第九章三向应力状态(6,7,8)

§9-6空间应力状态下的变形比能单元体应变能（应变能密度）——单位体积的应变能2、单元体变形功：dydxdz3、单元体应变比能dW变形比能=体积改变比能+形状改变比能CL10TU41[9-18]求证证明：一、强度理论的概念1.引言轴向拉压弯曲剪切扭转弯曲

切应力强度条件

正应力强度条件§9-7强度理论及其相当应力

（2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全因数而得,即根据直接的试验结果建立的强度条件.

上述强度条件具有如下特点

（1）正应力和切应力危险点分别处于单向应力状态或纯剪切应力状态;

但是对于材料在一般平面应力状态下以及三向应力状态下的强度，则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合，所以材料破坏的极限应力无法通过试验加以测定。因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强度破坏的起决定作用的主要因素，从而得到材料破坏由主要因素引起的假说──强度理论，例如利用单向拉伸试验测得的强度的一些结果为主要因素，来推断复杂应力状态下材料的强度。

（1）脆性断裂:无明显的变形下突然断裂.二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）屈服失效

材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.2.断裂失效

（2）韧性断裂:产生大量塑性变形后断裂.引起破坏的主要因素形状改变比能最大切应力最大线应变最大正应力工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为Ⅰ.研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大拉应变理论；Ⅱ.研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。(1)最大拉应力理论(第一强度理论)：这个理论认为引起材料脆性断裂破坏的主要因素是最大拉应力，无论在什么应力状态下，当一点处三个主应力中的拉伸主应力s1达到该材料在单轴拉伸试验的极限应力su，材料就发生脆性断裂破坏。可见，第一强度理论关于脆性断裂的判据为而相应的强度条件则是其中，[s]为对应于脆性断裂的许用拉应力，[s]＝su/n，而n为安全因数。三、几个主要的强度理论

试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响；此外，它对某一点所取的单元体在任何截面上都没有拉应力的情况就不再适用。。

(2)最大拉应变理论(第二强度理论)：这个理论认为引起材料脆性断裂破坏的主要因素是最大拉应变，无论在什么应力状态下，当一点处的最大拉应变e1达到该材料在单轴拉伸的极限拉应变eu，材料就会发生脆性断裂破坏。可见，第二强度理论关于脆性断裂的判据为对应于式中材料脆性断裂的极限拉线应变eu，如果是由单轴拉伸试验而发生脆性断裂情况下测定的(例如对铸铁等脆性金属材料)，那么eu＝su/E。

亦即而相应的强度条件为按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉伸应力状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易断裂，而这与实际情况往往不符，故工程上应用较少。则第二强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运用的如下应力形式表达：煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。

(3)最大切应力理论(第三强度理论)：

这个理论认为引起材料屈服破坏的主要因素是最大切应力，无论在什么应力状态下，当一点处的最大切应力tmax达到该材料在轴向拉伸试验中屈服时最大切应力的极限值tu时，材料就发生屈服破坏。第三强度理论的屈服判据为对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss，从而有tu＝ss/2的材料（例如低碳钢），上列屈服判据可写为即而相应的强度条件则为

(4)形状改变比能理论(第四强度理论)：该理论认为引起材料屈服破坏的主要因素是形状改变比能，无论在什么应力状态下，只要一点处的形状改变比能vd达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能vdu时，材料即会发生屈服破坏。

第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力σ2的影响，其带来的最大误差不超过15％，而在大多数情况下远比此为小。于是，第四强度理论的屈服判据为对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss的材料，注意到试验中s1＝ss，s2＝s3＝0，而相应的形状改变能密度的极限值为故屈服判据可写为此式中，s1、s2、s3是构成危险点处的三个主应力，相应的强度条件则为这个理论比第三强度理论更符合已有的一些平面应力状态下的试验结果，但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论。亦即(5)强度理论的相当应力

上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式：式中，sr是根据不同强度理论以危险点处以主应力表达的一个值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件s≤[s]中的拉应力s，通常称sr为相当应力。表7-1示出了前述四个强度理论的相当应力表达式。相当应力表达式强度理论名称及类型第一类强度理论(脆性断裂的理论)第二类强度理论(塑性屈服的理论)第一强度理论──最大拉应力理论第二强度理论──最大伸长线应变理论第三强度理论──最大切应力理论第四强度理论──形状改变能密度理论表7-1四个强度理论的相当应力表达式

一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。

影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如低温能提高脆性，高温一般能提高塑性； 在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。无论是塑性材料或脆性材料：

在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；

在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。

一.适用范围（Theappliancerange）

（2）塑性材料选用第三或第四强度理论;

（3）在二向和三向等拉应力时,无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏,故选用第一或第二强度理论;

（1）一般脆性材料选用第一或第二强度理论;

（4）在二向和三向等压应力状态时,无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏,故选用第三或第四强度理论.§9-8各种强度理论的适用范围及其应用二.强度计算的步骤（Stepsofstrengthcalculation）

（1）外力分析:确定所需的外力值;

（2）内力分析:画内力图,确定可能的危险面;

（3）应力分析:画危面应力分布图,确定危险点并画出单元体,求主应力;

（4）强度分析:选择适当的强度理论,计算相当应力,然后进行强度计算.三.应用举例（Examples）例9-19已知：

和试写出最大剪应力理论和形状改变比能理论的表达式。解：首先确定主应力

3＝221

2＋42－2＋21

2＋421＝2＝0对于最大剪应力理论（第三强度理论）r3=1-3=对于形状改变比能理论（第四强度理论）r4=

2＋42=

2＋32注意：在解题时，可直接引用以上两式，而不必推导。σ、τ是横截面危险点的应力。例9-20一蒸汽锅炉承受最大压强为p,圆筒部分的内径为D,厚度为d,且

d

远小于D.试用第四强度理论校核圆筒部分内壁的强度.已知p=3.6MPa,d=10mm,D=1m,[]=160MPa.p（a）Dyzd（b）

内壁的强度校核

所以圆筒内壁的强度合适.

