第二章 随机变量

第二章随机变量第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布第三节连续随机变量及其分布（4）若x为f(x)的连续点，则有概率密度f(x)具有以下性质：定义3:

设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(t),使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，称f(t)为X的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。上一页下一页返回由性质（2）知：介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1（见图1）。由性质（3）知：X落在区间（x1,x2）的概率等于区间（x1,x2）上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积（见图2）。由性质（4）知：若已知连续型随机变量X的分布函数F(x)求导得概率密度f(x)。图１图２上一页下一页返回(1)若X为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。则有如果x0为f(x)的连续点，有f(x)在x0处的函数值f(x0)反映了概率在x0点处的“密集程度”，而不表示X在x0处的概率。设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各点的质量密度。（2）若X为连续型随机变量，由定义知X的分布函数F(x)为连续函数（注意：反之不然）。X取一个点a的概率为零，事实上两点说明在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间，即有事件{X=a}并非不可能事件概率为零的事件不一定是不可能事件；概率为1的事件不一定是必然事件。

上一页下一页返回求：（1）常数a；（2）（3）X的分布函数F（x）（1）由概率密度的性质可知所以a＝1/2

例1：设随机变量X具有概率密度解：上一页下一页返回上一页下一页返回则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b)，均匀分布设连续型随机变量X的概率密度函数为X的分布函数为：上一页下一页返回概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形可用图示上一页下一页返回设连续型随机变量X具有概率密度则称X服从参数为的指数分布。指数分布X的分布函数为上一页下一页返回f(x)和F(x)可用图形表示上一页下一页返回利用可以证明，正态分布设随机变量X的概率密度为其中,(>0)为常数,则称X服从参数为,

的正态分布或高斯分布,记为X~N(,2).X的分布函数为上一页下一页返回（1）最大值在x=μ处，最大值为;（3）曲线y=f(x)在处有拐点；正态分布的密度函数f(x)的几何特征：（2）曲线y=f(x)关于直线x=μ对称，于是对于任意h>0，有（4）当时，曲线y=f(x)以x轴为渐近线上一页下一页返回当固定，改变的值，y=f(x)的图形沿Ox轴平移而不改变形状，故又称为位置参数。若固定，改变的值，y=f(x)的图形的形状随的增大而变得平坦。越小，X落在附近的概率越大。上一页下一页返回参数=0，=1的正态分布称为标准正态分布，记为X~N(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用和表示，即和的图形如图所示。上一页下一页返回由正态密度函数的几何特性易知一般的正态分布，其分布函数F(x)可用标准正态分布的分布函数表达。若X~,X的分布函数F(x)为因此，对于任意的实数a,b(a<b)，有函数写不出它的解析表达式，人们已编制了它的函数表，可供查用。上一页下一页返回例2：设X~(0,1),求P{1<X<2},P{}.例3：某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的使用寿命不低于1000小时即可。现有甲乙两厂的电子元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态分布N(1100,502),乙厂生产的电子元件的寿命分布服从正态分布N(1150,802)。问应选择哪个厂生产的产品呢？若要求元件的寿命不低于1050小时，又如何？上一页下一页返回比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品。解：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和Y，则X~N(1100,502)，Y~N(1150,802).(1)依题意要比较概率的大小,两个概率如下：