第六章含耦合电感电路计算

第六章含耦合电感电路的计算第六章含耦合电感电路的计算6.1耦合电感6.3空心变压器6.2含有耦合电感电路的计算6.4理想变压器

线圈2中没有电流通过，但由线圈1的电流在线圈2中感应电压，此种现象为互感现象。同样，在线圈2中有交流电流通过，在线圈1种也会产生感应电压。在工作时，多个线圈之间有耦合作用。

其中：N1和N2为线圈匝数，为磁通,ψ为磁通链。11i1↕

→φ11→ψ11(ψ11=N1φ11)↕

→u11(自感电压）φ21→

ψ21(ψ21=N2φ21)↕

→u21(互感电压）i221u12u11e1i1u21自感现象互感现象

1、互感现象磁链

是线圈中电流i的函数：

电感元件的磁链与电流i成正比:

=Li

=N=f(i)理想情况下，可用线性电感L作为线圈的电路模型。u,i

取关联参考方向根据电磁感应定律与楞次定律，电感线圈中的电压电流关系为：其中：N为线圈匝数，为磁通iueN2、耦合线圈的电流电压关系VCR（1）单个线圈的VCR（复习）+–u11+–u21i11121N1N2当线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic

flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2。当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压u21。当i1、u11、u21方向与

符合右手定则时，根据电磁感应定律和楞次定律：(2)

耦合线圈的电流电压关系VCR当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，有L1：线圈1的自感系数；M21：线圈1对线圈2的互感系数。(self-inductancecoefficient)(mutualinductancecoefficient)单位：Hu11：自感电压；

u21：互感电压。同理，当线圈2中通电流i2时会产生磁通22，12。i2为时变时，线圈2和线圈1两端分别产生感应电压u22，u12。耦合线圈的电流电压关系VCR互感磁链

自感磁链

+–u12+–u22i21222N1N2可以证明：M12=M21=M。耦合线圈的电流电压关系VCR理想耦合线圈的伏安关系上式体现了线圈间的耦合作用，每个线圈的端电压是自感电压与互感电压的叠加。

互感的性质①从能量角度可以证明，对于线性电感M12=M21=M②互感系数M只与两个线圈的几何尺寸、匝数、相互位置和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有M

N1N2（L

N2）当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：3、耦合电感的同名端具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。对自感电压，当u,i取关联参考方向，i与

符合右手螺旋定则，其表达式为上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。对线性电感，用u,i描述其特性，当u,i取关联方向时，符号为正；当u,i为非关联方向时，符号为负。对互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，还必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。引入同名端可以解决这个问题。同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。1和2、1和3’为同名端，1’和2’、1’和3也为同名端**+–u11+–u21i1110N1N2+–u31N3si2i311’2’3’23

同名端的确定不仅与线圈的绕向有关，而且还与线圈的相对位置有关。

图(a)两个线圈绕向不同，相对位置不同，则同名端为1和2’。图(b)两个线圈绕向相同，但相对位置不同，则同名端为1和2。确定同名端的方法：当已知线圈的绕向和相对位置判断同名端要注意：

1、电流流入端

2、磁场加强该端为同名端。i11'22'**(a)i11'22'**(b)耦合电感的同名端11'22'3'3**例6-1

实际中，线圈制好后，很难看出其绕向，用上述的方法不能判断出同名端，但是同名端是与感应电压和施感电流有关的。由上述分析可以看出：

感应电压与施感电流的方向对同名端是一致的，换句话讲，电流方向（参考方向）由一个线圈同名端处流入，则在另一线圈的线圈同名端处产生的感应电压的极性（或参考极性）必然为“+”极性。

