第五章 概率论与数理统计

概率论与数理统计长春理工大学工科基础教学部2023/2/4一、概率密度函数

通用函数pdf求离散分布在某点处的概率，

连续分布的概率密度函数值格式：Y=pdf(‘name’,x,A)

%返回由name

指定的单参数分布的概率密度，x为样本数据Y=pdf(‘name’,x,A,B)或Y=pdf(‘name’,x,A,B,C)%返回由name指定的双参数或三参数分布的概率密度说明：name

用来指定分布类型，其取值可以是：

'beta','bino','chi2','exp','ev','f','gam','gev','gp','geo','hyge','logn','nbin','ncf','nct','ncx2','norm','poiss','rayl','t','unif','unid','wbl'2023/2/4一、概率密度函数专用函数当需要某一分布的某类运算功能时，将分布字符与功能字符连接起来，就得到所要的命令.例如，正态分布的概率密度函数：normpdf2023/2/4一、概率密度函数常用的概率密度函数：举例-概率密度函数例2：计算标准正态分布N(0,1)在点0.7733的概率密度值.例1：绘制正态分布N(0,1)和N(1,4)的图像.>>x=-8:0.1:8;y=pdf('norm',x,0,1);y1=pdf('norm',x,1,2);plot(x,y,x,y1,':')>>normpdf(0.7733,0,1)%或输入pdf('norm',0.7733,0,1)结果：ans=0.2958举例-概率密度函数在命令窗口键入ex504，回车后得结果如图.例3：绘制卡方分布的概率密度函数在n分别等于1,5,15时的图形.x=0:0.5:30;

y1=chi2pdf(x,1);y2=chi2pdf(x,5);y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y1,':')holdonplot(x,y2,'+')plot(x,y3,'o')axis([0,30,0,0.2])xlabel('卡方分布')在MATLAB编辑器中编辑M文件：ex504.m二、分布函数通用函数cdfMATLAB中函数cdf可以计算随机变量的分布函数值.格式：cdf(‘name’,x,A)cdf(‘name’,x,A,B)cdf(‘name’,x,A,B,C)专用函数2023/2/4binocdf(k,n,p)normcdf(x,m,s)poisscdf(k,lambda)chi2cdf(x,n)unifcdf(x,a,b)tcdf(x,n)expcdf(x,lambda)fcdf(x,n1,n2)举例-分布函数例4：某市公安局在长度为t

的时间间隔内收到的呼叫次数服从参数为t/2的泊松分布，且与时间间隔的起点无关（时间以小时计）.求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼叫的概率.2023/2/4解：设呼叫次数为X，则该问题转化为求1-P{X≤0}.>>1-poisscdf(0,2.5)%t=5,l=t/2=2.5结果：ans=

0.9179.因此，至少收到1次呼叫的概率为0.9179.方法二：1-P{X≤0}=1-P{X=0}>>1-poisspdf(0,2.5)结果：ans=0.9179例5：设XN(3,4)，求P{2X5}，P{|X|>2}.举例-分布函数2023/2/4>>x=-5:0.1:11;y=normpdf(x,3,2);plot(x,y)>>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)p2=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)结果：p1=

0.5328，p2=

0.6853.三、逆概率分布函数通用函数Inv逆概率分布函数是分布函数F(x)的反函数，即给定a，求满足F(xa)=P{X≤xa}=a的xa，也称xa为该分布的下分位点.专用函数2023/2/4x=unifinv(p,a,b)x=expinv(p,lambda)x=norminv(p,m,s)x=chi2inv(p,n)x=tinv(p,n)x=finv(p,n1,n2)举例-逆概率分布函数例6：公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的.设男子身高X(单位：cm）服从正态分布N(175,36)，求车门的最低高度.2023/2/4解：设h为车门高度，求满足条件P{X>h}=1-P{X≤h}≤0.01的h.>>h=norminv(0.99,175,6)%求满足条件P{X≤h}≥0.99的h的最小值运行结果为h=

188.9581四、期望和方差离散型随机变量的期望和方差可借助sum函数实现，连续型随机变量的期望和方差则借助int函数实现.对于常见的分布可用以“stat”结尾的函数计算给定参数的某种分布的期望和方差.2023/2/4例7：设随机变量X的分布律为求E(X)，D(X).X-2-1012P0.30.10.20.10.3举例—期望和方差>>X=[-2-1012];p=[0.30.10.20.10.3];EX=sum(X.*p)%也可输入EX=sum(X*p')DX=sum(X.^2.*p)-EX.^2结果：EX=

0，DX=2.6000举例-期望和方差例8：设随机变量X的概率密度，求E(X)和D(X).>>symsxf_x=3*x^2;EX=int(x*f_x,0,1)DX=int(x^2*f_x,0,1)-EX^2例9：求参数为8的泊松分布的期望和方差.

