有限元基础教程(绪论)

FiniteElementMethodandANSYS程强有限元分析及ANSYS北京工业大学机电学院课程设置英文名称：FiniteelementmethodandANSYS课程类型：专业选修学时：32学分：2适用对象：机械制造及自动化专业本科生先修课程：线性代数、理论力学，材料力学使用教材及参考书：《有限元分析基础教程》，曾攀，清华大学，2008Ansys软件课程教学基本要求本课程教学环节主要包括：课堂讲授（20学时）、作业、上机计算（12学时）。每章布置1-2道习题，以巩固所学的理论。不单设考试，以大作业的报告、平时作业和考勤综合评定成绩。课程设置及要求绪论1.1概况1.2有限元方法的历史1.3有限元分析的内容和作用1.4有限元分析的一般过程1.5有限元法的基本概念1.6有限元法的发展趋势1概况

有限元方法(finiteelementmethod)或有限元分析(finiteelementanalysis)，是求取复杂微分方程近似解的一种非常有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。有限元分析必须包含三个方面：

(1)有限元方法的基本数学力学原理；

(2)基于原理所形成的实用软件；

(3)使用时的计算机硬件。随着现代计算机技术的发展，一般的个人计算机就能满足第(3)方面的要求；因此，本课的重点将在以上的第(1)和第(2)方面，将通过一些典型的实例来深入浅出地系统阐述有限元分析的基本原理，并强调原理的工程背景和物理概念。1概况有限元法：也称为有限单元法或有限元素法，基本思想是将求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互连接在一起的单元的组合体。由于单元可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。它是将弹性理论、计算数学和计算机软件有机地结合在一起的一种数值计算方法。

任何连续体都可以假想地分割成有限个简单形状单元体的组合，在有限元法中将这些简单形状的单元体称为单元，把单元与单元之间设置的相互连接点，称为节点，如图1.1所示。从理论上说，单元的分割可以是任意的，不过在实际计算中必须根据研究对象的特点，使单元分割既满足力学分析要求，又能使计算简便。图1.1单元与节点左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的三角形就是单元,其顶点就是节点。

从物理角度理解,

可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.

从数学角度理解,

把这个求解区域剖分成许多三角形子域,子域内的位移可用相应各节点的待定位移合理插值来表示.例如:1概况真实系统有限元模型

有限元模型

是真实系统理想化的数学抽象。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。定义1概况2有限元方法的历史数学力学理论研究方面（国外）：1，1870年，英国科学家Rayleigh采用假想的“试函数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发展成为完善的数值近似方法，为现代有限元方法打下坚实基础。2，1943年，Courant发表了第一篇使用三角形区域的多项式函数来求解扭转问题的论文；3，1956年波音公司的研究人员在分析飞机结构时系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式；4，1960年Clough在处理平面弹性问题，第一次提出并使用“有限元方法”

的名称；5，1955年德国的Argyris出版了第一本关于结构分析中的能量原理和矩阵方法的书，为后续的有限元研究奠定了重要的基础。2有限元方法的历史数学力学理论研究方面（国内）：我国的一些学者也在有限元领域做出了重要的贡献：1.胡海昌于1954提出了广义变分原理；2.钱伟长研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间关系；3.钱令希研究了力学分析的余能原理；4.冯康独立地、并先于西方奠定了有限元分析收敛性的理论基础。2有限元方法的历史有限元软件应用及学术论文：

随着计算机技术的飞速发展，基于有限元方法原理的软件大量出现，并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用；目前，专业的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用有限元分析软件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA，IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA，DEFORM，PAM-STAMP,AUTOFORM，SUPER-FORGE等；国际上著名的主要有限元分析软件状况见表1-1。有关有限元分析的学术论文，每年也不计其数，学术活动非常活跃，表1-2列出的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。刊登有限元分析论文的常见学术期刊1-2国际上著名的主要有限元分析软件状况见表1-1有限元方法的发展过程见图1-12有限元方法的历史有限元方法的主要创始人：

1.RichardCourant(美国数学家),1910年在哥廷根大学获得博士学位,1928年创办了应用数学研究所，并在1928～1933年担任所长，开始应用数学的研究，1936年去纽约大学创立了数学研究所，1964年该研究所被命名为Courant数学科学研究所，Courant的名字还与有限元方法紧密联系在一起，是他给这种数值求解偏微分方程以坚实的理论基础，“Courant–Friedrichs–Lewy条件”以及“Courant最小值原理”都是以他的名字命名的重要定理。2有限元方法的历史有限元方法的主要创始人：

2.JohnArgyris(德国人)被誉为有限元分析的发明人和创始者之一，所创立的力学分析的矩阵位移方法为有限元方法的前身，被称为世界上最先进的数学工具，先后因在有限元方法以及混沌理论方面的贡献而获得菲利普王子奖章、美国最高荣誉的爱因斯坦奖，获得包括5个G8国家在内的由16发达国家授予的杰出科技与工程奖；Argyris于1950年代在斯图加特大学创立计算机应用研究所，开发了几个著名的在欧洲广泛使用的有限元分析商业化软件，在有限元方法的应用方面也作出了杰出的贡献。2有限元方法的历史有限元方法的主要创始人：

