平均指标和变异指标

平均指标和变异指标第一页，共九十六页，2022年，8月28日第一节平均指标

一、平均指标的概念平均指标又称平均数，是同类社会经济现象总体内各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平，是对同质总体各单位某种数量标志的差异抽象化，从而反映同质总体一般水平的综合指标。它是某一变量数列分布的集中趋势的代表值。第二页，共九十六页，2022年，8月28日

例如，我们要研究一个企业工人的工资情况，企业中每个工人的工资是不同的，彼此之间存在着差异，我们不能以其中任意一个工人的工资来代表整个企业工人工资的水平，应该用工人的平均工资来代表。第三页，共九十六页，2022年，8月28日

平均指标具有三个显著特点：（1）它是一个代表值，可以代表总体的一般水平；（2）它将总体单位之间的数量差异抽象化了；（3）它反映了总体分布的集中趋势。第四页，共九十六页，2022年，8月28日二、平均指标的作用（一）利用平均指标，可以了解总体的一般水平（二）利用平均指标，可以对若干同类现象在不同空间进行比较分析（三）利用平均指标，可以研究某一总体数值的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和趋势（四）利用平均指标，可以分析现象之间的依存关系（五）平均指标可作为某些科学预测、决策和某些推算的依据第五页，共九十六页，2022年，8月28日三、平均指标的分类（一）静态平均数和动态平均数根据平均指标反映内容的不同，可以把平均数分为静态平均数和动态平均数。静态平均数：反映在同一时间范围内总体各单位某一数量标志一般水平的平均数。动态平均数：反映不同时间、同一空间范围内总体某一指标一般水平的平均数。第六页，共九十六页，2022年，8月28日（二）数值平均数与位置平均数根据平均指标计算方法的不同，可以把平均数数值平均数和位置平均数。数值平均数：根据总体各单位标志值计算的平均数，称为数值平均数。如算术平均数、调和平均数、几何平均数。位置平均数：根据总体各单位标志值在变量数列中的位置计算的平均数，如众数和中位数。

第七页，共九十六页，2022年，8月28日第二节算术平均数一、算术平均数的基本形式算术平均数是分析社会经济现象一般水平和典型特征的最基本、最常用的一种平均指标。基本定义为：总体标志总量与总体单位总量之比。

算术平均数＝

第八页，共九十六页，2022年，8月28日例如，某企业某月职工工资总额为180000元，职工总人数为200人，则该企业该月职工的平均工资为：平均工资＝180000÷200＝900（元）算术平均数基本公式中的子项（总体标志总量）与母项（总体单位总数）的口径必须一致，各标志与各单位之间必须具有一一对应的关系，属于同一总体。它区别于强度相对指标。第九页，共九十六页，2022年，8月28日练习：分别指出以下指标属于平均指标还是强度相对指标。

1.每百户居民拥有电话机的数量

2.人均粮食产量

3.人口密度

4.粮食平均亩产量

5.从业人员平均劳动报酬

6.人均粮食消费量第十页，共九十六页，2022年，8月28日二、算术平均数的计算方法计算算术平均数时，根据所掌握资料的不同，可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种形式。（一）简单算术平均数掌握了总体单位标志值及单位总数资料时，可直接利用上述公式计算算术平均数。

【例5-1】某车间7名工人，日生产零件分别为16、14、18、21、23、19、18件，试问该车间零件日均产量？第十一页，共九十六页，2022年，8月28日平均日产量＝＝18.4（件）该车间日平均生产零件18.4件，它代表这个车间日生产零件的一般水平。第十二页，共九十六页，2022年，8月28日简单算术平均数是总体标志总量与总体单位总量相比求出的平均数。其计算公式为：

＝

＝

式中：表示简单算术平均数；表示总体标志总量；表示各单位标志值；表示总体单位总量。简单算术平均数计算方法简便，但其应用的前提是：变量数列中各个变量出现的次数相同。第十三页，共九十六页，2022年，8月28日

