第三章资金的等值计算

技术经济学谭萍第三章资金的等值计算一、利息的计算；名义利率与实际利率的计算。二、资金时间价值的普通复利计算。（六个公式的应用）三、资金时间价值的其他复利计算。（复利周期与支付周期不等情况下的复利计算）如果将一笔资金存人银行，这笔资金就称为本金。经过一段时间之后，储户可在本金之外再得到一笔利息，这一过程可表示为：

F=P+I

利率几个习惯说法的解释：“利率为8%”——指：年利率为8%，一年计息一次。式中:F——本利和P——本金I——利息“利率为8%，半年计息一次”——指：年利率为8%，每年计息两次，或半年计息一次，每次计息的利率为4%。计息的方式——单利与复利1）单利：仅以本金为基数计算利息，利息不再计息。例：本金100元,三年后本利和为(i=10%,单位：元）单利计算公式为：F＝P（l＋in）总利息:I＝F-

P＝Pin年份年初帐面余额年利息年末本利和1100101102110101203120101302）复利：以本金与累计利息之和为基数计算利息，即“利滚利”。例：本金100元,三年后本利和为(i=10%，单位：元)复利计算公式为：终值F＝P（1＋i）n

总利息：I＝F-P年份年初帐面余额年利息年末本利和110010110211011121312112.1133.1通常，商业银行的贷款是按复利计息的。例某企业以6%的年利率向银行贷款1000万元，贷款期5年，分别以单利、复利计算。问5年后企业支付多少利息?如果贷款期为十年呢？复利法：I=F–P=1000×(1+6%)5–1000=338.23万元单利法：I=F–P=P×i×n=1000×5×6%=300万元从例中可以看到，①当单利计算和复利计算的利率相等时，资金的复利值大于单利值，且时间越长，差别越大。②由于利息是货币时间价值的体现，而时间是连续不断的，所以利息也是不断地发生的。从这个意义上来说，复利计算方法比单利计算更能反映货币的时间价值。因此在技术经济分析中，绝大多数情况是采用复利计算.复利间断复利连续复利间断复利：计息周期为一定的时间区间（年、季、月）连续复利：计息周期无限缩短从理论上讲，资金是在不停地运动，每时每刻都通过生产和流通在增值。但在实际商业活动中，计息周期不可能无限缩短，因而采用较为简单的间断复利计息。③例：某人把10000元，按利率10%（以单利计息）借给朋友3年。3年后，改以复利计息，朋友又使用了4年。最后他从朋友那里收回的本利和F是多少？解：单利计息法公式：F前3年＝P(1＋in)

复利计息法公式：F后4年＝P(1＋i)n

F=10000(1+10%×3)(1+10%)4

=19033元最后可收回本利和是19033元。讨论：现在存入银行100元，年利率为12%，一年末一次性可以取出本利和多少？若一个月计息一次，则一年末可以取出本利和多少？名义利率与实际利率的计算

在复利计算中，利率周期通常以年为单位，计息周期可以与之相同，也可以不同。当计息周期小于一年时，一年内计算利息的次数不止一次了，在复利条件下每计息一次，都要产生一部分新的利息，因而实际的利率也就不同了（因计息次数而变化）。

假如按月计算利息，且其月利率为1%，通常称为“年利率12%，每月计息一次”。

这个年利率12%称为“名义利率”。也就是说,名义利率等于每一计息周期的利率与每年的计息周期数的乘积。但是，按复利计算，上述“年利率12%，每月计息一次”的实际年利率则不等于名义利率，应比12%略大些。设名义利率为r，一年中计息次数为m，则一个计息周期的利率应为r／m，求一年后本利和、年利率？复利方法：一年后本利和F=P(1+i期)m利息P(1+i期)m-P年利率：i=[P(1+i期)m—P]/P=(1+i期)m-1