3.OlgierdCecilZienkiewiz(英国人)。在1968年，创办了InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering杂志并任主编，该杂志至今仍然是该领域的主要刊物。Zienkiewiez教授还是5所科学院的院士，这是对他在有限元方法领域的奠基性发展和贡献的赞誉。1967年，他出版了有限元领域的第一本专著《有限元方法》，该书目前也出版到第5版，可参见《有限元方法第1卷：基本原理)(清华大学出版社，2008)。3有限元分析的作用基于功能完善的有限元分析软件和高性能的计算机硬件对设计的结构进行详细的力学分析，以获得尽可能真实的结构受力信息，就可以在设计阶段对可能出现的各种问题进行安全评判和设计参数修改，据有关资料，一个新产品的问题有60％以上可以在设计阶段消除，甚至有的结构的施工过程也需要进行精细的设计，要做到这一点，就需要类似有限元分析这样的分析手段。

下面举出几个涉及机械工程、土木工程、车辆工程、航空工程以及生物工程的实例。

ANSYS中支架计算模型ANSYS中计算模型的网格划分图计算得出的支架变形图支架应力彩图支架变形的动画图立体车库变形应力彩图这是一个对模型飞机翅膀的模态分析的例题3有限元分析的作用

奥运场馆的鸟巢是建设中最艰难的，枝蔓重达42000T，其中，顶盖以及周边悬空部位重量为14000T。在施工时，采用了78根支柱进行支撑，也就是产生了78个受力区域，在钢结构焊接完成后，需要将其缓慢而又平稳地卸去，让鸟巢变成完全靠自身结构支撑；如何卸载？图1-2北京奥运场馆鸟巢的钢铁枝蔓结构支撑塔架奥运鸟巢的有限元模型3有限元分析的作用图1-3给出的是现代列车车厢整体结构的有限元分析模型3有限元分析的作用图1-4为空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程3有限元分析的作用图1-5为人体肩部区域的骨胳有限元分析模型及计算结果3有限元分析的作用图1-6为精密卧式加工中心有限元分析模型及计算结果3有限元分析的作用图1-7为龙门铣床的有限元分析模型及计算结果4、有限元分析问题的一般过程确定位移模式单元特性分析单元刚度矩阵整体分析整体刚度矩阵解方程组输出计算结果选择结果表示形式结构离散化选择单元类型引入边界条件解释结果直接平衡法；功和能量法；加权残余法消元法；迭代法叠加法5有限元法的基本概念结构离散（有限元建模）内容：1）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元

2）边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷要求：1）离散结构必须与原始结构保形----单元的几何特性

2）一个单元内的物理特性必须相同----单元的物理特性单元与节点单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域。节点：单元与单元间的连接点。节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力节点载荷：作用于节点上的外载。注意：1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别；

2）节点力与节点载荷的差别。节点载荷节点力非法结构离散不同材料节点不合法典型单元类型

单元类型单元图形节点数节点自由度杆单元22梁单元23平面单元32平面四边形42轴对称问题

32板壳单元43四面体单元43插值函数（或位移函数）用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。选择位移函数的一般原则：1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解.位移函数的构造方法（广义坐标法）广义坐标法一维单元位移函数：为待定系数，也称为广义坐标位移函数的构造方法（插值函数法）插值函数法即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和。如一维单元二维单元注：Ni可为Lagrange、Hamiton多项式或形函数，在+1~-1间变化6有限元方法的发展趋势1、与CAD软件的无缝集成在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将模型传送到CAE软件中进行有限元网格划分并进行分析计算，如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。为了满足工程师快捷地解决复杂工程问题的要求，许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。有些CAE软件为了实现和CAD软件的无缝集成而采用了CAD的建模技术，如ADINA软件由于采用了基于Parasolid内核的实体建模技术，能和以Parasolid为核心的CAD软件（如Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks）实现真正无缝的双向数据交换。6有限元方法的发展趋势2、更为强大的网格处理能力网格生成的质量和效率都有了很大的提高，但在有些方面却一直没有得到改进，如对三维实体模型进行自动六面体网格划分和根据求解结果对模型进行自适应网格划分。

自适应性网格划分是指在现有网格基础上，根据有限元计算结果估计计算误差、重新划分网格和再计算的一个循环过程。对于许多工程实际问题，在整个求解过程中，模型的某些区域将会产生很大的应变，引起单元畸变，从而导致求解不能进行下去或求解结果不正确，因此必须进行网格自动重划分。自适应网格往往是许多工程问题如裂纹扩展、薄板成形等大应变分析的必要条件。6有限元方法的发展趋势3、由求解线性问题发展到求解非线性问题许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能解决，必须进行非线性分析求解。例如：薄板成形就要求同时考虑结构的大位移、大应变（几何非线性）和塑性（材料非线性）；而对塑料、橡胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析或需考虑材料的塑性、蠕变效应时则必须考虑材料非线性。众所周知，非线性问题的求解是很复杂的，它不仅涉及到很多专门的数学问题，还必须掌握一定的理论知识和求解技巧，学习起来也较为困难。为此国外一些公司花费了大量的人力和物力开发非线性求解分析软件，如ADINA、ABAQUS等。它们的共同特点是具有高效的非线性求解器、丰富而实用的非线性材料库，ADINA还同时具有隐式和显式两种时间积分方法。6有限元方法的发展趋势4