结果：EX=

3/4，DX=

3/80>>[m,v]=poisstat(8)结果：m=8，v=8五、基本统计量用于数据描述的常用命令：mean(X）%X为向量，返回向量的均值；X为矩阵，返回由矩阵每一列的均值构成的行向量median(X)%中位数std(X)%标准差var(X)%样本方差moment(X,n)%n阶中心矩range(X)%极差skewness(X)%偏度kurtosis(X)%峰度cov(X,Y)%样本协方差cov(X)%当X为矩阵，返回X的样本协方差举例-基本统计量例10：随机抽取6个滚珠测得直径（单位：mm）如下：14.7015.2114.9014.9115.3215.32求样本均值，样本方差.>>X=[14.7015.2114.9014.9115.3215.32];Xbar=mean(X)%样本均值D=var(X)%样本方差结果：Xbar=15.0600，D=

0.0671注：还可按计算公式得到的样本方差：n=length(X);D1=sum((X(1,:)-Xbar).^2)/(n-1)%D与D1输出结果相同六、参数估计mle利用统计工具箱中的mle函数可以进行极大似然估计mle函数不仅可以返回极大似然估计值，还可以返回置信区间.格式：[phat,pci]=mle(name,x,)说明：①

输入参数：name为分布类型，x是样本，为显著水平（默认为0.05）；②

输出参数：phat是指定分布的极大似然估计值，pci为置信度为(1-)×100%的置信区间.六、参数估计normfit正态分布参数估计的函数格式：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,)说明：①输入参数：x是正态总体N(,2)的样本，为显著水平；②输出参数：muhat和sigmahat分别为总体均值和标准差的点估计值，muci和sigmaci分别为置信度为(1-)×100%的置信区间；expfit，binofit，unifit，poissfit，betafit的用法类似normfit，返回的参数估计为极大似然估计(MLE).举例-区间估计例11：设某种油漆的9个样品，其干燥时间（单位：小时）分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0设干燥时间总体服从正态分布N(,2)，求

和

的置信度为0.95的置信区间（未知）.>>X=[6.05.75.86.57.06.35.66.15.0];[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,0.05)结果：muhat=

6%的极大似然估计值

sigmahat=0.5745%的极大似然估计值

muci=5.55846.4416%的置信区间sigmaci=

0.3880

1.1005

%的置信区间七、假设检验—单个正态总体均值的假设检验ztest对正态分布总体N(,2)，在方差2已知的条件下，对于进行检验格式：[h,sig,ci,zval]=ztest(x,0,,,tail)%完整形式说明：x为样本，0为均值（原假设H0：=0）,为总体标准差，为显著水平（默认值为0.05），tail是双侧假设检验和单侧假设检验的标识，tail取值如下：h=0表示接受原假设，h=1表示拒绝原假设；sig为观察值的概率，当sig为小概率时则对原假设提出质疑；ci为真正均值的1-置信区间；zval为检验统计量的值.tail

=

0，表示备择假设H1:m≠m0（默认，双边检验）；tail

=

1，表示备择假设H1:m>m0（右边检验）；tail

=-1，表示备择假设H1:m<m0（左边检验）.举例：假设检验例12：某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装糖重是一个随机变量，它服从正态分布.当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015.某日开工后检验包装机是否正常，随机地抽取所包装的糖9袋，称得净重（单位：kg）为：0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512问机器是否正常（显著水平=0.05）？解：提出假设：H0:=0=0.5，H1:0.>>X=[0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.52,0.515,0.512];>>[h,sig,ci,zval]=ztest(X,0.5,0.015,0.05,0)举例：假设检验结果为h=1sig=0.0248%

样本观察值的概率ci=0.50140.5210%

置信区间，均值0.5在此区间之外zval=2.2444

%

统计量的值%表示在显著水平=0.05下可拒绝原假设，即认为包装机工作不正常.七、假设检验—单个正态总体均值的假设检验ttest对正态分布总体

N(,2)，在方差2未知的条件下，对于进行检验格式：[h,sig,ci]=ttest(x,0,,tail)例13：设某种电子元件的寿命X（单位：小时）服从正态分布，,2均未知.现测得16只元件的寿命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时（=0.05）？举例：假设检验解：2未知，在=0.05下检验假设：H0:=0=225，H1:>0=225.>>X=[159280101212224379179264222362...168250149260485170];[h,sig,ci]=ttest(X,225,0.05,1)结果：h=0%接受原假设，认为元件的平均寿命不大于225小时sig=0.2570，ci=198.2321Inf%均值225在该置信区间内七、假设检验—两个正态总体均值差的检验ttest2对两个正态分布总体的采样X、Y进行t检验格式：

[h,sig,ci]=ttest2(x,y,,tail)例14：在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法是否会增加钢的产率