平差模型与最小二乘准则

平差模型与最小二乘准则第一页，共十九页，2022年，8月28日4-1、测量平差的数学模型模型：对客观事物的高度概括。分类：1)形象模型：航模、建筑模型等；2)抽象模型：地图、等式、不等式、数学模型等。平差中的数学模型：函数模型：观测值与观测值之间，或者观测值与未知参数之间的一种数学表达式；随机模型：观测值之间可能有的随机相关性。是随机性的，即经验上的一种近似关系。第二页，共十九页，2022年，8月28日一、函数模型同一个平差问题，建立不同的函数模型，就有不同的平差方式。经典平差中的四种函数模型：二、随机模型：第三页，共十九页，2022年，8月28日三、高斯－马尔柯夫（G-M）平差模型

Gauss用上述模型证明了最小二乘法将得到参数的最佳估值；Markov用上述模型证明了最小二乘估值的方差最小性。第四页，共十九页，2022年，8月28日4-2参数估计与测量平差一、数理统计问题总体（母体〕X：所研究的随机变量可能取值的全体。个体：组成总体的每一个基本单位。样本x：从母体中随机取出的n个个体构成一个样本。子样容量（大小）：构成子样的个体数目n。抽样：获得子样的过程。统计量：由子样构成的函数，不含未知数。第五页，共十九页，2022年，8月28日1、常用统计量：2、常用数理统计方法（1）参数估计（2）统计假设检验（3）回归分析（4）方差分析第六页，共十九页，2022年，8月28日3、对抽样的要求a、代表性：要求子样的各个分量与母体同分布。即b、独立性：要求互独立。二、参数估计问题参数估计包括：a、点估计（定值估计）－－按某种准则，求出参数的一个具体估值。b、区间估计－－以一定的概率，求出参数的某一取值范围。第七页，共十九页，2022年，8月28日三、测量平差的实质是参数估计（1）求最或是值－－即是求E(X)的估值。（2）精度评定－－即是求D(X)的估值。

第八页，共十九页，2022年，8月28日4-3估计值的最优性质点估计的几种方法：矩法、最大似然法、最小二乘法、中位数法、截尾法用不同的点估计方法对同样的母体进行参数估计，会产生不同的估值。最优估值标准：（1）无偏性（2）一致性（3）有效性第九页，共十九页，2022年，8月28日最优估计应具有性质：估计量能在参数真值附近摆动，随着子样容量的增大，摆幅越来越小，n为时，依概率收敛于。一、无偏性第十页，共十九页，2022年，8月28日结论数理统计中平差中性质第十一页，共十九页，2022年，8月28日二、一致性n无限增大时估计量依概率收敛于。第十二页，共十九页，2022年，8月28日补充：严格一致性满足严格一致性的估值一定满足一致性。例：证明子样均值是母体期望的一致性估值。第十三页，共十九页，2022年，8月28日三、有效性第十四页，共十九页，2022年，8月28日最小方差性：第十五页，共十九页，2022年，8月28日4-４最小二乘准则一、最小二乘法设有误差方程：在满足约束：下，对参数进行估计。二、最大似然法第十六页，共十九页，2022年，8月28日有似然函数：设为子样联合分布的密度函数第十七页，共十九页，2022年，8月28日最大似然法基本思想：最大似然法：必须