的概率,为P{3}{i0.7i0.31010i

因np不是整数因最可能命中[炮在定条件下生产某种产品的废品率为求产件产品中废品数不超过个的概率解设ξ为10件品中的废品,则~B则废品数不超过2个概率为P

ii0.9910

10

i某间有部同型号机床,每机床开动的概率为0.8,若定各机床是开动彼此独立每机床开动时所消耗的电能为15个位求个车间消耗电能不少于270个位的概率解:设每时刻机床开动的数目为ξ,则ξ~B假这个车间消耗的电能为η个单位则ξ因此P{P{15270}{}{18}20

i20

i

20

0.2061i从批废品率为0.1的产品,重抽取20个行检查求个产品中废品率不大于的率.解设这个品中的废品数为则~B假设这个品中的废品率,则/20.因此P0.15}P{

20

P{3}i

i20

0.1i

0.9

=生某种产品的废品率为0.1,抽件品,初检查已发现有件问20件中废不少于3件概率.解设ξ为这件品中的废品数,则B(20,0.1),又通过检查已经知ξ定不少于2件的条件,则求的是条件概率P{|

2}

P{P{因事件

{2}{

因

{2}因此

kkk4kkk4P{

PP2}

i

P{}P{}

ii

P}{2}{}i

P{}i

P{2}1{}

C20.120.910.9200.9

i

抛4颗子为出现1点的骰子数,求ξ的概率分布,分函数,以出现1点的骰子数目的最可能值.解因掷一次骰子出现一点的概率为则(4,1/6),因有P

k}C

k4

4

(0,1,2,3,4),F()Ck或者算出具体的值如下所示：

xxxξPF(x0.9992

14x2从分布表可以看出最可能值为或+=(4/6)+1/6=5/6小不为整数因最可能值为[事A在次试验中出现的概率为0进19独立试验求1)出现次数的平均值和标准差(2)最可能出现的次.解设次试验中事A出次数为则~因(1)的数学期望为ξ=np方差为Dnp)=19×0.3×0.7=3.99标准差为

D3.99

44(2)因+=5.7+0.3=6为数,因最可能值为5和6.已随机变服从二项分布Eξ=12,D求和n解由ξ=np和ξ=(1-p)=8由(1)得n=12/代到得12(1-)=8,解p代回到(1)式得=12/p=12×3=36某台上有4个售货员并预备了两个台秤,若每个售货员在一小时内均有15分钟时间使用台秤,求天小时内平有多少时间台秤不够.解每个时刻构成一的努里试且=15/60=0.25,因此设为每个时刻要用秤的售货员,则B0.25),当ξ>2时台不够用.因此每时刻台秤不够用的概率2)C34×10=0.508个时台秤不够.10.已试的成功率为,进4重努里试,计在没有全部失败的情况,试成功不止一次的概率.解设为次验中的成功数则B(4,p),事件"有全部失败"即事件{而事件"试验成功不止一次"事件{因此要求的是条件概率{{>1}被件{包含因此这两个件的交仍然{因此

ξ>0},又事件P|

P1{{P{

1pq1

其中=1-p11.参数为2,p的项分布已(1)=5/9,那成功率为的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多解因ξ~B(2,),则必有

p)

2

/9

解(1)

/9/92//1/3则假设为功率为1/3的4重努里试验的成功次,

ηB则0)p

4

0.8028112.一产个中有5个品任抽取个求品数不多于个概率解设ξ为抽取个中的废品数,则ξ服从超几何分布,且P{

Ci45Ci

13.如产是大批的,从中抽取的数目大时则品数的分布可以近似用二项分布公式计算.试下例用两个公式计,并较其结.产的废品率为从个品

中任意抽取个求品数为的率解设任抽3个的废品数为ξ则服从超几何分布,废数为C2P{900C而如果用二项分布近似计nB(3,0.1){

13

0.9

2

近似误差为是非常准确14.从副克牌52张中发出张求中黑桃张数的概率分解设ξ为发出的5张中黑桃的张数则服从超几何分则P

}

CiC552C

i0,1,2,3,4,5)则按上式计算出概率分布如下表所:ξ

13P15.从批芽率为0.8的子,任10粒求芽数不小于8粒的概率解设ξ为种子中发芽的粒则服超几何分,但以用二项分布近其中=10,则P{

10Ci10

0.8

i

0.2

10i16.一产的废品率为0.001,用哇松分布公式求件品中废品为2件概,以及不超过的概率.解设ξ为件产品中的废品,则服超几何分布可用二项分布近,则~B0.001),而为试验次数很大废品率则很可以用普阿松分布近,参为λ=np2P2}

