第四章 根轨迹法

自动控制理论方炜安徽工业大学电气信息学院第四章根轨迹法本章的主要内容12广义根轨迹3滞后系统的根轨迹4根轨迹的基本概念绘制根轨迹的基本条件和基本规则利用根轨迹分析系统的性能5安徽工业大学电气信息学院

控制系统的稳定性由闭环极点（特征根）决定，系统暂态响应的基本特性也与闭环极点在s平面的分布有密切的关系。

伊凡思(W.R.Evans)提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环极点的图解方法—根轨迹法。将系统的某一个参数（比如开环放大系数）的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。

高阶系统特征根的求取比较困难，从而限制了时域分析法在二阶以上系统中的广泛应用。安徽工业大学电气信息学院4-1根轨迹的基本概念[根轨迹定义]：

系统中某参量变化时，闭环系统特征方程的根(闭环极点)在s平面上运动而形成的轨迹。安徽工业大学电气信息学院例：如图所示二阶系统，-特征方程为：闭环传递函数：系统开环传递函数为：特征根为：安徽工业大学电气信息学院[讨论]：①当K=0时，s1=0,s2=-2,

是开环传递函数的极点②当K=0.32时，s1=-0.4,s2=-1.6③当K=0.5时，s1=-1,s2=-1④当K=1时，s1=-1+j,s2=-1-j⑤当K=5时，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥当K=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j特征根为：安徽工业大学电气信息学院根轨迹与系统性能稳定性考察根轨迹是否进入右半s平面。稳态性能开环传递函数在坐标原点的极点个数，就是系统的型号。根轨迹上的K值就是开环增益。（通常根轨迹增益与开环增益不同，但有一定的对应关系）动态性能由K值所对应的闭环极点分布来估计。安徽工业大学电气信息学院根轨迹可以很直观地表示出当参数K变化时闭环特征根的变化，反映出参数K对系统性能的影响；

也可以很方便地确定满足系统性能要求的K值。安徽工业大学电气信息学院系统的结构图如下：-闭环传递函数为：闭环特征方程式为：凡是满足该方程的s值，就是系统的特征根，或者说是根轨迹上的点。

所以该方程也称为根轨迹方程。4-2绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、根轨迹绘制条件安徽工业大学电气信息学院把上式改写为：为开环传递函数。因为s是复数，所以G(s)H(s)也是复数，需满足幅值和幅角（相角）两方面的条件，即：1.幅值条件：2.相角条件：安徽工业大学电气信息学院为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形式，把开环传递函数写成如下形式：∴幅值条件：安徽工业大学电气信息学院∴相角条件：安徽工业大学电气信息学院相角条件：幅值条件：

可见，幅值条件与Kg有关，相角条件与Kg无关。

因此，把满足相角条件的s值代入到幅值条件中，一定能求得一个与之相对应的Kg值。即凡是满足相角条件的点必然也同时满足幅值条件；反之，满足幅值条件的点未必都满足相角条件。安徽工业大学电气信息学院根轨迹就是s平面上满足相角条件的点的集合。

通常根据相角条件绘制根轨迹；用幅值条件确定根轨迹上某些点对应的Kg值。

安徽工业大学电气信息学院二、绘制根轨迹的基本规则下面介绍以Kg为参变量时绘制根轨迹的基本规则。（Kg从0变化到+∞）开环传递函数安徽工业大学电气信息学院一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。因此根轨迹必然对称于实轴。1、根轨迹的连续性和对称性

闭环系统特征方程的某些系数是增益Kg的函数。当Kg从0到无穷变化时，这些系数是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。安徽工业大学电气信息学院根轨迹方程为：时为起点，时为终点。

当时，只有时，上式才能成立，所以根轨迹起始于开环极点。2、根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。

n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。安徽工业大学电气信息学院

我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数。当时，①，上式成立。是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。②若n>m，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。由根轨迹方程知：当时安徽工业大学电气信息学院

n阶特征方程有n个根。当Kg从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶次。3、实轴上的根轨迹：

实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环实数零点数和极点数的总和为奇数。安徽工业大学电气信息学院[例]设系统的开环传递函数为试求实轴上的根轨迹。[解]：零极点分布如下：红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1]。安徽工业大学电气信息学院4、根轨迹的渐近线：渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角）和渐近线与实轴的交点。

倾角：设根轨迹在无限远处有一点，则s平面上所有的开环有限零点和极点到的相角都相等，即为渐近线的倾角。代入根轨迹的相角条件得：规定：相角逆时针为正，顺时针为负。安徽工业大学电气信息学院渐近线与实轴的交点安徽工业大学电气信息学院[例]系统开环传递函数为：，试确定根轨迹支数，起点和终点。若终点在无穷远处，求渐近线与实轴的交点和倾角。

