第六节分段低次插值

§6分段低次插值多项式插值的问题前面根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似

f(x),一般总认为Ln(x)次数n越高逼近f(x)的精度越好，但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点，当∞→n时，Ln(x)

不一定收敛到f(x)，本世纪初龙格（Runge）就给出了一个等距节点插值多项式Ln(x)

不收敛的f(x)

的例子。设函数为它在[−5,5]上各阶导数均存在，在[−5,5]上取

n+1个等距节点xI=-5+10i/n,(i=0,1,…,n)

所构造的拉格朗日插值多项式1拉格朗日插值多项式因此随着插值结点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定。为了既要增加插值结点，减小插值区间，以便更好的逼近被插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，我们可以采用分段插值的办法。见P45只在内收敛，而在这区间外是发散的2分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼f(x)。设已知节点a=x0<x1<…<xn=b,

及相应的函数值f0,f1,…,fn,

求一折线函数

Ih

(x)满足：则称为分段线性插值函数3由定义可知Ih

(x)在每个小区间[xk

,xk+1]上可表示为若用插值基函数表示，则在整个区间[a,b]上为4其中基函数

lj(x)满足条件lj(xk)=δjk

(j,k=0,1,2,…,n)其形式是5对于分段线性插值的余项估计有下列结果：定理6.3

设给定节点为a=x0＜x1＜…＜xn=b,f(xi)=yi,

f”(x)在［a,b］上存在,则对任意的x∈[a,b]有:分段线性插值基函数lj(x)只在

xj附近不为零，在其他地方均为零，这种性质称为局部非零性质。6收敛性证明：当x属于[xk

,xk+1]时故又现在要证明考虑7这里ω(h)是函数f(x)在区间[a,b]上的连续模，即对任意两点

x′,x″∈[a,b]，只要

|x′−x″|≤h

，就有|f(x′)

−f(x″)|≤(h)称ω(h)为在f(x)在区间[a,b]上的连续模，当x∈[a,b]时，就有由前式可知，当x∈[a,b]时，有因此，只要f(x)∈C[a,b]，就有在[a,b]上一致成立，故Ih(x)在[a,b]上一致收敛到f(x)。8分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数Ih

(x)

的导数是间断的，若在节点xk(k=0,1,…,n)上除已知函数值fk外还给出导数值这样就可构造一个导数连续的分段插值函数Ih

(x)

,它满足条件:代表区间上一阶导数连续的函数集合）在每个小区间上是三次多项式9由两点三次hermite

插值多项式。可知，Ih

(x)在区间[xk

,

xk

+1]上的表达式为若在整个区间[a,b]上定义一组分段三次插值基函数αj(x)及βj(x)

(j

=0,1,…,n)

，10则Ih

(x)可表示为其中其中αj(x)及βj(x)分别表示为111213收敛性证明:由于αj(x),βj(x)的局部非零性质，当x∈[xk

,

xk+1]时于是Ih

(x)

可表为为了研究Ih

(x)

的收敛性，由αj(x),βj(x)直接得估计式14当x∈[xk

,

xk+1]时于是有即对x∈[a,b]成立,其中

ω(h)是

f(x)在[a,b