20.8iP2}i!i

0.952617.某产表面上的疵点数服从普哇松分平一件上有0.8个疵点,若定疵点数不超过1个一等品价值元,疵数大于1不于4为等价8元4个以上为废品求品为废品的概率以及产品的平均价解:设ξ为产品表面上的疵数则ξ从普哇松分布,λ=0.8,设η为产品的价值是ξ的函数.则品为废品的概率为P{{4}

4i

i!

i

e

2i0000002i000000iP10}P{ei!i

P8}{1

i

0.8i!

i

则产品的平均价值为η=10×{=10}+8×P{=8}=10×0.8088+8×0.1898=()18.一合本共页,平均每页上有两个印刷错假每页上印刷错误的数目服从普哇松分,计该合订本中各页的印刷错都不超过4个概率解设ξ为每页上的印刷错误数目则服普哇松分则页刷错误都不超过4个的概率为P

4}ei!i

而页上的印刷错误都不超过的概率为

4}19.某号子管寿命服从指数分布如它的平均寿命Eξ小,写ξ的概率密,并算(1000<≤1200).解因E=1000=1/其率密度为x)

1x10001000

xxP

10001200)

12001000

20.ξ~NΦ(x是它的分布函数,φ(是它的概率密度,Φ(0),φ(0),P(=0)是什么值解因有(x)0

1

x2

()

1

e

t2

dt

因()为偶函数,由对称性可知Φ(0)=0.5,并有

因ξ为续型随机变量取何值的概率都为0,即P(=0)=0.21.求19题的电子管在使用小时没坏的条件还可以继续使用100小而不坏的概解要求的概率为P>600|因

xxn0000000xxn0000000P{|

600PP500}

0.90522.若服从具有n个由度的χ-分布,证明

的概率密度为()

2

xx称此分为为具有n个自由度的-分布证设

则的概率密度函数为()

xn2xη的分布函数为F(x))P(

)

)F(

)

(对两边求导得2(x

2

)2x

2

x2

2

n2

n

x2

(x23.ξ~N求{≥{||<3},P{0<5},P{>3},ξ<3}解根据的对称性质及查表:P{≥Φ(P{|(3)-1=2×0.99865-1=Pξ5}=Φ(P{>3}=1-PξΦ(3)-(-1)=ΦΦ24.ξ~Nμ,2),为么说事"ξ-μσ"在一次试验中几乎必然出?解因为

~P{|

P{

20.977250.9545因此在一次试验中几乎必然出.

0025.ξ~N

),求ξ<13),P(Pξ解因为

2

~P{0

1.5}(1.5)(0)0.933190.50.4331900P13}P{

1.5}(1.5)0.066810P{|

P{

1}2(1)026.若题已知Pξ-10|<cP{<分求和.解因为

2

~

则P{|}P{

}()22解得

c()2

10.950.975,查得22

得c再由dP}{}(222

)0.5知

d10因())22即

(

102

)0.06680.9332

查表得

102

解

d107值

27.若(μ),对于P{k<μ+k或0.95,或0.99,分查表找出相的解先求{<<+σ应的值.因

~

因P{{

}2(0.900即

(

12

0.95

查得同理由

()

10.952

查得由

()

12

查得28.某产长度按N2分求品长度在cm之的概率长度小于cm的率

i1iiii()i1iiii()解设ξ为产品长度,则N且

~

则PP{

2}P{2}0.25(2)20.977250.9545049.250P{0.25

}(3.2)000.99931290.000687129.ξNi=1,2,3),并且ξξ,相互独立,

1333ii

2

求cov(

,

),Ecov(

,

解此题要用两独立的服从正态分布的随机变量相加后得到的随机变量仍然服从正态分布.因因30,i

i

1

则

1)3(ii

EEiiiii23因此

3(2iii

也服从正态分布,且cov(i

Eii

13即

与

i

不相关而为它们服从正态分布,因此也就是

与

i

相互独立则

与i

2

也相互独立,则

与中的加和中的每一项相互立,当也与η相互独立因有

cov(0

因相互独的随机变量一定不相.30.(,)有合概率密度

12

1e2,

求ζ的率

解由联合概率密度看,ξ与相独立服从标准正态分布,则ξ

与2

也相互独立且服从自由度为1的χ2-分布,即ξ2~η~因=2+2χ2(2),即它的概率密度为

2

xx即服的数分布.概率论第三章习题参考解答如服从布又取的率为它取0的率的两求的期望解：由习题二第2题出ξ的分布率为ξP

1/3

2/3因此有Eξ×((=1)=2/3矩土地的长与宽为随机变和,周长ζ=2+2η

ξ与η的分布律如下表所示:长度ξP

宽度η

P

而求出的周长的布律如下表所:周长ζ

P求周长的期望值,用种方法计算,一种是利用矩形长与的期望计算,另种是利用周长的分布计算.解由和宽的分布率可以算得E=29×P(=29)+30×P(×Pξ=31)=29×××E=19×P(=19)+20×P(×Pη=21)=19×××0.3=20由期望的性质可得E=2(E+η)=2×而如果按ζ的布律计算它的期望也以得E×0.09+980.27+100×0.35+102×验证了期望的性.连型随机变量的概率密度为()