在电路分析中，可以去掉线圈的绕向和相对位置，画出耦合电感的模型。

u11u22i21222N1N211’22’u12u1u21u2i1**i1**L1L2+_u1+_u2i2M11’22’耦合电感(线圈绕向相同)的VCRi1**L1L2+_u1+_u2i2M11’22’u11u22i21222N1N211’22’u12u1u21u2i1**结论：表示两个线圈相互作用，不再考虑实际绕向和相对位置，只画出同名端及参考方向即可。耦合电感(线圈绕向相反)的VCRi1**L1L2+_u1+_u2i2M**jL1jL2+_jM+_在正弦交流电路中，其相量形式的方程为**jL1jL2+_+_++__互感的作用相当于受控源（CCVS）耦合电感的相量模型（1）施感电流均由同名端流入，电压在同名端为“+”，耦合电感的VCR时域形式：**L1L2+_u1+_u2i2Mi1(2)电流从非同名端流入，耦合电感的VCR在正弦交流电路中，其相量形式的方程为**jL1jL2+_jM+_**jL1jL2+_+_++__**jL1jL2+_jM+_**jL1jL2+_jM+_**jL1jL2+_jM+_例6-2试写出图示电路伏安关系的相量形式小结：耦合电感的电压有两部分，一部分是自感电压，另一部分为互感电压；自感电压的正负，当施感电流与自感电压为关联方向时，自感电压取“+”号，否则去“-”号；互感电压的正负，当施感电流与互感电压对同名端一致时，互感电压取“+”号，否则取“-”号；换句话讲，当施感电流由一个线圈的同名端流入时，在另一线圈的同名端的电压为高电位，即为“+”号，否则取“-”号；耦合电感的VCR方程正负号的确定：相量方程为2***M13M12M2313例6-3试写出，相量方程。4、

同名端的实验测定如图电路，当闭合开关S时，i增加，当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。当断开S时，如何判定？+–i11'22'**RSViR2R1L1L2①若电压表正偏，则，端钮2与1为同名端

②若电压表反偏，则，端钮2’与1为同名端k表示两个线圈磁耦合的紧密程度。全耦合:

F11=F21，F22=F12可以证明，k1。k的大小与两个线圈的结构、相互位置及周围磁介质有关。

5、耦合系数

(couplingcoefficient)k：注意一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系；有多个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。(2)互感电压的符号有两重含义。同名端；参考方向；(3)互感现象的利与弊：

利用——变压器：信号、功率传递；避免——干扰；克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。(1)顺串（同名端和异名端连接在一起）i**u2MR1u1uL1L2R2iRuL1、互感线圈的串联6.2含有耦合电感电路的计算(2)反串（同名端和同名端连接在一起）互感不大于两个自感的算术平均值。i**u2MR1u1uL1L2R2iRuL耦合电感的串联*顺接一次，反接一次，就可以测出互感：*全耦合当L1=L2时,M=L4L顺接0反接L=互感的测量方法**+–R1R2jL1+–+–jL2jM相量图：(a)顺串(b)反串在正弦激励下耦合电感串联的相量形式和相量图(1)同名端在同侧解得2、互感线圈的并联M**L1L2+–等效电感为故互感小于两元件自感的几何平均值。(1)同名端在异侧解得2、互感线圈的并联M**L1L2+–等效电感为一端口等效阻抗为3、互感消去法**jL1123jL2jMj(L1–M)123j

(L2–M)jM(a)同名端接在一起**jL1123jL2jMj(L1+M)123j

(L2+M)-jM(b)异名端接在一起去耦等效后，电路即可作为一般无互感电路来分析计算。引申i1**L1L2+_u1+_u2i2ML1–Mi1i2i1+i2L2–MML1–Mi1i2i1+i2L2–MMi1**L1L2+_u1+_u2i2ML1+Mi1i2i1+i2L2+M-ML1+Mi1i2i1+i2L2+M-M4、含有耦合电感电路的计算支路法、回路法：方程较易列写，因为互感电压可以直接计入KVL方程中。节点法：方程列写较繁，因为与有互感支路所连接的节点电压可能是几个支路电流的多元函数，不能以节点电压简单地写出有互感的支路电流的表达式。

关键：正确考虑互感电压作用，要注意表达式中的正负号，不要漏项。（2）去耦等效法：通过等效变换，去掉互感的作用，变成无互感的电路进行计算。（1）方程分析法：解：同名端如图所示。

R2R1+L1CL2M标出互感线圈的同名端(2)求:(a)两个线圈中的电流；(b)电源发出的有功功率和无功功率;(c)电路的入端阻抗。例6-4电路如下图所示.计算题代入参数，得(b)电源发出的功率P=39.11W，Q=66.26varR2R1+C**L1L2+_M+_(c)入端阻抗

