《实数》教学设计(两套)

《实数教学设计【教学计说明】(1)本节是在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数范围.从有理数到实数，这是数的范围的一次重要扩充，对今后学习数学有重要意义.在中学阶段，多数数学问题是在实数范围内研究例如，函数的自变量和因变量是在实数范围内讨论，平面几何、立体几何中的几何量（长度、角度、面积、体积等）都是用实数表示等.实数的知识贯穿于中学数学学习的始终，学生对于实数的运算，以后还要通过学习二次根式的运算来加深认识.同时在本节课中充分发挥计算器的计算、验证、探究功能。因此本节的作用十分重要在本节课中为了突出重点，突破难点，我将教学分层次进行，先从从一个探究活动开始，活动中要求学生把几个具体的有理数写成小数的形式，并分析这些小数的共同特征，从而得出任何一个有理数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式.把有理数与有限小数和无限循环小数统一起来以后，指出在前两节学过的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，它们不同于有限小数和无限循环小数，也就是一类不同于有理数的数，由此给出无理数的概念.无限不循环小数的概念在前面两节已经出现，通过强调无限不循环小数与有限小数和无限循环小数的区别，以使学生更好地理解有理数和无理数是两类不同的数.帮助学生建立有意义的知识联结，顺应认知结构中的原有体系，以逐步探究的思路实现对问题的深层次理解，增强思维的深刻性。(2)在探究有理数规律的过程中，使学生在探究时，经历了观察、实验、归纳、总结以及由具体到抽象、由特殊到一般的学习过程，体会到了研究问题、解决问题的方法，加深了对无理数的理解。在处理这段教材时，没有刻意地增加难度，而是立足教材，紧紧围绕课本，尊重教材，挖掘教材，从情境设计—例题选择—课堂引申都是以教材内容为载体，充分开发教材的功能。循序渐进地引导学生去学习新知，使学生能准确地把握学习重点，突破学习难点。(3)计算器在本节课的教学中，起到了重要作用，体现在三个活动过程：第一个过程是利用计算器探求有理数的规律，从而引出无理数的概念；第二个过程是利用计算器估算无理数的近似值；第三个过程用计算器计算实数的值.发挥了计算器的计算功能和探究功能。1

(4)本节课通过学生的主动智力参与手实践自主探索与合作交流等活动，使学生在教师的主导作用下，实现对实数概念的自我建构。(5)教师在培养学生学习兴趣，激发良好学习动机中承担一定的责任。恰当地提出问题和恰当地运用课堂互动策略十分重要。在课堂的准备与指导阶段充分了解学生，进行有效提问，为学生提供及时适当的反馈，运用课堂竞争、合作策略来促进良性课堂互动，实现教学目标。教学任分析1、了解无理数及实数的概念，并会对实数进行分类2、知道实数与数轴上的点具有一一对应关系.知识技能3、学会使用计算器探求将有理数化为小数形式的规律4、学会使用计算器估算无理数的近似值.5、学会使用计算器计算实数的值.教学目标

1、通过计算器探求将有理数化为小数形式的规律，使学生经历观察、猜想、实验等数学活动过程，培养学生数学探究能力和归纳表达能力.2在使用计算器估算和探究的过程中使学生学会用计算器探究数数学思考

学问题的方法.3经历从有理数逐步扩充到实数了解到人类对数的认识是不断发展的.4、经历对实数进行分类，发展学生的分类意识.5通过使用计算器估算无理数的近似值和计算实数的活动使学生建立对无理数的初步数感.1、通过无理数的引入，使学生对数的认识由有理数扩充到实数解决问题2通过计算器对无理数近似值的估算和对实数计算使学生发展实践能力.3交流中学会与人合作与他人交流自己思维的过程和结果2

情感态度

1、通过计算器探求将有理数化为小数形式的规律发学生的求知欲使学生感受数学活动充满了探索性与创造性体验发现的快乐，获取成功的体验．2、通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用3、敢于面对数学活动中的困难能有意识地运用已有知识解决新问题.重点了解无理数和实数的概念，以及实数的分类；会用计算器计算实数难点对无理数的认识.教学流安排活动流程图

活动内容和目的活动1通过对有理数探究发进一通过用计算器计算有理数和研究有理数的规步学习的欲望.

