第一章 第七节 测量与地图学基础知识 误差与精度的基本知识

2023/2/41第七节误差与精度的基本知识第一章

测量与地图学基础知识一、测量误差的概念与分类（一）测量误差的概念及其分类在测量工作中，我们发现当某一未知量，如某一段距离，某一角度或某两点间的高程进行多次重复观测时，所得的结果往往是不一致的。又若已知由几个观测值构成的某一函数应等于某一理论值，而实际观测值代入上述函数计算时通常与理论值不相等。例如，从几何上知道一平面三角形三内角之和应等于180，但如果对这三个内角进行观测，则三内角观测值之和常常不等于180，而有差异。这种差异实质上表现为观测值（或其函数）与未知量的真值（或其函数的理论值）之间存在差值，这种差值称为测量误差。即 测量误差＝观测值-真值2023/2/42测量误差的产生，概括起来有以下三个方面的原因：首先，是观测者感觉器官的鉴别能力和技术水平的限制，在进行仪器的安置，瞄准，读数等工作时都会产生一定的误差。与此同时，工作态度而造成的某种疏忽也会对观测结果产生影响。其次，观测使用的仪器工具都有一定的精密度，仪器本身也含有一定的误差，如钢尺的最小分划以下的尾数就难以保证其准确性，又如水准测量时水准仪的视准轴不水平必然会对水准测量观测结果带来误差。再有，在观测过程中所处的外界自然条件，如地形，温度，湿度，风力，大气折光等因素都会给观测值带来误差。2023/2/43在实际测量工作中，上述观测者、仪器和客观环境三个方面是引起测量误差的主要因素，统称“观测条件”。观测成果的精确度称为“精度”。不难想象，观察条件的好坏与观测成果的质量有这密切的联系。当观测条件好一些，观测中所产生的误差平均说来就可能相应地小一些，因而观测成果的质量就会高一些。反之，观测条件差一些，观测成果的质量就会低一些。如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。所以说，观测成果的质量高低也就客观的反映了观测条件的优劣。在相同的观测条件下进行的观测，称为同精度观测。如有一个人或具有同等技术水平和工作态度的人使用相同精度的仪器，以同样的方法，在同一客观环境下所进行的观测称为“同精度观测”。反之，各个观测使用不同精度的仪器，或观测方法技术水平不同，或客观环境差别较大，则是不同精度的观测。2023/2/44测量误差根据其性质不同，可分为系统误差、偶然误差以及粗差。1、系统误差

这种误差随着观测量的增多而逐渐累积。例如，钢尺量距时，钢尺的名义长度为30ｍ，而鉴定后的实际长度为30.005ｍ，每量一个整尺，就比实际长度小0.005ｍ，这种误差的大小与所量直线的长度成正比，而且正负号始终一致；又如，水准测量时，水准仪的视准轴不平行于水准管水准轴而引起的高差误差等。系统误差对测量结果的危害性极大，但是，由于系统误差是有规律性的而可以设法将它消除或减弱。例如，钢尺量距时，可以用尺长方程式对测量结果进行尺长改正；又如水准测量中用前后视距相等的办法来减少仪器视准轴不平行与水准管轴给测量结果带来的影响；经纬仪测角时用盘左盘右分别观测取平均值的方法可以减弱视准轴不垂直于横轴的影响等。

在相同的观测条件下，对某一固定量进行多次观测，如果测量误差在正负号及量的大小表现出一致性的倾向，即保持为常数或按一定的规律变化的误差，称为系统误差。2023/2/452、偶然误差在相同的观测条件下，对某一固定量进行一系列观测，如果测量误差在正负号及数值上都没有一定的规律性，从表面看没有任何规律性，但大量的误差有“统计规律”。例如量距和水准测量时小数的估读误差等，这类误差称为偶然误差。在测量工作中，系统误差和偶然误差总是同时存在的，由于系统误差具有积累性，它对观测结果的影响尤为显著，所以在测量时要利用各种方法消除系统误差的影响，从而使测量误差中偶然误差处于主导地位。3、粗差在测量工作中，除了不可避免的误差外，有时还会出现错误，或称为粗差。如测量人员不正确地操作仪器，以及观测过程中测错，读错，记错等，是由于观测者疏忽而造成的。粗差在测量结果中是不允许存在的。为了杜绝粗差，除了认真作业外，常采用一些检核措施，如重复观测和多余观测。（二）、处理原则粗差——细心，多余观测系统误差——找出规律，加以改正偶然误差——多余观测，制定限差2023/2/46（二）、处理原则系统误差——找出规律，加以改正偶然误差——多余观测，制定限差粗差——细心，多余观测2023/2/47在观测结果中，主要存在的是偶然误差，偶然误差是不能用计算改正或用一定的观测方法简单地加以消除。为了减少偶然误差对测量结果的影响，合理地处理观测数据，有必要了解偶然误差的特性。下面介绍一个测量中的例子：在相同的观测条件下，对三角形的内角和进行观测，三角形内角之和Ｌ值不等于其真值180°，差值△称为闭合差或真误差，即