单利方法：一年后本利和F=P(1+i期×m)利息P×i期×m年利率：P×i期×m/P=i期×m=r所以，名义利率与实际利率的换算公式为: i=

(1+i期)m–1=(1+r/m)m–1当m＝1时，名义利率等于实际利率；当m＞1时，实际利率大于名义利率。当m→∞时，即按连续复利计算时，i与r的关系为： 注意：如果没有特别指出时，通常计算中所给定的利率都是名义利率，而且多数情况下都是年名义利率。例:住房按揭贷款名义利率i

=5.04%，每年计息12次计息期利率：r/m=4.2‰（月息）实际利率：i=5.158%（年利率）i＝（1+r／m）m-

1＝（1+5.04％／12）12-

1＝5.158％

例（P36）现设年名义利率r＝6%，则年、半年、季、月、星期、日的年实际利率如下表所示。

计息期年计息次数计息周期利率（%）年实际利率（%）年16.00006.0000半年23.00006.0900季度41.50006.1364月120.50006.1678星期520.11546.1797日3650.01646.1799连续∞0.00006.1837每年计息周期越多，年实际利率和名义利率相差就越大。在技术经济分析中，如果各技术方案的计息期不同，就不能使用名义利率来评价，而必须换算成实际利率进行评价，否则会得出不正确的结论。

总结当利率周期与计息周期不等时，一般有两种处理方法：

(1)将其换算为实际利率后，再进行计算；(2)直接按单位计息周期利率来计算，但计息期数要作相应调整。

例：某年的住房按揭贷款年利率是6.39%，每月计息一次，则年初借款10万元，则1年末一次性需偿还本利和多少？年名义利率：6.39%；月实际利率：6.39%/12=0.5325%年实际利率：（1+6.39%/12）12–1=6.58%10*（1+6.39%/12）12=10.658万10*（1+6.58%）=10.658万

但若计息周期为1年，则1年末一次性需偿还本利和：10*（1+6.39%）=10.639万

（2006年时5年以上年贷款利率6.39%，年存款利率4.14%，其实存贷利率差不仅是6.39%与4.14%的差距，而是6.58%与4.14%的差距，所以银行有误导倾向）

案例分析方案一：借款100万，年利率为8%，一个季度计息一次。方案二：借款100万，年利率为8.5%，半年计息一次。问：若两年后还款，则选择哪种借款方式？解答：方案一：100×（1+8%/4）8=100×1.172=117.2（万元）

或：实际利率：i=（1+8%/4）4-1=8.24%100×（1+8.24%）2=117.2（万元）方案二：100×（1+8.5%/2）4=100×1.181=118.1（万元）或：实际利率：i=（1+8.5%/2）2-1=8.68%100×（1+8.68%）2=118.2（万元）资金的等值计算

不同时期、不同数额但其“价值等效”的资金称为等值，又叫等效值。在方案比较中，由于资金时间价值的作用，使得各方案在不同时间点上发生的现金流量无法直接比较，利用等值的概念，可以将一个时点发生的资金额换算成另一时点的等值金额，这一过程叫资金等值计算。说明：①影响资金等值的因素有三个资金额大小资金发生的时间利率

②举例例如：现在的100元与一年后的106元，数量上并不相等，但如果将这笔100元的资金存入银行，且年利率为6%时，一年后的本金和利息之和为:F=100(1+6%)=106即，在年利率为6%的条件下，现在的100元与一年之后的106元，则两者是等值的。几个相关的概念—“折现”或“贴现”、“现值”、“终值”、“年金”等把将来某一时点的资金金额换算成现在时点的等值金额称为“折现”或“贴现”。将来时点上的资金折现后的资金金额称为“现值”。与现值等值的将来某时点的资金金额称为“终值”。资金等值计算：利用等值的概念，可以把在一个时点发生的资金金额换算成另一时点的等值金额，这一过程叫资金等值计算。需要说明的是，“现值”并非专指一笔资金“现在”的价值，它是一个相对的概念。一般地说，将t+k时点上发生的资金折现到第t时点，所得的等值金额就是第t+k时点上资金金额的现值。进行资金等值计算中使用的反映资金时间价值的参数叫折现率。年金：分期等额收支的资金值。进行资金等值计算要涉及到五个基本参数，它们是：i——每一利息期的利率，通常是年利率。n——计息周期数，通常是年数。P——资金的现值，或本金。F——资金的未来值，或本利和、终值。A——资金的等年值，表示的是在连续每期期末等额支出或收入中的每一期资金支出或收入额。资金等值计算最基本的六个形式：