律，得出对数的进一步研究的重要性，引出本节课要研究的课题.活动2通过对数的归纳辨析出无使学生了解无理数和实数的概念，学会对实数理数和实数的概念，并对实数进行分类.活动3通过教师演示和学生活动立实数与数轴上的点的一一对应.活动4用计算器估算无理数近似值.活动5用计算器求实数的值.活动6小结归纳，课后作业.

的分类，通过在数轴上找到表示2，的点，认识无理数可以用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点建立一一对应的关系.在使用计算器估算和验证的过程中，使学生学会用计算器求无理数近似值的方法，渗透用有理数逼近无理数的思想深对无理数的理解.学会用计算器求实数的精确值或近似值.回顾梳理，总结本节课所学到的知识，完善原有认知结构，升华数学思想.3

问题与情境[动[活动1]通过对理数探究，发进一学习的欲望.问题：(1)利用计算器，把下列有34711理数3，，，，51195转换成小数的形式，你有9什么发现？(2)我们所学过的数是否都具有问(1)数的特征，

教学过设计师生行为教师提出问题(1).教师引导学生观察计算结果，得出任何一个整数或整数比即有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.教师提出问题(2).学生回顾思考，通过学生对有理数的再认识，师生共同归纳无理数是无限不循环小数，从而得出无理数既不是整数也不是分数的结论.

设计意图计算器是将有理数转化为小数工具，通过组织学生的计算活动，发现规律，并与学过的无限不循环小数作对比，为学习无理数概念作准备.通过让学生参与无理数的概念的建立和发现数系扩充必要性的过程，促进学生对数学学习的兴趣，培养学生初步的即是否都是有限小数和无

活动1中，教师应关注(1)学发现能力.限循环小数？

生通过实际计算实现有理数到小数的转化，激发进一步学习

注重新旧知识的贯性，使学生体会到学习无理数的欲望(2)学生了解无的内容是融会贯通的。[动

理数的主要特征.教师引出无理数和数的概

激发学生的求知欲。通过对实数进行分类，通过对的归纳辨析教师念，引出无数和实数的念，教师引导学生独立思考：当对

让学生进一步领会分类的思想，培养学生从多并引导生学会对实如

数的充到实范围之角度思考问题，为他们何分类问题：你能对我们学过的数进行合理的分类吗？

后，怎样在实数范围内对学过的数进行分类整理？教师在参与讨论时启发学生类比有理数的分类，同时鼓励学生相互补充、完善，并帮助总结出实数的分类结构图.4

以后更好地学习新知识作准备同时也能使学生加深对无理数和实数的理解.通过学生互相的讨论和交流，可以深刻地体验

数

知识之间的内在联系，初步形成对实数整体性实

理数理数

的认识.[动

活动2中，教师应关注：学生对有理数和无理数的概念以及它们之间的差异与联系的了解程度；学生在讨论中能否发表自己的见解，倾听他人的意见，并从中获益；学生是否能用语言准确地表达自己的观点.教师提出问题.

本次活动是从学生已有通过教演示和学生动，学生独立思考后小讨论交

的知识水平出发，找到建立实与数轴上的的

流学生借助2的得出过程进数轴上的位置会一一对。

行探究，

无理数也可以用数轴上问题：我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示那么无理数是否也可以用数

的点来表示.借助数轴对无理数进行研究，从形的角度，再教师参与并指导实际操作(利一次体会无理数.同轴上的点表示出来呢？你能上到表

用多媒体课件演示圆滚动的过程）.