[解]：根轨迹有3支。

起点为开环极点无有限值零点，所以三支根轨迹都趋向无穷远。渐近线与实轴的交点：渐近线与实轴的倾角：零极点分布和渐近线（红线）如图所示。安徽工业大学电气信息学院5、根轨迹的会合点和分离点：若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开，称该点为分离点或会合点。如图所示某系统的根轨迹，A点称为根轨迹在实轴上的分离点，B点称为根轨迹在实轴上的会合点。安徽工业大学电气信息学院[分离点和会合点的求法]：设系统开环传函：可由确定分离点或会合点。在分离点或会合点0根轨迹方程：安徽工业大学电气信息学院

注意：上式只是确定分离点和会合点的必要条件，求出的解是否实际的分离点和会合点，还需进一步判断。根据相应的规则判断求出的点是否在根轨迹上。

求出这些点对应的增益，若增益为大于零的实数，则所求出的点为分离会合点。安徽工业大学电气信息学院[例]单位反馈系统的开环传递函数为：试确定实轴上根轨迹的会合点和分离点的位置。实轴上根轨迹区间是：显然，-0.4725为分离点，而-3.5275不是分离回合点。[解]：闭环特征方程为：安徽工业大学电气信息学院6、根轨迹的出射角和入射角根轨迹离开开环复极点的切线与实轴正方向的夹角称为出射角；根轨迹进入开环复零点的切线与实轴正方向的夹角称为入射角。在复数极点-pl

处的出射角为：——所有开环零点指向极点-pl矢量的相角之和。——除-pl之外的其余开环极点指向极点-pl

矢量的相角之和。安徽工业大学电气信息学院在复数零点-zl

处的入射角为：——所有开环极点指向零点-zl矢量的相角之和。——除-zl之外的其余开环零点指向零点-zl矢量的相角之和。安徽工业大学电气信息学院[例]如图，试确定根轨迹离开复数共轭极点的出射角。[解]：根据对称性，可知点的出射角为：安徽工业大学电气信息学院7、根轨迹和虚轴的交点：根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对共轭虚根。这时的增益称为临界根轨迹增益。

在闭环特征方程中令

，然后使特征方程的实、虚部为零即可求和

。

由劳斯稳定判据求解。交点和

的求法：安徽工业大学电气信息学院方法一：用劳斯判据[例]开环传递函数为：

，试求根轨迹与虚轴的交点和。

闭环系统的特征方程为：劳斯表：劳斯表中某一行全为零时，特征方程可出现共轭虚根。令，得临界增益为：共轭虚根为辅助方程

的根，安徽工业大学电气信息学院方法二：将代入得：当时，为根轨迹的起点（开环极点）当

时，，即根轨迹与虚轴的交点为。闭环系统的特征方程为：安徽工业大学电气信息学院8、特征根之和闭环系统的特征方程为：

，即：比较上面各式得：

当n-m≥2时，

，即：对于任意的

，闭环极点之和等于开环极点之和，为常数。表明：当

变化时，部分闭环极点在复平面上向右移动（变大），则另一些极点必然向左移动（变小）。安徽工业大学电气信息学院根轨迹绘制举例例1.具有一个零点和3个实极点的三阶系统的根轨迹。设系统的开环传递函数为：解：把开环传递函数化为零、极点形式安徽工业大学电气信息学院1.根轨迹有3条分支，起点为开环极点0、0、-1/T，终点为开环零点-1/τ及无穷远处。02.根轨迹在实轴上的分布为[-1/T，-1/τ]。3.根轨迹有n-m=2条渐近线，安徽工业大学电气信息学院例2.具有一对开环复根和一个开环实零点的四阶系统的根轨迹。设系统的开环传递函数为：解：1.根轨迹有4条分支，起点为开环极点0、-3、-1+j、-1-j，终点为开环零点-2及无穷远处。2.根轨迹在实轴上的分布为(-∞,-3]和[-2，0]。安徽工业大学电气信息学院3.根轨迹有n-m=3条渐近线，4.极点-1+j的出射角为-26.6o

极点-1-j的出射角为+26.6o安徽工业大学电气信息学院5.根轨迹与虚轴的交点系统特征方程为把s=jω代入上式可解得即根轨迹与虚轴的交点为，相应的根轨迹增益为Kgc=7。安徽工业大学电气信息学院安徽工业大学电气信息学院4-3广义根轨迹其它种类的根轨迹:

3.正反馈回路和零度根轨迹

2.多回路系统的根轨迹1.参数根轨迹安徽工业大学电气信息学院在实际系统设计中，除了根轨迹增益Kg外，还常常要分析其它参数变化时对闭环特征根的影响。比如，特殊的开环零、极点，校正环节的参数等。

除Kg以外的其它参数变化时闭环系统特征方程根的轨迹，就是参数根轨迹。

绘制方法：用特征方程中不含可变参数的部分去除特征方程，得到等效的开环传递函数，使参变量的位置与Kg的位置相当。一、参数根轨迹安徽工业大学电气信息学院例1.一随动系统如图所示，试用根轨迹法分析其反馈系数Kf

对系统暂态性能的影响。解：开环传递函数为等效开环传递函数为-特征方程为安徽工业大学电气信息学院等效开环传函1.根轨迹有两条分支，起点为开环极点-1+j3、-1-j3

，终点为开环零点0及无穷远处。2.根轨迹在实轴上的分布为(-∞,0]。03.求分离点和会合点。s1=-3.16为会合点，相应的Kf

=0.432s1=+3.16不在根轨迹上，舍去。Kf

=0.432安徽工业大学电气信息学院4.求极点p1=–1+j3处的出射角由对称性可知p2=-1-j3处的出射角为以Kf为参变量的根轨迹如图所示。0Kf

=0.432等效开环传函安徽工业大学电气信息学院等效开环传递函数为分析：Kf为任何值系统都是稳定的。0Kf

=0.432当Kf<0.432时，系统有一对共轭复根，阶跃响应为欠阻尼情况，且Kf越小，阻尼比越小；当Kf=0.432时，系统有二重根，阶跃响应为临界阻尼情况；当Kf

>0.432时，系统有两个不相等的实根，阶跃响应为过阻尼情况。安徽工业大学电气信息学院等效开环传递函数为分析：0Kf=0.432用幅值条件可求得相应的Kf

值。求时的闭环极点及Kf

值。作的射线与根轨迹的交点即为所求闭环极点。AB安徽工业大学电气信息学院[例]系统如下。试绘制Kg和p分别从零变化到无穷大时的根轨迹。-[解]：有两种方法：

取Kg为不同值时，绘制参量p从零变化到无穷大时的参量根轨迹。这时，根轨迹方程为：

Kg不同时的根轨迹如下页所示：安徽工业大学电气信息学院安徽工业大学电气信息学院

取p为不同值时，绘制参量Kg从零变化到无穷大时的根轨迹。这时，根轨迹方程为：

Kg不同时的根轨迹如右所示：安徽工业大学电气信息学院二、多回路系统的根轨迹根轨迹不仅适合于单回路,也适用于多回路。系统的开环传递函数系统特征方程以α为参数安徽工业大学电气信息学院安徽工业大学电气信息学院研究以Kc

为变量的根轨迹系统有两个环，内环的闭环极点就是外环的开环极点！！1）绘制内环的根轨迹图内环的开环传递函数根据根轨迹绘制规则绘制出以Kf为参数的内环根轨迹图安徽工业大学电气信息学院安徽工业大学电气信息学院2)确定内环的闭环极点要求内环的反馈系数

3.2<Kf<3.5内环的特征方程可选Kf

=3.36,则求得内环的闭环极点为3)绘制外环的根轨迹图外环的开环传递函数安徽工业大学电气信息学院安徽工业大学电气信息学院1、局部正反馈系统的框图正反馈回路的闭环传递函数特征方程三、正反馈回路和零度根轨迹安徽工业大学电气信息学院幅值条件相角条件特征方程对于正反馈回路：相角条件为，因此通常也称为零度根轨迹。安徽工业大学电气信息学院绘制正反馈回路根轨迹的基本规则：（1）根轨迹的分支数(相同)（2）根轨迹的起点和终点(相同)（3）根轨迹的对称性(相同)（4）实铀上的根轨迹：实轴上具有根轨迹的区间是：其右方开环实数零、极点数目之和为偶数。（5）根轨迹的渐近线：根轨迹渐近线与实袖的交点(相同)根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角为安徽工业大学电气信息学院（6）根轨迹的会合点和分离点(相同)（7）根轨迹的出射角和入射角（8）根轨迹与虚轴的交点(相同)（9）闭环极点的和(相同)安徽工业大学电气信息学院例：控制系统方框图如下所示系统的内环为正反馈，绘制内环根轨迹图。解：（1）内环的开环传递函数（3）实轴上的根轨迹（2）根轨迹的起点0，-1，-3终点均为∞