i＝Li－180°（i＝1,2,…n）（1-7-1）现观测了217个三角形，即n＝217，由上式计算的三角形内角和的真误差共计217个。现按每3″为一区间，以误差的大小及其正负号，分别统计个误差区间的个数υ及相对个数υ／217，结果如表1-7-1。（三）偶然误差特性2023/2/482023/2/49

表1-7-1可以看出：⑴小误差出现的个数或百分比比大误差的多；⑵绝对值相同的正负误差的个数或百分比大致相等；⑶最大误差不超过某一定值（本例为27″）。通过大量实践的统计结果可以总结出偶然误差具有以下统计特性：1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限度，或者说超过该限值的误差的概率为零；2、绝对值较大的误差比绝对值较小的误差出现的概率大；3、绝对值相等的正负误差出现的概率相同；4、同一量的等精度观测，随着观测次数ｎ的无限增加时，偶然误差的算术平均值趋于零，即（1-7-2）式（1-7-2）表示偶然误差的数学期望等于零。2023/2/410上述偶然误差的第一个特性说明误差出现的范围；第二个特性说明误差绝对值大小的规律；第三个特性说明误差符号出现的规律；第四个特性可由第三个特性导出，它说明偶然误差具有抵偿性。测量误差的分布还可以用直观的图形来表示，如图1-7-1所示。图中的横坐标表示误差的大小，在横坐标轴上截取各误差区间，纵坐标表示各区间误差出现的相对个数υi／ｎ除以区间的间隔，这种图称为直方图。直方图上每一误差区间上的长方形面积代表该区间误差出现的频率，图中有斜线的矩形面积就代表误差出现在+6″～+9″区间的频率为0.069，显然，图中矩形面积之和为1。2023/2/411当观测次数愈来愈多，误差出现在个区间的频率将趋于一个稳定值，也就是说在一定的条件下，对应着一个确定的误差分布。随着观测次数的足够多，如果把误差的区间间隔无限缩小，图1-7-1中的各矩形的上部折线将变为一条光滑曲线，如图1-7-2所示，称为误差分布曲线。在数理统计中，该曲线称为正态分布曲线图1-7-1测量误差的分布图1-7-2误差分布曲线2023/2/412其曲线方程为：

式（1-7-3）也称概率分布密度，式中参数

σ是观测误差的标准差，也称方差，它是评定测量精度的一个重要指标。（1-7-3）2023/2/413（三）测量精度在测量工作中，衡量观测值的精度，通常采用以下几种精度指标：1、中误差、平均误差、允许误差和极限误差对一组未知量ｘ作等精度观测，其观测值为Ｌi，真误差为Δi，（i＝1，2，3，…），该组观测值的中误差用下式表示：

当观测次数ｎ→∞时，显然ｍ将趣近于σ，或者说中误差是ｎ为有限值时标准差的估值（近似值）。即中误差时衡量一组同精度观测在ｎ为有限个数时的一个精度指标。。必须指出，同精度观测具有相同的中误差，而其真误差彼此是不会相等的。（1-7-4）2023/2/4142023/2/415〖例〗设对某一三角形游用两种不同的精度分别观测了10次，其三角形内角和的真误差为：第一组：+2″,－3″,+4″,+1″,0,-2″,-1″,,+2″,+3″,+4″第二组：0,-2″,+6″,+2″,+8″,-3″,+1″,+7″,-1″,+3″；这两组观测值（三角形内角和）的中误差计算如下：

比较m1、m2的值可知,第一组的观测精度比第二组的观测精度高。2023/2/416一般来说，被观测值的真值是不可知的，不能直接使用式（1-7-4）来计算中误差，通常采用算术平均来代替真值，则精度可用下式表达：

式中ｘi为观测值，ｖi为改正数，ｎ为观测个数。式（1-7-5）即为利用观测值改正数计算中误差的公式，称为白赛尔公式。（1-7-5）2023/2/417在测量工作中，对于评定一组同精度观测值的精度而言，为了计算方便，欧美国家常采用下述精度指标：