（二）加权算术平均数当变量值已经分组，且各个标志值出现的次数不同时，就必须计算加权算术平均。

【例5-2】某商场鞋帽部有16名职工，按日销售额分组，得到的变量数列资料见表5-1，试计算职工平均日销售额。第十四页，共九十六页，2022年，8月28日3

按日销售额分组（元/人）职工人数（人）

日销售额（元）

22002600280030003200

23452

4400780011200150006400合计1644800表5-1某商场鞋帽部职工销售额资料及计算表第十五页，共九十六页，2022年，8月28日

根据表5-1的资料，计算平均日销售额如下：平均日销售额=

==

=2800(元)第十六页，共九十六页，2022年，8月28日

在该平均数的计算中，不仅涉及到变量值x，还涉及到另一个反映变量值出现次数的量，用“f”表示。则有：

==

第十七页，共九十六页，2022年，8月28日该计算公式表明，平均数的大小，不仅取决于总体各单位标志值的大小，而且还受到各单位标志值出现次数的影响。所以，式中的“f”在此起着“权衡轻重”的作用，故统计学中将其称为权数，将以上的计算方法称为加权算术平均法。第十八页，共九十六页，2022年，8月28日【例5-2】已知某职工人数及工资总额资料，见表5-2，计算该饭店职工的平均工资。

表5-2某职工人数及工资总额资料部门工资额(元/人)职工人数(人)工资总额客房部餐饮部商品部83091010265643946480391309234合计——10894844第十九页，共九十六页，2022年，8月28日解：平均工资===(元)

第二十页，共九十六页，2022年，8月28日练习：某车间资料如表5-3，试计算该车间人均日产量。表5-3某车间工人日产量资料表

日产量（件）x工人人数(人）f各组日总产量xf202302408506602合计20第二十一页，共九十六页，2022年，8月28日该车间人均日产量为：＝＝＝42(件)第二十二页，共九十六页，2022年，8月28日如果我们掌握了组距式变量数列资料，也可以计算加权算术平均数。这时可用各组的组中值来代替各组标志值的实际水平。但应用这种方法需要有一个假定条件，即假定各单位标志值在各组内是均匀分布或对称分布的。

【例5-3】某企业工人工资情况如表5-4所示。第二十三页，共九十六页，2022年，8月28日表5-4某企业工人平均工资计算表按工人平均工资分组(元)各组工人数f组中值

x各组工资额

xf500～

600105505500600～

7002065013000700～8005075037500800～9004085034000900以上109509500合计130

—99500第二十四页，共九十六页，2022年，8月28日该企业工人平均工资为：

===765.4(元)第二十五页，共九十六页，2022年，8月28日

计算加权算术平均需要注意：

(1)权数的引入。通过前面的计算不难发现，简单算术平均数的大小，只受一个因素即变量值本身的影响，当变量值的水平较高时，平均数就较大；反之，平均数就较小。加权算术平均数的大小，却要同时受两个因素的影响；一是变量值本身，二是各个变量值出现的次数。

(2)权数的性质。平均数往往靠近次数最多的那个变量值。权数大的变量值对平均数的影响就大，权数小的变量值对平均数的影响就小。第二十六页，共九十六页，2022年，8月28日

(3)权数的实质。权数对算术平均数的影响，不是决定于权数本身数值的大小，而是决定于权数比重的大小。权数比重作为权数的各组单位数占总体单位数的比重，也叫权数系数。单位数所占比重大的组，其变量值对平均数的影响就越大，反之影响就小。

==

式中，为权数比重第二十七页，共九十六页，2022年，8月28日推导过程如下：

===

=第二十八页，共九十六页，2022年，8月28日练习1：有关资料如下，计算平均工资。工资(元)人数(人)350以下3350～4504450～5507550～6503650以上3合计20第二十九页，共九十六页，2022年，8月28日

练习2：有关资料如下，计算工人平均日产量。日产量(件)x各组工人所占比重(%)6510702575408018857合计100第三十页，共九十六页，2022年，8月28日练习3：某局所属各企业按工人人数分组资料如下，计算该局各企业平均工人人数。企业按工人数分组(人)各组企业占企业总数比重(%)组中值x50～1002100～2508250～50015500～75020750～1000251000～1500201500～200010合计100第三十一页，共九十六页，2022年，8月28日思考：加权算术平均数与简单算术平均数的关系。第三十二页，共九十六页，2022年，8月28日在社会经济统计中，往往由于缺少总体单位数资料，不能直接采用算术平均数的方法计算平均数，这时就需要将算术平均数的形式加以改变。例如：市场上某种蔬菜价格早市为0.80元/公斤、中午为0.75元/公斤、晚市为0.60元/