等额支付资本回收计算等额支付现值计算等额支付偿债基金计算等额支付终值计算一次支付现值计算一次支付终值计算（一）一次支付终值计算已知P，求F?4321n0……65PF=?

终值又称将来值，是指将现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的金额。一次支付终值公式为F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)一次支付终值现金流量图例3.2（P38）某公司现在向银行借款100万元，年利率为10%，借款期为5年，问5年末一次偿还银行的本利和是多少？【解答】由一次支付终值公式可得：

F=P(1+i)n=P(F/P,i,n)=161.1（万元）查表得：(F/P,10%,5)=1.611

复利系数表

i=10%年份一次支付终值系数一次支付现值系数等额支付终值系数偿债基金系数等额分付现值系数资金回收系数n(F/P,i,n)(P/F,i,n)(F/A,i,n)(A/F,i,n)(P/A,i,n)(A/P,i,n)11.1000.90911.0001.00000.9091.100021.2100.82642.1000.47621.7360.576231.3310.75133.3100.30212.4870.402141.4640.68304.6410.21553.1700.315551.6110.62096.1050.16383.7910.263861.7720.56457.7160.12964.3550.2296例：一份遗书上规定有250000元留给未成年的女儿，但是，暂由她的保护人保管8年。若这笔资金的利率是5％，问8年后这位女孩可以得到多少钱？计算公式：F=P（1＋i）n

F＝250000×(1+5%）8

=250000×1.477=369250（元）102n-13nPF=?（二）一次支付现值计算已知F，求P？4321n0……65P=?F一次支付现值现金流量图

现值是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的金额。一次支付现值公式为P=F/(1+i)n=F(P/F,i,n)例：某人为了5年后能从银行取出100元，在复利年利率2%的情况下，求当前应存入金额。【解答】P=F/(1+i)n=100/(1+2%)5

=100（P/F,2%,5）=100×0.9057=90.57（元）

（三）等额支付终值计算已知A，求F?01A432……F=?……n例：某人从30岁起每年末向银行存入8000元，连续10年，若银行年利率为8％，问10年后共有多少本利和？10293108000F=?8000800080008000i=8%F=A×（F／A，i，n）=8000×（F／A，8%，10）=8000×14.487=115892（元）例：某投资人若10年内每年末存入10000元，年利率8%，问10年末本利和为多少？【解答】=10000×(F/A，8%，10)=10000×14.487=14.487（万元）

（四）等额分付偿还基金计算

已知F，求A?01A=?432……F……n例3.5（P41）某公司计划自筹资金于5年后新建一个新产品生产车间，预计需要投资5000万元。若年利率为5%，在复利计息的情况下，从现在起每年年末应等额存入银行多少钱？【解答】=5000×(A/F,5%,5)=5000×0.1810=905(万元)

（五）等额支付现值计算

已知A，求P?……4……3210P=?nA例：某投资项目，计算期5年，每年年末等额收回100万元，问在利率为10%时，开始需一次投资多少？【解答】=100×(P/A，10%，5)=100×3.791=379.1(万元)

（六）等额支付资本回收计算

已知P，求A？……4……3210PnA=?例3.7（P43）某投资项目贷款200万，银行4年内等额收回全部贷款，已知贷款利率为10%，那么项目每年的净收益应不少于多少万元？【解答】