安徽工业大学电气信息学院（4）根轨迹的渐近线（6）根轨迹的分离点特征方程安徽工业大学电气信息学院安徽工业大学电气信息学院在自动控制系统中有时会出现纯时间滞后现象滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊性，对系统的稳定性会带来不利的影响。系统闭环传递函数特征方程这是一个超越方程，闭环系统的特征根不再是有限个，而是无限多个，这是滞后系统的重要特征。4-4滞后系统的根轨迹安徽工业大学电气信息学院滞后系统根轨迹绘制条件滞后系统根轨迹方程滞后系统特征方程安徽工业大学电气信息学院幅值条件相角条件滞后系统根轨迹方程安徽工业大学电气信息学院绘制滞后系统根轨迹的基本规则：（3）实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧开环实零、极点数目之和为奇数。（1）滞后系统的根轨迹是连续的并对称于实轴（2）根轨迹的起点和终点起点终点安徽工业大学电气信息学院（4）根轨迹的渐近线：根轨迹渐近线有无数条，且平行于实轴根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为（5）根轨迹的分离点：安徽工业大学电气信息学院（6）根轨迹的出射角和入射角：（7）根轨迹与虚轴的交点：安徽工业大学电气信息学院例：设滞后系统的开环传递函数为要求绘制此系统的根轨迹图。解：系统特征方程为绘制根轨迹的相角条件为（1）根轨迹的起点和终点起点-

p1=-1,σ=-∞终点趋于无穷远安徽工业大学电气信息学院（2）实轴上的根轨迹（-∞，-1]（3）根轨迹的渐近线平行于实轴并与虚轴交于（4）令k=0画出主根轨迹k=0的根轨迹，称为主根轨迹k=1、2、…的根轨迹，称为辅助根轨迹作图方法安徽工业大学电气信息学院安徽工业大学电气信息学院系统中滞后环节的存在对系统的稳定性带来不利影响,如果系统的开环增益较大,即使原来为一阶的系统也可能变为不稳定系统。说明：1、以近似式画出的根轨迹图与主根轨迹近似。2、当开环增益较大时，近似方法误差很大。近似方法：安徽工业大学电气信息学院4-5利用根轨迹分析系统的性能一、闭环零、极点分布与暂态响应的定性关系

对一个控制系统的基本要求是：系统要稳定；暂态过程的快速性、平稳性要好；稳态误差要小。闭环系统零、极点分布与系统性能的关系为：

1.要求系统稳定，则系统的闭环极点均位于s平面左半平面。

2.如果闭环极点均为负实数，且无零点，则系统的暂态响应为非振荡的，响应时间取决于距离虚轴最近的极点，若其它极点距离虚轴的距离比最近极点的距离大5倍以上，可以忽略不计。安徽工业大学电气信息学院

3.如果系统具有一对闭环主导极点，则系统的暂态响应呈振荡性质，其超调量主要取决于主导极点的衰减率并与其它极点接近原点的程度有关，调整时间主要取决于主导极点的实部安徽工业大学电气信息学院

4.如果系统中存在非常接近的零点和极点，其相互距离比其本身的模值小一个数量级以上，则把这对闭环零、极点称为偶极子。偶极子的位置距离原点非常近时，其对暂态响应的影响一般需要考虑，但不会影响闭环主导极点的主导作用。偶极子的位置距离原点较远时，其对暂态响应的影响可以忽略。

单位反馈系统的开环零点和闭环零点相同，在设计时可以有意识地在系统中加入适当的零点，以抵消对暂态过程影响较大的不利的极点，使系统的暂态性能得到改善。安徽工业大学电气信息学院

5.除主导闭环极点外的其它实数极点的存在会增大系统的阻尼比，使响应速度减慢，超调量减少。闭环实数零点的存在减小系统阻尼，使响应速度加快，超调量增加。安徽工业大学电气信息学院例.系统的开环传递函数为：解：该系统的根轨迹如图所示。根据系统的根轨迹，分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比时的性能指标。安徽工业大学电气信息学院分离点：与虚轴的交点：安徽工业大学电气信息学院用幅值条件可求得相应的Kg值。求时的闭环极点及Kg值。作的射线与根轨迹的交点即为所求闭环极点。根据特征根之和的性质，可求得第3个闭环极点为：安徽工业大学电气信息学院超调量主导极点闭环特征方程为与典型二阶系统相比较调整时间安徽工业大学电气信息学院二、附加开环零点对根轨迹的影响渐近线与实轴倾角随着m