公斤。要计算该种蔬菜一天中的平均价格是多少，有如下两种情况。第三十三页，共九十六页，2022年，8月28日

(1)早、中、晚各买一公斤蔬菜，则平均价格为：＝＝＝0.72（元/公斤）第三十四页，共九十六页，2022年，8月28日

（2）如果早、午、晚各买一元钱的蔬菜，则一天中所买蔬菜平均价格是用一天中所买蔬菜所花的金额3元钱除以该种数量4.25公斤,即（)公斤，因此＝＝

＝0.71(元／公斤)第三十五页，共九十六页，2022年，8月28日第二节调和平均数一、调和平均数的概念调和平均数是各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数。一般有简单调和平均数和加权调和平均数两种。二、简单调和平均数简单调和平均数是各个标志值倒数的简单算术平均的倒数。在各标志值相应的标志总量均为一个单位的情况下求平均数时，应计算简单调和平均数。第三十六页，共九十六页，2022年，8月28日其计算公式为：

==

式中：——调和平均数；

x——各变量值(即标志值)；

n——变量值的个数。第三十七页，共九十六页，2022年，8月28日

【例5-4】某商品在淡季、平季、旺季的价格分别是100元、116元、140元，假设分别以淡季、平季、旺季的价格购买金额相等的这种商品，求该商品的平均价格。

===

=116.46(元)第三十八页，共九十六页，2022年，8月28日三、加权调和平均数加权调和平均数是各个标志值倒数的加权算术平均数的倒数。在实际工作中各标志值相应的标志总量往往是不等的，在这种情况下求平均数时，应计算加权调和平均数。其计算公式为：

==第三十九页，共九十六页，2022年，8月28日式中：m——总体各组标志总量；

x——总体各组标志值；

——总体标志总量。第四十页，共九十六页，2022年，8月28日在前面的例子中，如果每种蔬菜不是各买1元，而是早市买4元钱的蔬菜，午市买3元钱的、晚市买2元钱的蔬菜，则平均每公斤的价格为：＝＝0.73（元）第四十一页，共九十六页，2022年，8月28日事实上，加权调和平均数与加权算术平均数并无本质的区别，只是由于掌握资料的不同，而采用了不同的计算形式而已。当已知各组标志值之和xf和各组标志值（或组中值）x，而不知道各组的次数f时，设m＝xf，则加权算术平均数的公式可做如下变形：＝＝＝第四十二页，共九十六页，2022年，8月28日练习：某车间资料如表5-5所示，计算平均日产量。表5-5某车间资料

日产量（件）x各组日产量m=xf

2040230602403208503006601202合计84020第四十三页，共九十六页，2022年，8月28日调和平均数的特点：（1）调和平均数是根据总体的全部变量值计算的结果。当资料不完整时，无法计算。（2）调和平均数易受极端值的影响，而且受极小值的影响大于受极大值的影响。这是因为调和平均数中变量值采用的是倒数，小数字的倒数值大于大数字的倒数值。（3）调和平均数的应用范围较小。如果在变量值中有一项为0，则无法求其确定的调和平均数。第四十四页，共九十六页，2022年，8月28日第四节几何平均数一、几何平均数的概念几何平均数就是n个变量连乘积的n次方根。二、几何平均数的计算方法由于掌握资料差异，几何平均数也分为简单几何平均数和加权几何平均数。（一）简单几何数设有n个变量值，x1,x2

,…,xn

,由几何平均数定义可得出简单几何平均数的计算公式为：＝＝第四十五页，共九十六页，2022年，8月28日式中:

G——几何平均数；

∏

——连乘符号。

【例5-5】某机械厂生产机器,设有毛坯、粗加工、精加工、装配四个连续作业的车间，各车间某批产品的合格率分别为96%，93%，95%，97%。求各车间制品平均合格率。分析：由于全厂产品的总合格率并不等于各车间制品的合格率总和，后续车间的合格率是在前一车间制品全部合格的基础上计算的。全厂产品的总合格率应等于各车间制品合格率的连乘积，所以不能采用算术平均数和调和平均数公式计算平均合格率，而应用几何平均法来求。