方法二：先作出去耦等效电路。R2R1+L1CL2MR2R1+L1MCML2M例6-5已知：

=1000rad/s,R=5,L1=L2=10mH

L1=L2=10mH,C=500F,M=2mH。求入端阻抗Z。ZRL1L2CM解ZRL1ML2MCM去耦等效。已知：

=100rad/s,R=296,求IL分析：用去耦法，求移去R支路后剩下一端口的戴维宁等效。2HR+_100∠0oV4H5H401)开路电压2H2H3Hj200j200例6-6j2002)求等效电阻(加流求压法)3)接入R支路ab+_RZeqj20040+–j200j300+_戴维宁等效电路例6-8自耦调压器已知ωL1=7.5，ωL2=12.5，L1L2R1R2**M思考==0解利用回路法代入数据解得ωM=6，R1=3，R2=5，求、、，并画相量图-51.50150.30ZL=R+jXZ11=R1+jL1，Z22=(R2+R)+j(L2+X)，ZM=j

M原边（初级线圈）副边（次级线圈）i11'22'**usZL空心**jL2jM+–R1R2ZLjL16.3空心变压器引入电阻引入电抗副边对原边的引入阻抗

Zref1，也称为反映阻抗（或折合阻抗）引入阻抗（反映阻抗）原边电压和电流关系为由此方程得原边等效电路Zin+–Z11原边输入阻抗

Zin引入阻抗

“-”反映了副边的感性阻抗反映到原边为一个容性阻抗由②得可得副边等效电路+–Z22引入阻抗原边对副边的反映阻抗引入阻抗（反映阻抗）引入电阻引入电抗+–Z11原边等效电路+–Z22副边等效电路当电流均指向同名端，ZM=jωM；否则，ZM=-jωM由上述分析可知：副边中的电流是由原边中的电流感应电压产生的；引入阻抗与同名端无关；副边电流与同名端有关，可由等效电路求原、副边电流，这也是空心变压器的又一种分析方法。这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。从能量角度来说:不论变压器的绕法如何，恒为正,这表示电路电阻吸收功率，它是靠原边供给的。电源发出有功=电阻吸收有功=I12(R1+Rl)I12R1消耗在原边；I12Rl

消耗在副边，由互感传输。L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,R2=0.08W,RL=42W,w=314rad/s,法一：回路法（通用）。法二：用反映阻抗（引入阻抗）的概念。例6-10+–Z11原边等效电路**jL2jM+–R1R2RLjL1L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20W,R2=0.08W,RL=42W,w=314rad/s,例6-10+–Z11原边等效电路法二：用反映阻抗（引入阻抗）的概念。⑵求方法②：利用戴维宁定理（次级等效电路）+–RLZeq电路理论基础方法①：6.4理想变压器原边副边高导磁率的铁心i111'22'**i2u2u1特点：1.无损耗（铁损、铜损均为零）2.全耦合（k=1)3.L1、

L2、

M为无穷大，且

L2/L1为常数。满足以上条件的铁心变压器为理想变压器。应用：1.接入RLC可以准确地表达实际的变压器；2.变电压、变电流；3.变阻抗，在电子技术中作为阻抗变换器。满足以上条件的铁心变压器为理想变压器1、定义方程原、副边的磁通相等φ1=φ2。原、副边的磁通链分别为Ψ1=N1φ1、Ψ2=N2φ2。i2u1i1u2**n:1i111'22'**i2u2u1φ2N1φ1n为变比(transformationratio)(1)理想变压器的VCRi2u1i1u2**n:1(1)特性方程为线性方程，n为常数与时间无关，静态元件；

2、理想变压器的性质：正弦相量模型为**+–+–n:1**+–+–n:1

(2)变电压说明电压比的正负号取决于两电压参考方向的极性与同名端的位置，若两电压参考方向的正极性都设在同名端，则取“+”，反之，取“-”。与两线圈中电流参考方向如何假设无关。**+–+–n:1**+–+–n:1思考

(3)变电流说明电流比的正负号取决于两电流参考方向的流向与同名端的位置，若两电流分别从同名端同时流入（或流出）时，电流比取“-”；一个从同名端流入，一个流出时，则取“+”。与两线圈中电压参考方向如何假设无关。**+–+–n:1**+–+–n:1

(4)功率性质：

理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。

由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。i2u1i1u2**n:1

(5)阻抗变换性质

+–n2Zn:1

(n>1)，降压变压器，则阻抗变换后数值增大1

:n(n>1)，升压变压器，则阻抗变换后数值减小即：从匝数少的一边所得的输入阻抗是减小的

从匝数多的一边所得的输入阻抗是增大的**+–