用第四强度理论校核圆筒内壁的强度′

"

′

"

例9-21对于图示各单元体,试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力.

（b）

140MPa

110MPa（c）70MPa140MPa80MPa（d）50MPa70MPa30MPa40MPa120MPa（a）120MPa解：（1）单元体（a）

（2）单元体（b）120MPa（a）120MPa

140MPa

110MPa（3）单元体（c）（4）单元体（d）140MPa80MPa（c）70MPa（d）50MPa70MPa30MPa40MPaF解:危险点A的应力状态如图例9-22直径为d=0.1m的圆杆受力如图,Me=7kN·m,F=50kN,材料为铸铁,[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度.故安全.FMeMeAA

例9-23薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4,y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa,[]=170MPa,泊松比=0.3,试用第三强度理论校核其强度.解:由广义胡克定律xyAAsxsy↓

所以,此容器不满足第三强度理论,不安全.

主应力

相当应力例9-24已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力[]=30MPa。试校核该点的强度。解：首先根据材料和应力状态确定破坏形式，选择强度理论。脆性断裂，最大拉应力理论max=1[]其次确定主应力1＝29.28MPa,2＝3.72MPa,3＝0

max=1<[]=

30MPa结论：强度是安全的。例9-25填空题。冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原因是冰处于

应力状态，而水管处于

应力状态。三向压二向拉石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵截面裂开，这与第

强度理论的论述基本一致。二例9-26在纯剪切应力状态下：用第三强度理论和第四强度理论得出塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比。解（1）纯剪切应力状态下三个主应力分别为第三强度理论的强度条件为：由此得：剪切强度条件为：按第三强度理论可求得：（2）第四强度理论的相当应力：按第四强度理论可求得：由此得：剪切强度条件为：第四强度理论强度条件1、三向应力状态中，若三个主应力都等于σ，材料的弹性模量和泊松比分别为E和μ，则三个主应变为

。例9-27填空题。2、第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为σr3及σr4，对于纯剪应力状态，恒有σr3／σr4＝＿＿＿。例9-27填空题。试校核图a所示焊接工字梁的强度。已知：梁的横截面对于中性轴z的惯性矩为

Iz=88×106mm4；半个横截面对于中性轴z的静矩为S*z,max=338×103mm3；梁的材料为Q235钢，其许用应力为[s]＝170MPa，[t]＝100MPa。y例9-28由FS和M图可见，C偏左截面为危险截面，其应力分布如图d所示，smax在横截面的上、下边缘处，tmax在中性轴处，a点处的sa、ta也比较大，且该点处于平面应力状态。该梁应当进行正应力校核、切应力校核，还应对a点用强度理论进行校核。(b)(c)yza(e)sasmaxtmaxta(d)(a)例9-281.

按正应力强度条件校核弯矩图如图c所示，可知最大弯矩为Mmax＝80kN·m。最大正应力为故该梁满足正应力强度条件。(c)例9-28y2.

按切应力强度条件校核此梁的剪力图如图b，最大剪力为FS,max=200kN。梁的所有横截面上切应力的最大值在AC段各横截面上的中性轴处：它小于许用切应力[t],满足切应力强度条件。(b)例9-28y3.用强度理论校核a点的强度a点的单元体如图f所示，a点的正应力和切应力分别为sataa(f)y例9-28由于梁的材料Q235钢为塑性材料，故用第三或第四强度理论校核a点的强度。所以a点的强度也是安全的。例9-28

例9-29两端简支的工字钢梁承受荷载如图a所示。已知材料（Q235钢）的许用应力为[]=170MPa和[]=100MPa。试按强度条件选择工字钢号码。解：首先确定钢梁的危险截面。作出梁的剪力图和弯矩图如图b和图c所示，可见C、D截面为危险截面，取C截面计算，其剪力和弯矩为：(b)

200kN200kNFS图M图(c)

84kN·m(a)

B0.42m2.50

mAC200kN200kN0.42m1.66mD先按正应力强度条件选择截面型号。因最大正应力发生在C截面的上、下边缘处，且为单向应力状态，由正应力强度条件可得截面系数为：据此可选用28a号工字钢，其截面系数为：再按切应力强度条件进行校核。对28a号工字钢，查表可得截面几何性质为：中性轴处的最大切应力（纯剪应力状态）为：可见，选用28a号工字钢满足切应力强度条件，简化的截面形状和尺寸以及应力分布如图d所示。(d)a12213.728013.78.5126.3126.3tmaxsmax利用图d所示的截面简化尺寸和已有的Iz，可求得a点的正应力和切应力分别为：以上分析仅考虑了最大正应力和切应力作用的位置，而对工字型截面腹板和翼缘交界处（图d中的a点），正应力和切应力都较大，且处于平面应力状态（见图e），因此还需对此进行强度校核。sta(e)

sttt其中，Sz为横截面的下缘面积对中性轴的静矩，为：由前例可得，图e所示应力状态的第四强度理论相当应力为：2.图示平面应力状态为工程中常见的应力状态，其主应力分别为将它们分别代入s