第二章 力系的等效与简化

第二章力系的等效与简化工程力学工程实例§2-1力偶及其性质

日常生活中经常遇到力偶，比如：汽车司机双手转动驾驶盘等。力偶的概念:作用于刚体上大小相等、方向相反且不共线的两个力组成的力系称为力偶。无法再简化的简单力系之一。

力偶作用面：由一对力F

所组成的平面；力偶臂：构成力偶的一对力的作用线间的距离，用d表示；度量转动作用效应的物理量。单位为N·m或kN·m。

力偶系：作用于刚体上的一群力偶。使刚体的转动状态发生改变。作用效应:dF´F1、力偶矩矢概念根据力对点之矩，力偶对O之矩为：ABOMM称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。有一对力偶

,将它们对O点取矩。有一对力偶

,将它们对O点取矩。2、力偶转动效应三要素力偶转动效应三要素大小转向作用面方位4、平面力偶

规定：力偶使刚体在作用面内逆时针转动时为正，顺时针转动时为负。

F¢rdFr3、力偶的等效条件和性质两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。（两个力偶矩矢相等的力偶等效。）1）力偶的等效条件2）力偶的性质

（2）力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），本身又不平衡，也不能与一个力平衡（力偶只能由力偶来平衡）。是一个基本的力学量。（1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。力偶矩因（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。

（4）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。

Mr

F¢rd(a)

FrFra

Mr

F¢rad/a(c)

Fr

Mr

F¢rd(b)Fr（5）只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。一、平面任意力系的概念

各个力的作用线在同一平面内，但不汇交于一点，也不都平行的力系称为平面任意力系。FnF3F2F1yTPQEQDxBAECDFAyFAxα§2-2平面任意力系的简化FAOdFAOdMAO==力线平移定理:作用于刚体上任一点的力可平移到刚体上任一点而不改变对刚体的作用效应，但需增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力对新的作用点之矩矢。二、力的平移定理—附加力偶力线平移的几个性质：1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。FAOdFAOdMAO

A3OA2A1F1F3F2M1OM2M3==

应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O

。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O

的简化。点O

称为简化中心。三、平面任意力系向一点简化MOO

共点力系F1、F2、F3的合成结果为一作用点在点O

的力FR。这个力矢FR称为原平面任意力系的主矢。

附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用MO

代表，称为原平面任意力系对简化中心

O

的主矩。结论：

平面任意力系向平面内任一点的简化结果，是一个作用在简化中心的主矢和一个对简化中心的主矩。推广：平面任意力系对简化中心O的简化结果主矩：主矢：讨论:主矢大小:方向:主矩：

说明1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。2、平面任意力系的主矩与简化中心O的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。主矢：例：在长方形平板的O、A、B、C

点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O

的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。OABC

xy2m3m30°60°解：取坐标系Oxy。（1）求向O点简化结果：①求主矢：yOABC

x主矢的大小主矢的方向②求主矩：（2）求合成结果：合成为一个合力FR，FR的大小、方向与FR’相同。其作用线与O点的垂直距离为：yOABC

xdOABC

xy2m3m30°60°

情况向O点简化的结果力系简化的最终结果分类 主矢FR'

主矩MO

（与简化中心无关）平面一般力系简化的最终结果3 FR0MO=0合力FR=FR，作用线过O点。2 FR'=0MO0 一个合力偶，M=MO。

1 FR’=0MO=0 平衡状态（力系对物体的移动和转动作用效果均为零）。4FR‘0MO0一个合力，其大小为FR=FR，作用线到O点的距离为h=MO/FR'FR在O点哪一边?平面力系简化的最终结果，只有三种可能：一个力；一个力偶；或为平衡力系。

空间力系向点O简化得到一空间汇交力系和一空间力偶系，如图。FnF1F2yzxOF'1F'nF'2MnM2M1zyxOMOF'ROxyz＝＝一、空间任意力系向一点的简化，，，，，，，§2-3空间任意力系向一点简化空间汇交力系可合成一合力F'R：力系中各力的矢量和称为空间力系的主矢。主矢与简化中心的位置无关。MOF'ROxyz空间力偶系可合成为一合力偶，其矩矢MO：力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和称为力系对简化中心的主矩。主矩与简化中心的位置有关。例：图中所示的空间力系，试求力系的主矢及力系对O、A、E三点的主矩。解：力系中的二力可以写成则力系的主矢为力系对O、A、E三点的主矩分别为：例：空间力系如图所示，其中力偶作用在Oxy平面内，力偶矩M=24N.m。试求此力系向点O简化的主矢与主矩。解：将已知量都表示成矢量的形式力系的主矢为：力系的主矩为：二、空间任意力系简化结果分析空间任意力系向一点简化的结果可能出现四种情况：

(1)F'R＝0，MO

＝

0

(2)F'R＝0，MO≠0;(3)F'R≠

0，MO

＝

0;(4)F'R≠

0，MO≠0;1)空间任意力系简化为平衡的情形当空间任意力系向一点简化时出现主矢F'R＝0，主矩MO＝

0，这是空间任意力系平衡的情形。2)空间任意力系简化为一合力偶的情形F'R＝0，MO≠0简化结果为一个与原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于对简化中心的主矩。F'R≠

0，MO＝

0这时得一与原力系等效的合力，合力的作用线过简化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。3)空间任意力系简化为一合力的情形3)空间任意力系简化为一合力的情形

F'R≠

0，MO≠0，且F'R⊥MOMOF'ROF'RF"RFROO'dFROO'＝＝这时亦得一与原力系等效的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，合力的作用线离简化中心O的距离为F'R≠

0，MO≠0，且F'R∥MO此时无法进一步合成，这就是简化的最后结果。这种力与力偶作用面垂直的情形称为力螺旋。F'R与MO同方向时，称为右手螺旋；F'R与MO反向时，称为左手螺旋。图示为一右手螺旋。4)空间任意力系简化为力螺旋的情形＝MOF