第四十六页，共九十六页，2022年，8月28日

车间制品平均合格率＝＝＝95.24%第四十七页，共九十六页，2022年，8月28日第五节众数和中位数一、众数（一）众数的概念众数是指总体中出现次数最多的标志值。它是总体中最常用遇到的标志值，是最普遍的最一般的标志值。（二）众数的确定确定众数，首先要将数据资料进行分组，编制变量数列；然后，根据变量数列的不同种类采用不同的方法。第四十八页，共九十六页，2022年，8月28日

(1)根据单项式数列确定众数在单项式数列情况下，确定众数比较简单，只需要观察找出次数出现最多的那个标志值即可。

(2)根据组距式数列确定众数根据组距式数列确定众数，需采用插补法。一般步骤是先确定众数组，然后计算众数的近似值。

【例5-6】2003年某地区职工家庭人均月收入资料见表5-5。第四十九页，共九十六页，2022年，8月28日表5-5

2003年某地职工家庭人均月收入资料表人均月收入（元）家庭户数（户）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900～10001000以上2606601800320020001000800600400合计10720第五十页，共九十六页，2022年，8月28日从表5-5中的家庭户数列可知，家庭户数最多的是3200户，它所对应的人均月收入为500～600元。因此，500～600元这一人均月收入组就是众数组，它反映了人均收入的一般水平。然后利用下限公式或上限公式计算众数的近似值：下限公式：上限公式：第五十一页，共九十六页，2022年，8月28日式中，M0——众数；

U——众数组的上限；

L——众数组的下限；

Δ1——众数组次数与下一组次数之差；

Δ2——众数组次数与上一组次数之差；

i——组距。根据表中的资料，将有关数字代入下限公式，得到众数的近似值：

第五十二页，共九十六页，2022年，8月28日众数具有以下几个特点：第一，由于众数是根据变量值出现的次数确定的，不需要通过全部变量值来计算，因此它不受极端值的影响。第二，在组距数列中，各组颁布的次数组距大小的影响，所以根据组距数列确定数列时，要保证各组组距相等。第三，在一个次数分布中有几个众数，称为多众数；有两个众数，称为双重众数，说明总体内存在不同性质的事物。第五十三页，共九十六页，2022年，8月28日二、中位数（一）中位数的概念中位数是指将总体各单位标志值按大小顺序排列后，处于中间位置的那个标志值。由于它的位置居中，其数值不受极端数值的影响，也能表明总体各单位标志值的一般水平。（二）中位数的确定根据所掌握资料的不同，中位数的确定方法有两种，即根据未分组资料确定中位数和根据分组资料确定中位数。第五十四页，共九十六页，2022年，8月28日

1.根据未分组资料确定中位数①将标志值按大小排序②确定中位数所在的位置与中位数所在位置相对应的标志值即为中位数。

中位数位置=

如果标志值的基数是奇数，那么中间位置的那个标志值，就是中位数。第五十五页，共九十六页，2022年，8月28日例如：某班组有7名工人，日生产零件数分别为16，17，18，20，21，22，23件，则中位数所在位置为第4位[(7+1)/2]，第4位所对应的标志值，即20件就是中位数，它代表了这7名工人日生产零件数的一般水平。以上是标志值的项数是奇数的情况。如果标志值的项数是偶数，那么处于中间位置左右两边的标志值的算术平均数，就是中位数。假如上述班组还有1名学徒工人，日生产零件为14件，那么他们生产零件数按顺序排列为14，16，17，18，20，21，22，23件。此时中位数的位置为第4.5位[(8+1)/2]，则中位数为19件[(18+20)/2]，即第4位和第5位所对应的标志值的算术平均数。第五十六页，共九十六页，2022年，8月28日