也感受实数与数轴上的点的一一对应关系.进，吗？

这样的无理数的点

一步体会数形结思想.01234

X

通过多媒体教学使学生本节由于学生知识平的限制，教师直接给出有理数和无5

了解无理数数也可以用数轴上的点来表示，

理数与数轴上的点是一一对应的结论.活动3中，教师应关注：

从而引发学生学兴趣.通过探究活动，在数轴(1)学生利用边长为1正方形上找到了表示无理数的[动用计算估算3的近

的对角线为结论在数轴上找到表示点；(2)学生是否理解直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′点O′所表示的数为；学生是否主动参与探究活动，是否能用语言准确地表达自己的观点.教师利用有理数逼近无理数的

点，使学生了解无理数的几何意义.数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学．通过数学活动，让学生进行探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现养学生动手实践能力，观察、分析、抽象、概括的思维能力.如何求无理数的似值？在此给出来两种估值.

方法引导学生逐步估算3的算的方法对于第一1、讨论：3到底有多大？问题：(1)哪数的平方最接近3？

范围.学生通过用计算器估算，可以寻找到3的范围.

种方法，利用夹逼的办法通过分析3的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小，(2)在哪两个数之间？

用计算器的计算功能估算

3

加深对无理数的理解.并将讨论结果发现结论通的近似值。在此使学生对无理过表格明晰出来填数有进一步的感知

而第二种方法，则是直接用计算器求值.1

2__3

活动,教师应关注：学生能否估算出

利用计算器的计算功能可提高这节课的效.在教学中计算器可1.7

2

1.8

2

3的范；

作为一种探究工具，在(2)学生是否学会了用6

1.71

__〉_3__3

计算器估算无理数近似值的方法.

这节课中让学生自己动手实验、验证，调动学生学习的积极性，增强数感，利用计算器的计2

2

算功能探究用有理数逼

__3

近无理数，使学生感受2、验证.用计算算近似值.[动用计算求实数的值例1：计算.（1）2（结果保留3个有效数字

当数的范围由有理数扩充到实数以后，对于实数的运算，教师强调两点：一是有理数的运算率和运算性质在实数范围内仍然成立；二是涉及无理数的

计算器在求无理数近似值的优越性.安排例目的是想通过具体例子说明，有理数的运算律和运算性质同样适合于实数运算，同时巩固使用计算计算利用计算器求其近似值，器求实数的方法（2）3–20（精确到0.01例2：比较下列各组数的大小.(1)4,15；

转化为有理数进行计算.教师布置练习后，巡视辅导，并通过投影展示同学的计算过程。活动5中，教师应关注：学生是否会正确使用计算

例比较数的大小，教学中可以引导学生运用多种方法，比如可以先求出无理数的似值，把无理数化成有理数，再比较两个有理数(2)-2，-

32

器计算实数；是否按所要求的精确度正确地用相应的近似有限小数来代替无理数.

的大小等.活动学生能够熟练运用计算器求的.使学生加深对实数[动小结归，课后作业问题：1本节课你学到了什么知

教师提出问题.学生独立回答，教师根据学生的回答，结合结构图总结本节知识.7

的认识.通过共同小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所

识？你有什么收获？2本节课如何发挥计算器

学的知识进行紧联活动7中教师应关注(1)学生结，再一次突出本节课的功能帮助你进行数学探究的？课后作业：

对无理数和实数概念的理解程度；学生是否能够认真地倾听

的学习重点，改善学生的学习方式。有利于培养学生数学思想、数学(1)课本第22页习题5.3之与思考；复习巩固1，2，4；学生是否能够发现其中的(2)第23页课本习题之综合数学题，并有意识地运用所学

方法、数学能力和对数学的积极情感．同时为以后的学习作知储运用8.如图

知识解决；

备.(4)学生能够对知识的归纳梳学生通过独立思考，完理和总结的能力的提高；（3思考题：当数从有理学生能否在本节知识的基数扩充到实数以后相反数础上主动思考，类比有理数的