θ称为平均误差，它是误差绝对值的平均值。根据误差理论，中误差和平均误差有以下近似的数量关系：

θ≈0.7979ｍ（1-7-6）（1-7-7）由偶然误差的第一特性说明，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。根据误差理论，大于中误差的真误差出现的概率为31.7％，大于两倍中误差的真误差出现的概率为4.5％，大于三倍中误差的真误差出现的概率仅占3‰。可以认为，大于三倍中误差的偶然误差实际上是不可能出现的。故通常以三倍中误差作为偶然误差的极限误差：（1-7-8）2023/2/418实际测量工作中是不允许存在较大误差的，通常测量规范中规定两倍（或三倍）中误差作为偶然误差的允许值，称为允许误差：

或

大于允许误差的观测值被认为是不可靠的，应于剔除，重新新观测。（1-7-9）（1-7-9）′2023/2/419真误差和中误差都是绝对误差，评定精度时，单使用绝对误差有时还不能反映测量的精度。例如，丈量两条直线长度分别为100ｍ和50ｍ，其中误差都是±0.01ｍ，显然不能认为两者的观测精度是相同的。为此，利用绝对误差和观测值的比值Ｋ来评定精度，并要求其分之为1： （1-7-10）Ｋ值称为相对误差，若式中ｍ为中误差则Ｋ称为相对中误差。2、相对误差2023/2/420上例中：

Ｋ1＜Ｋ2，前者精度比后者高。值得指出的是，对于角度而言，测角误差与角度的大小无关，不能用相对误差来衡量测角精度。2023/2/421前面已经叙述了一组同精度观测值的精度评定问题。但是在实际工作中许多未知量不可能或者不便于直接观测，而是由一些直接观测值根据一定函数关系计算而得。例如，欲测定两点间的高差h，可由直接观测的竖直角α和水平距离D以函数关系示 来计算。显然函数ｈ的中误差与观测值D和存在一定的关系，阐述观测值中误差与观测值函数中误差的关系的定律，称为误差传播定律。设有函数（1-7-11）式中 为独立观测值， 已知其中误差为，求不便直接观测的函数Z的中误差。二、误差传播定律2023/2/422当xi具有真误差△xi时，函数Ｚ相应地产生真误差△Z，△xi和△Z都是小值，由数学分析可知，变量的微小变化和函数的微小变化之间的关系，可以近视地用函数全微分来表达，并通过用△xi和△Z取代微分符号ｄｘi和ｄZ，即

式中 （i＝1，2，3，…，n）为函数值对各自变量的偏导数。（1-5-12）2023/2/423设 ，（i＝1，2，3，…，n），则式（1-7-12）可以写成：

为求得函数与观测值之间的中误差关系式，设想进行了Ｋ次观测，则可以写出Ｋ个式子：（1-7-13）2023/2/424将上面各式分别取平方后求和，然后两端各除以Ｋ得：

设各观测值xi为独立观测值，则△xi·△xj当i＝j时亦为偶然误差,根据偶然误差的第四个特性,式（1-7-14）中最末一项当Ｋ→∞时趣近于零，即：故（1-7-14）式可以写成：（1-7-14）2023/2/425根据中误差的定义，上式可以写成：当认为Ｋ为有限值时，写成中误差形式：即

上式即为由独立观测值计算函数中误差的一般形式。（1-7-15）2023/2/4261、水准测量精度设在Ａ、Ｂ两点间用水准仪观测了ｎ个测站，则Ａ、Ｂ两点间的高差为：ｈ＝ｈ1＋ｈ2＋…＋ｈn设个测站为等精度观测，其中误差为ｍ站，由（1-7-15）式可知Ａ、Ｂ间的高差的中误差为：

三、应用举例（1-7-16）水准测量时，当各测站高差的观测精度基本相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比；同样可知，当各测站距离大致相等时，高差的中误差与距离的平方根成正比，即：或式中，Ｌ为Ａ、Ｂ的总长，ｌ为各测站间的距离，ｍ公里是每公里路线长的高差中误差。即：2023/2/4272、由三角形闭合差计算测角精度设三角形的内角和为Ｌi，三内角的观测值分别为 ，则：三角形的闭合差 ，其内角和闭合差的中误差为：故，根据误差传播定律：所以：

（1-7-17）(1-7-17）式称为菲列罗公式，该式是用真误差Ｗi来计算测角中误差的，它可以用来检验经纬仪的