=200×(A/P,10%,4)=200×0.3155=63.09(万元)例：住房按揭贷款年利率5.751%，某人买房贷款15万元，20年还清，每月计息一次（5.751%/12=0.479%），若采取每月等额本息还款，则客户每月还本息多少（银行每月回收本息多少）？10219320P=15A=?解：A＝P×（A／P，i，n）=15×（A／P，0.479%，240）

=15*0.00702=0.1053万（共还款：0.1053*240=25.272万）

等值计算公式小结：类别已知求解计算公式复利系数名称和符号现金流量图一次支付终值PFF=P(1+i)n=P(F/P,i,n)一次支付终值系数(F/P,i,n)现值FPP=F(1+i)-n=F(P/F,i,n)一次支付现值系数(P/F,i,n)等额支付终值AF等额支付终值系数(F/A,i,n)偿债基金FA等额支付偿债基金系数(A/F,i,n)现值AP等额支付现值系数(P/A,i,n)资本回收PA等额支付资本回收系数(A/P,i,n)023n1PF……031F2……nA0123nPA……资金等值计算

例3.9（P49）若年利率为8%，10年中每年年初都存入银行1000元，求到第十年末的本利和为多少？【解答】方法一：F=1000（F/P，8%，10）+1000（F/A，8%，10）-1000=15646（万元）

方法二：F=1000（F/A，8%，10）（F/P，8%，1）=15646（万元）

例：一位发明者转让其专利使用权，一种收益方式在今后五年里每年收到12000元，随后，又连续7年每年收到6000元，另一种是一次性付款。在不考虑税收的情况下，如要求年收益率为10％，他愿意以多大的价格一次性出让他的专有权？102536P=?A1=12000i=10%A2=60001112解：P＝A1（P／A，i，n）+A2（P／A，i，n）（P／F，i，n）＝12000（P／A，10%，5）+6000（P／A，10%，7）（P／F，10%，5）=63625（元）例：如果某工程1年建成并投产，寿命10年（投产后），每年净收益为10万元，按10％的折现率计算，恰好能够在寿命期内把期初投资全部收回。问该工程期初所投入的资金为多少？012311PA=10解：P＝10（P／A，10％，10）（P／F，10％，1）=10×6.145×0.909＝55.86（万元）该工程期初所投入的资金为55.86万元。例：某项工程第一年投资1000万元,1年后又投资1500万元，2年后再投入2000万元，第3年建成投产。投资全部由一银行贷款，年利率为8％。贷款从第三年开始每年年末等额偿还，还款期10年。每年应偿还银行多少万元？解：方案投产年年初的总投资额为：P＝1000（F／P，8％，2）+1500（F／P，8％，l）+2000＝1000×1.1664＋1500×1.080＋2000＝4786.4（万元）A＝P（A／P，8％，10）＝4786.4×0.1490＝713.11（万元）012312A=?100015002000资金等值计算时必须注意：

1）判断已知和要求的变量是属于现值、终值还是年金2）画现金流量图，看是否能够直接运用系数表3）注意计息周期，若小于利率周期，应进行相应的转化（七）等差序列终值公式——已知等差序列得的公差G，求终值F（P44）:A0123……nF=?A+GA+2GA+(n-1)G整付现值系数————整付终值系数。⑴倒数关系等额分付终值系数————等额分付偿债基金系数。等额分付现值系数————等额分付资本回收系数。公式分析①等额分付现值系数的置换②等额分付资本回收系数的置换(P/A,i,n)=(P/F,i,n)(F/A,i,n)(A/P,i,n)=(F/P,i,n)(A/F,i,n)⑵置换关系现值公式中，n对贴现系数的影响以(1+i)-n为例，取i=10%（3）n对贴现系数的影响序号 n(1+i)-n

1 1 0.909092 5 0.620923 10 0.385544 15 0.239395 20 0.148646 25 0.092297 30 0.0573088 40 0.0220949 60 0.003284表明：①60年后的100万元，其现值只有3284元②或者，现在的3284元按10%复利，60年后可获得100万元。③未来20～30年时的收益，其现值已经很小了。所以，建设项目评价中，分析期一般不超过30年。