成课后作业，教师能够及时发现问题并反馈学生的学习情况，以便于和绝对值的意义以及运算

性质和运算来学习实数；

查漏补缺，优化课堂教法则对于实数来说是否还学生能否学会用计算器进

学．适用呢？

行计算、探究解决数学问题.年

级

课

实数（1）

课

新授教媒

多媒体教学目标

知技过方情态教学重点教学难点

1.了解无理数和实数的概念以及实数的分类；2.知道实数与数轴上的点具有一一对应关系让学生经历对实数进行分类的过程，通过无理数的引入使学生对数的认识由有理数扩充到实数，借助数轴对无理数研究，从形的角度体会无理数，同时感受实数与数轴的一一对应关系发展学生的分类意识，体会数系扩充对人类发展的作用，进一步渗透数形结合思想了解无理数和实数的概念；掌握实数的分类.对无理数的认识.教

学

过

程

设

计8

90.80.234690.80.2346教程及教学内容一、情境引入

师生行

设意1．任何理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，利用计算器，尝试把下列分数

与前面所学知识联教师布置任务生，并让学生参与化为小数：

利用计算器计算

无理数概念的建立

=______；；11

和发现数系扩充必要性的过程，培养2.反过来，任何有限小数也都能化成分数：

学生的发现能力.0.7=________

；

1.23=_______

；

通过无限循环小数3．无限循小数是不是也能化成分数呢？事实上，任何一个无限循环小数都能化成分数，分子是小数部分与不循环部分的差，分母是“几位循环几个9不循环位数用0补”.如：

教师向学生介绍无限循环小数都能化成分数的方法一

到分数的的转化，为得到无理数概念做好铺垫，2323433991199900

，

步认识有理数.尝试一下由上面的探究可以知道限小数(包括整数和无限循环小数都是有理数，那么，像π，

这样的无限不循环小数又是什么数呢？二、探究新知㈠、无理数概念及实数分类1.无限不循环小数又叫做无数.常见的无理数：①无限不循环小数，

如：

教师直接给出无理

使学生了解无理…；②圆周率π；③开方开不尽

数概念生理解无数和实数的概念，的数，如2

、

3

等.

理数不是整数又不

掌握实数的分类2.有理数和无理数统称为实.3.实数可以按以下两种方式分类：

是分数是无限不循环小数然后教师再给出实数概念9

㈡例题讲解：1.把下列各数填入相应的集合内：

，

，，

，0.35-π，0.3131131113…①有理数集

理数集合③正实数集合

；④负实数集合

教师出示问题，学生思考解决，并阐述做在教学中学生在分析：带根号的数不一定都是无理数，外边没“-”的也不一定就是正数，应先化简再判

题依据和方法，之后解决问题中表现教师总结归纳，师生出的不同水平让断.，，

达成一致，0.35都是有理数；，

学生交流各自解决问题的策略不-π，0.3131131113…是无理数；

，-π

断获得解决问题是负实数，其余都是正实数.㈢实数与数轴上的点的关系问题：每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数是否也可以用数轴上的点表示出来？你能在数轴上找到表示π、的点吗？

的经验提高思维水平分析：在数轴上作表示π、

2的点，由数构形形找点构形径为1的圆周长即是π；边长是的正方形对角线长即为2找点：如下图所示：

教师提出问题生以小组为单位进行讨论交流师参与到学生中去师利用课件演示圆滚动

从学生已有的知识水平出发体会无理数也可以用数轴上的点来表10

的过程，学生观察，示从形的角度再直官感受直径为1一次体会无理数，哥单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周圆上的点由

同时感受实数与数轴上的点的一一对应关系.数轴上的点与实数是一一应的，即数轴上的所有点都表示实数，每个实数都可用数轴上的点表示.三、课堂训练1．下列说中错误的是（）A．3.14无理数B．π是无理数

原点到达所表示的数就是π

C．

2

是无理数

D．

2

是实数

时2．下列说中正确的是（）

效A小数都是有理数C无限小数都是无理数

B有数是实数D实数是无理数

果，之后师生订正答检测本节课的教案，并根据解题情况学效果及时反馈3．下列法中正确的有（）A．数轴的每一个点都表示一个有理数B．数轴上的每一个点都表示一个无理数C．数轴上的每一个点都表示一个整数D．数轴上的每一个点都表示一个实数4．下列说中正确的有（）①带根号的数是无理数②无理数是带根号的数③每个实数都有平方根④每个实数都有立方根