2.根据分组资料确定中位数①根据单项数列确定中位数这时要考虑标志值的分布情况，按一定方法计算累计次数（向上累计和向下累计）。

【例5-7】某学院2002～2003学年共有30名同学获得奖学金，其分布情况见表5-6。

第五十七页，共九十六页，2022年，8月28日

表5-6学生奖学金分布情况计算表由上表资料计算得中位数位置为30÷2=15，即中位数在第15人位置上。奖学金金额(元/人)人数(人)人数累计向上累计(人)向下累计(人)300500800100015003687639172430302721136合计30－－第五十八页，共九十六页，2022年，8月28日无论是向上累计还是向下累计法，所选择的累计人数数值都应是不小于15的最小数值。上表中的17和21符合这一要求，它们对应的都是第三组，即800元/人就是中位数。②根据组距式数列确定中位数以表5-7为例。表5-7按餐饮收入分组(万元)城市数(个)累计城市数(个)向上累计向下累计5000以下5000～1500015000～2500025000～3500035000以上4985441321263030261794合计30——第五十九页，共九十六页，2022年，8月28日确定中位数的基本步骤如下：第一步，确定中位数所在的组。中位数位置===15

由此可知，中位数在餐饮收入为15000万～25000万元的这一组里。第二步，结合向上(向下)累计次数确定了中位数所在的组。第三步，运用下限或上限公式进行计算，以求得近似的中位数数值。第六十页，共九十六页，2022年，8月28日一般用以下两个公式估算中位数值：

下限公式：上限公式：第六十一页，共九十六页，2022年，8月28日式中，Me——中位数；

L——中位数所在组的下限；

U——中位数所在组的上限；

Sm-1——中位数所在组下一组的向上累计次数；

Sm+1——中位数所在组上一组的向下累计次数；

fm——中位数所在的次数；

i——中位数所在组的组距；

∑f

——总次数。

第六十二页，共九十六页，2022年，8月28日按下限公式可得中位数：

(万元)

第六十三页，共九十六页，2022年，8月28日练习：某企业职工月工资资料如下表所示，试确定其中位数。月工资(元)人数(人)向上累计向下累计500～600110600～700180700～800320800～900460900～10008501000～11002501100～12001301200～1300701300～1400201400～150010合计2400第六十四页，共九十六页，2022年，8月28日第六节应用平均指标需要

注意的问题一、注意社会经济现象的同质性二、注意用组平均数补充说明总平均数三、注意用分配数列补充说明平均数第六十五页，共九十六页，2022年，8月28日第七节标志变异指标一、标志变异指标的概念和作用（一）标志变异指标的概念标志变异指标是指反映总体中各单位志值差异程度的综合指标，又称标志变动。平均指标表现为总体各单位标志值的一般水平，反映各单位标志值的集中趋势。标志变异指标则表现为总体各单位标志值的变异程度，反映各单位标志值的离中趋势。第六十六页，共九十六页，2022年，8月28日（二）标志变异指标的作用

1.标志变异指标可以衡量平均数代表性的大小平均指标作为总体各单位标志值一般水平的代表性指标，其代表性大小与标志变异指标的大小成反比关系，即标志变异指标越大,平均指标的代表性越小,反之则平均指标的代表性越大。第六十七页，共九十六页，2022年，8月28日

【例5-7】有三组工人的年龄（单位：岁）如下：甲组：20，20，20，20，20=20乙组：19，19，20，20，22=20丙组：17，18，19，21，25=20

三组工人的平均年龄都是20岁，但各组年龄差异程度不一样，甲组年龄无差异，即变动度为0岁。乙组的变动度为3岁(22～19)。丙组的变动最大为8岁(25～17)。因此，用平均年龄20岁去代表各组工人的年龄，其代表性是不一样的。第六十八页，共九十六页，2022年，8月28日

2.标志变异指标可以反映社会经济活动过程的均衡性、节奏性和稳定性计算同类总体的标志变异指标，并进行比较，可以观察标志值变动的稳定程度或均衡状态。如我们往往需要利用标志变异指标来测定产品质量的稳定性。

3.标志变异指标是科学地确定必要的抽样单位数应考虑的重要因素第六十九页，共九十六页，2022年，8月28日二、标志变异指标的计算与分析标志变异指标主要有全距、平均差、标准差、变异系数等。（一）全距全距是指总体各单位标志值中两个极端数值，即最大值与最小值之差，用“R”来表示。