0

0(k,其它又知Eξ求k和值。解由质

()dx

|1k||1k|1100ii得即k+1

kxdxa0

又知E

)

ka0a得+1.5

由1)与(解得即ak=3下是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数.表中各以组中值为代表.从188辆车,任抽选辆得下列数字:50,110,90,90,110,90,110,90,70,50,70,150.(1)这15个字的平均;(2)计表3-9中期望并与1)相比较.第一次发生引擎故障里数0~2020~4040~6060~80

车辆数

第一次发生引擎故障里数

车辆数解15个数的平均数为按上表计算期望值为×××××34+110×46+130××两种种子各播种公顷地调查其收获量如表所示分求出它们产量的平均值(计算时以组中值为代表).公顷产量

4350~46504650~49504950~52505250~5550

总计种子甲公顷数种子乙公顷数

1223

3824

4030

1023

100100解假种子甲的每公顷产量数为ξ种乙的每顷产量数η,则E=(4500×12+4800××10)/100=4944E=(4500×23+4800××23)/100=4959一螺丝钉的重量是随机变,期值为标差为1g.个盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差各为多假各个螺丝钉的重量相互之间独)解假这个螺丝钉的重量分别,ξ,

ξ,因有E=10,D=102=1(i设为个丝钉的总重量，因此

100

i

，则ξ的数学期望和标准差为i

100iiiiiiiiiiiiiiiii1100iiiiiiiiiiiiiiiii123123i100100g)iiiiDDii

i

Dgi已个产品中有个品，求任意取出的5个品中次品数期望.解假设为取出5个品中的品,又设ξ为第i次取出的品即如果第i次到的是次品,则=1则i=1,2,3,4,5,ξ从0-1分而有P{P{i因此因为

5

i因此有

i5110.一零中有个格品和3个废品在装机器时从批零件中任取一如取出的是废品就不再放回.求得第一个合格品之前已取出的废品的数学期望和方.解假在取到第一个合格品之前已取出的废品数ξ,则算出P

0.759P0.2045119P111021P1110因此有0.0045

0.409D

E

0.4090.0911.假每生日在各个月份的机会是同样,求人中生日在第一个季度的平均人解设个随机变量i=1,2,3),如果个中的第i人在第一季度出,则=1,否ξ则ξ服从0-1分,且Pξ因ξ=1/4,(i设为人在第一季度出生的人,则ξ=ξ+,因此Eξ=E(ξξξ

xd2xd22|12.ξ有布函数

(x)0

其它

求及Dξ.解因的率密度为

x)0

其它

因

xx)dx

x

dx

0

0

0

e0

dx

1

e

0

1

2

x)dx

2

dx

2

0

0

2

e

0

20

dx

2

2D2

2

1

113.

x)

1

|x

求ξ和D解因φ(x)偶函数因ξ则D=ξ2

ξ)2

=Eξ2因此有D

x)dx

2

令

xdx则上式

220

cos11dsin22202即Dξ16.如ξ与独立,不出ξη分布直接ξ的分布的分布能否计算出D(η),怎计算?解因与独因此ξ2

与η2

也独立则17.随变η是另一个随机变量的函数并ηλξ

(>0),若Eη存在求对于任何实

iiii222数a都有

P{

}

证分就离散型和连续型两种情况在为离散型的情:假设P=)=则P

a)

i

(xi

xi)i

[ei

]xii在为连续型的情况假设ξ的概率密度为φ(x则

i{}

e

)

x)

e

x)

xdxEe

a

证毕18.证事在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.证设为次试验中事件发的当然最多只能发生1次最为次即服分布{(A)=p{=0}=1-p则D

11111)pp4424419.证对任何常数,随机变量ξDξ(-c2

ξ-2证由差的性质可知D(-c)=ξ而D2)](

E证毕20.(,η)的联合概率密度(xy-(+y)(x,>0),计算它们的协方差cov(η).解由φ(x,)=e-(+y)x,y可ξ与η相互独因必有(η)=0.21.袋装标上号码的3个球从任取一个并且不再放,然再从袋中任取一以,η分别记为第一,次