资金等值计算式的应用

举例1：某企业获得一笔10万元的贷款，偿还期为5年，按年利率8%计复利，有以下4种还款方式，试计算各还款方式所付出的总金额。

已知：（F/P，8%，5）=1.469；（A/P，8%，5）=0.25046

（1）每年年末只偿还所欠利息，第5年末一次还清本金

10*8%*5+10=14万

（2）第5年末一次还清本息；

F/P：P*（F/P，8%，5）=10*1.469=14.69万

（3）在5年中每年年末等额偿还；

A/P：P*（A/P，8%，5）=10*0.25046=2.5046共还款：2.5046*5=12.523万

（4）每年年末等额偿还本金，并付清当年的全部利息；

2*5+[10*8%+（10-1*2）*8%+（10-2*2）*8%+（10-3*2）*8%+（10-4*2）*8%]=10+（10*8%+8*8%+6*8%+4*8%+2*8%）=12.4万

举例2：某人购房申请15万元的贷款，偿还期为10年，年利率5.814%，按月计息（0.4845%），有3种还款方式：（1）第10年末一次还清本息；（2）在10年中每月月末等额偿还（等额本息）；（3）每月月末等额偿还本金，并付清当月的全部利息（等额本金）；

解答：

（1）15*（F/P，0.4845%，120）=15*1.7860314=26.7905（万元）（2）15*（A/P，0.4845%，120）=15*0.0110089=1651.34（元）总数额：0.0165134*120=19.8160（万元）（3）1250*120+[150000*0.4845%+（150000-1*1250）*0.4845%+（150000-2*1250）*0.4845%+…+（150000-119*1250）*0.4845%]=150000+[150000*120-（1*1250+2*1250+…+119*1250）]*0.4845%=19.3942（万元）第一个月：1250+150000*0.4845%=1976.75（元）第二个月：1250+（150000-1*1250）*0.4845%=1970.69（元）第三个月：1250+（150000-2*1250）*0.4845%=1964.63（元）最后一个月：1250+（150000-119*1250）*0.4845%=1256.06（元）【1250*0.4845%=6.06；150000*0.4845%=726.75】i、n的小数处理当两个相邻系数相差较小时，假设呈现线性变化，用内插法求解。正相关（F/P,i,n）,(A/P,i,n),(F/A,i,n)负相关（P/F,i,n）,(P/A,i,n),(A/F,i,n)i:n:正相关（F/P,i,n）,(P/A,i,n),(F/A,i,n)负相关（P/F,i,n）,(A/P,i,n),(A/F,i,n)举例：当利率为7.2%，n为10年时，请问（A/P,7.2%,10）是多少？i7%8%7.2%f2ff1xc计息周期与支付周期不等情况下的复利计算计息周期等于支付周期

例:

年利率为12%，每半年计息一次，从现在起，连续3年，每半年作100万元的等额支付，问与其等值的现值为多少？每计息期的利率

i=12%/2=6%P=A(P/A,i,n)＝100×(P/A,6%,6)=100×4.9173=491.73(万元)

例:年利率12%，每季度计息一次计算利息，从现在起连续3年的等额年末借款为1000元，问与其等值的第3年年末的借款金额为多少？0123456789101112100010001000ⅠⅡⅢF=?年季度计息周期小于支付周期第一种方法：012341000Ⅰ23923923923901234Ⅰ0123456789101112239239239239239239239239239239239239ⅠⅡⅢF=?第二种方法：0123456789101112100010001000ⅠⅡⅢF=?第三种方法：3.4403.374X=?12%12.55%14%思考：某企业五年内每年末投资1000万元于某项目，贷款利率8%，若每年计息四次，问此项投资在第五年末的本利和是多少？其现值又是多少？0