第七十页，共九十六页，2022年，8月28日未分组资料或单项式数列中全距的计算公式为：

R＝最大标志值－最小标志值分组资料中全距的计算公式为：

R≈最高组的上限－最低组的下限以例5-7的资料为例，计算全距如下：甲组：R＝20－20＝0（岁）乙组：R＝22－19＝3（岁）丙组：R＝25－17＝8（岁）三组平均年龄均为20岁，但从全距来看丙组的变异程度大，甲组的变异程度最小。第七十一页，共九十六页，2022年，8月28日全距的特点：反映了总体各单位标志值的变动范围。它的优点是计算简便，意义明确、能准确地反映总体中两极的差距。在日常如证券市场的行情分析中应用很广泛。缺点：全距仅表示总体各单位标志值的变动范围，没有包括中间各标志值的变异情况，也无法反映变量数列的次数分布情况，是对变异程度较为粗略的反映。因此，它不能反映总体未必会变异程度，也不能很好地反映平均指标的代表性。

第七十二页，共九十六页，2022年，8月28日（二）平均差平均差是总体各单位标志值与其算术平均数离差的绝对值的算术平均数，用符号“A·D”来表示。计算平均差的目的是测算各单位标志值与其算术平均数离差的大小。因为离差有正、有负，还可能有零，所以，为了避免加总过程中的正负抵消，计算平均差时要取离差的绝对值。第七十三页，共九十六页，2022年，8月28日根据所掌握资料的不同，平均差可分为简单平均差和加权平均差。

1.简单平均差如果掌握的资料是未分组的资料，则可计算简单平均差。一般分为两个步骤：第一步，求各单位标志值与其算术平均数离差的绝对值。第二步，将离差的绝对值之各除以各项数。

第七十四页，共九十六页，2022年，8月28日其计算公式如下：第七十五页，共九十六页，2022年，8月28日

【例5-8】某班有20学生名,按性别分成两组，同时该班某门课程的期中测验成绩如表-8所示。已知该班该门课程平均分数为80分。

第七十六页，共九十六页，2022年，8月28日表5-8

女学生组男学生组成绩（x）成绩（x）68707276808285888990121084025891060626365768895969798201817154815161718合计68合计148第七十七页，共九十六页，2022年，8月28日

女学生组：（分）男学生组：（分）可见，女学生组成绩的平均差为6.8分，男学生组的平均差是14.8分，男学生组成绩的平均差明显地大于女学生组，说明女学生组平均成绩的代表性要大于男学生组平均成绩的代表性。第七十八页，共九十六页，2022年，8月28日

2.加权平均差如果掌握的是分组资料，则可计算加权平均差。其计算公式为：第七十九页，共九十六页，2022年，8月28日

【例5-9】利用下表某商场食品部职工日销售额资料,计算加权平均差。按日销售额分组（元/人）职工人数（人）f离差绝对值离差绝对值加权22002600280030003200234526002000200400120060001000800合计16—3600第八十页，共九十六页，2022年，8月28日根据表中的资料，可得加权算术平均数为2800元/人，加权平均差为：（元/人）计算结果表明，该商场日销售额的加权平均差为225元/人。

第八十一页，共九十六页，2022年，8月28日一般来说，平均差越大，标志变异程度越大，平均数代表性越小；反之，平均数代表性越大。平均差考虑了研究总体中所有标志值的差异程度，所以可以准确地综合反映总体的离散程度。但每项平均差的计算都必须取绝对值，这就带来了不便于进行数学处理的问题，因而在实际应用中受用了很大的限制。第八十二页，共九十六页，2022年，8月28日

(三）标准差

1.标准差的概念标准差是总体各单位标志值与其算术平均数离差平方的算术平均数的平方根。用“”来表示。

2.标准差的计算第一步,计算各单位标志值与其算术平均数的离差；第二步,将各离差进行平方（平方比较符合代数运算）；第三步,将离差平方和除以离差项数，计算出方差；第四步,计算方差的平方根，即为标准差。

第八十三页，共九十六页，2022年，8月28日根据所掌握资料的不同，标准差可分为简单标准差和加权标准差。

1.简单标准差当掌握的资料是未分组资料时，可采用如下公式计算简单标准差；第八十四页，共九十六页，2022年，8月28日

【例5-10】已知平均成绩为80分，以例5-8中考试成绩为例，说明简单标准差的计算。单位：分

女学生组男学生组成绩（x）成绩（x）