进行针对性的评析A．1个

B．2个

C．3个

D．个5．比较它的大小（用“”号连接，，π，2，1.5，

31．在数轴作出线段a2”.11

2．实ab在数轴上的位置如图所示，请化简：ab

(a)四、小结归纳1.无理数和实数的概念2.实数的两种分类；3.实数与数轴上的点是一一对应关系.五、作业设计课本86-87页：1、2、7、8补充：

教师组织学生回顾本节知识生谈个人收获，师生交流.1.在数轴上离原点距离是5的点表示的数是2.数轴上表示1，2的对应点分别是A、B，点B于点对称点为，则点所表示的数为.3.已知坐标平面内一A(-2,3),将A先向右

学生谈本节课学到的知识以及解题体会平移2个单,再向下平移

3个单,得到A′,则A′的坐标为.4.已知x为实数4求x

值板

书

设

计一、无理数定义、实数定义

实数二、实数分类

三、例题分析教

学

反

思12

年

级

课

实数（2）

课

新授教媒

多媒体教学目标

知技过方情态教学重教学难

1.知道有理数的运算性质、运算律适用于实数.2.会合并二次根式，会进行较简单的实数计算.3.进一步体会实数概念，对全章进行巩固复习.从实际问题出发，揭示算术平方根概念，领会算术平方根的求法.使学生初步体验平方与开平方的互逆关系，培养学生逆向思维解决问题的习惯.理解算术平方根概念，会用根号表示一个正数的算术平方根.理解算术平方根的意义.教

学

过

程

设

计教序教学内容一、情境引入

师生行

设意使学生复习旧知通过上节课的学习们已经知道实数与数轴上点是一一对应的就是说有理数和无理数都能用数轴上的点来表示而且同有理数一样对于数轴上的任意两个点边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大么有理数范围内的相反数和绝对值的意义以及运算法则和性质实数范围内还适用吗？二、探究新知㈠、实数范围内的相反数和绝对值意义

教师从实数与并引起学生思数轴上点是一为新知识的探一对应谈起引作好铺垫导学生复习巩固旧知识并思考教师提出的新问题填空：的相反数是，3是，

的相反数

通过学生亲自解是

的相反数是0数.

题会实数范围学生完成填空，的相反数和绝

，

，

，

并思考实数范对值意义围内关于相反

数和绝对值的得到：①数a相反是，里示任意一13

规定教师让学

实数②个正数的绝值是本身，个负实数的对值是的相反数，0的绝对是0.

生尝试阐述并说明理由师生异同总结.也就是说有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数.

通过解题巩固新知识，运用新知例1⑴分别写6

的相反数；

识，使学生加深⑵指5，

3

3是什么数的相反数；

理解，从而掌握⑶

64的绝对值；

教师出示问题，⑷已知一个数的绝对值是3，求这个数分析⑴因为6)，3.14所以6，3.14相反数分别是

学生思考解决，并阐述做题依据和方法⑵也就是指5，

3

3的相反数.⑶先化简，等于-4，的绝对值就是求-4的绝对值.⑷绝对值等于的数有两个，它们互为相反数，分别是33㈡实数范围内的运算法则和运算性质当数从有理数扩充到实数后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方，而且非负数可以进行开平方，任意一个实数可以进行开立.在进行实数的运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用.例2计算下列各式的值：

教师组织引导学

让学生经历知识的形成过程并能给以合适的形成理由，有利于对知识的深入理解和巩固.⑴

；⑵3

生以小组为单位分析：上面两个式子是无理数的加减运算，分别利用加法结合律和分配律进行运算.在实数的运算中当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.14

讨论实数范围内的运算法则和运算性质问题，教师参与到学生中去，之后学生发

在教学中学生在解决问题中表现出的不同水平，

如：计算（结果保留小数点后两位）：32.2.236；531.7322.45三、课堂训练

；

言，师生交流，达成共识.教师给出问题，

让学生交流各自解决问题的策略，不断获得解决问题的经验，提高思维水平1．实数分（）A