经典ppt系列之简谐振动

关于经典ppt系列之简谐振动第一页，共六十七页，2022年，8月28日如：机械振动、电磁振动、分子振动、原子振动……。

任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.

机械振动物体围绕一固定位置往复运动.

如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及原子的振动等.机械振动的特点：（1）有平衡点。（2）且具有重复性。即具有周期性振动。

第二页，共六十七页，2022年，8月28日机械振动的分类：（1）按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。（2）按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。（3）按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。（4）按振动位移分：角振动、线振动。（5）按系统参数特征分：线性、非线性振动。

简谐振动最简单、最基本的振动.简谐运动复杂振动合成分解

第三页，共六十七页，2022年，8月28日§12-1简谐振动第四页，共六十七页，2022年，8月28日一弹簧振子的振动

弹簧振子若弹簧本身的质量和摩擦力忽略不计，即只有弹性恢复力作用下的质点的模型称为弹簧振子

平衡位置物体所受合力为零，物体所在位置称为平衡位置。自然长度l0平衡位置(原点）第五页，共六十七页，2022年，8月28日任意位置令即简谐振动的微分方程该微分方程的通解简谐振动的运动学方程A,j为求解时的积分常量，由初始条件决定。是由谐振子本身的性质决定的，称为振动系统的固有角频率。第六页，共六十七页，2022年，8月28日2wcosA()wtj+简谐振动的加速度avddt2wxxxcosA()wtj+简谐振动的振动方程简谐振动的速度vdtdxxAsinw(wtj+)0AAXv最大a0a最大v0a最大v0tXOAtaOA2wtvOAw第七页，共六十七页，2022年，8月28日弹簧振子在弹性恢复力作用下的振动是简谐振动。

（1）运动学定义：物体位移随时间按余弦函数（或正弦函数）规律变化的运动称为简谐振动。

x=Acos(ωt+φ)（2）动力学定义：物体仅受下式的合力作用的振动称为简谐振动。

F=-kx（3）简谐振动的运动微分方程

d2x/dt2+ω2x=0

简谐振动定义

第八页，共六十七页，2022年，8月28日讨论:

竖直方向的弹簧振子的运动是否简谐振动？第九页，共六十七页，2022年，8月28日例

试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。fxk()+rlrlmgXOf0平衡点mgxfmm在受力平衡点m小球f0mgkrl受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在为置坐标处所受弹性力xkxkrl+krlFmgxk()+rl+合外力振动方程xcosA()wtj+kxx动力学方程mddtx22k0k+微分方程ddtx22mx的解：均与水平弹簧振子结果相同解法提要例二第十页，共六十七页，2022年，8月28日三描写简谐振动的三个特征量

从描写简谐振动的运动学方程中可看出，一个简谐振动系统，若确定了A、ω、φ，则简谐振动系统的振动就完全确定了，因此称这三个量为简谐振动的三个特征量。1振幅A

物体的运动范围为：，将物体离开平衡位置的最大位移的绝对值称为振动的振幅。平衡位置XOO-AAxOxOxOxO第十一页，共六十七页，2022年，8月28日2周期和频率（1）周期完成一次振动需时间-----振动的周期。（2）频率

每秒内振动的次数称为频率ν，单位：赫兹（HZ）对弹簧振子：角频率图对单摆周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关第十二页，共六十七页，2022年，8月28日3相位xxcosA()wtj+,()wtj+vAsinw相位：F()wtj+是界定振子在时刻的运动状态的物理量t运动状态要由位置和速度同时描述，而和的正负取决于

vxxvFtO，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态xxcosAjOvAsinwjO位置速度tO初始条件即为初相：jtO是时，振子的相位。图XOOxOxOxOxOOvOv(取或)第十三页，共六十七页，2022年，8月28日4常数和的确定初始条件cosjxOA或已知

求取第十四页，共六十七页，2022年，8月28日例四已知求例某物体沿

X轴作简谐运动，振幅

A

=

0.12周期

T

=

2s，t=

0

时x0

=

0.06m处初相

j

,t=

0.5s

时的位置

x,速度

v,加速度a物体背离原点移动到位置A

=

0.12m，T

=

2s,w

=

2p/T=

prad·s-1,将j=p/3rad

及t=

0.5s

代入谐振动的

x,v,a定义式得x

A

cos(wt﹢j

)0.104(m)vdtdxxAsinw()wtj+0.19(

m·s-1)avddt2wcosA()wtj+2wx1.03(

m·s-2)解法提要x=

A

cos(wt﹢j

)由简谐振动方程t=

0

时0.06=0.12cosj

得j=±p/3再由题意知t=

0

时物体正向运动，即AsinwjvO0xxOO且vOOj=p/3，则j在第四象限，故取第十五页，共六十七页，2022年，8月28日例一例已知mXt()sO)(0.040.0412简谐振动的X~t曲线完成下述简谐振动方程cos()x+t解法提要A=0.04(m)T=2(s)w

=

2p/T

=p(rad/s)cos()x+t0.04pp2(SI(t=0时第十六页，共六十七页，2022年，8月28日在不能延伸的轻线下端悬一小球m，小球在重力和拉力作用下，在铅直平面内作往复运动，这样的振动系统称为单摆。悬线与铅直方向之间的角度θ作为小球位置的变量，称为角位移，规定悬线在铅直线右方时，角位移为正。

悬线的张力和重力的合力沿悬线的垂直方向指向平衡位置。OOOOllqqmgmgMM二单摆的振动

模型

平衡位置---铅直方向

任意位置第十七页，共六十七页，2022年，8月28日当θ很小时

sinθ≈

θ(θ

＜5°)

符合简谐振动的动力学定义由牛顿第二定律令单摆运动学方程：OOOOllqqmgmgMM恢复力第十八页，共六十七页，2022年，8月28日§12-2简谐振动的能量第十九页，共六十七页，2022年，8月28日线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒

以弹簧振子为例（振幅的动力学意义）总机械能振幅不变第二十页，共六十七页，2022年，8月28日简谐运动能量图4T2T43T能量EkEp均随时间而变且能量相互转换EkEp均随时间而变且能量相互转换EkEp变到最大时变为零EpEk系统的机械能E守恒。E8w2及A2特点变为零变到最大时第二十一页，共六十七页，2022年，8月28日例如图，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k=24N/m，重物的质量m=6kg，重物静止在平衡位置上。设以一水平恒力F=10N向左作用于物体（不计摩檫），使之由平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F。当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。解:第二十二页，共六十七页，2022年，8月28日

例质量为的物体，以振幅作简谐运动，其最大加速度为，求：（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；（3）总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？解（1）第二十三页，共六十七页，2022年，8月28日（2）（3）（4）时，由第二十四页，共六十七页，2022年，8月28日§12-3旋转矢量第二十五页，共六十七页，2022年，8月28日描述谐振动的方法：2.曲线法：3.旋转矢量法：1.函数法：第二十六页，共六十七页，2022年，8月28日t+t=t:

初相位t+

：相位11t=0OOAAXx=A

cos(wt﹢j)第二十七页，共六十七页，2022年，8月28日t+t=t:

初相位t+

：相位11t=0OOAAXx=A

cos(wt﹢j)=0物体正越过原点,以最大速率运动.下个时刻要向x轴的负方向运动.第二十八页，共六十七页，2022年，8月28日t+t=t:

初相位t+

：相位11t=0OOAAXx=A

cos(wt﹢j)=-A物体在负向位移极大处,速度为零.下个时刻要向x轴的正方向运动.第二十九页，共六十七页，2022年，8月28日t+t=t:

初相位t+

：相位11t=0OOAAXx=A

cos(wt﹢j)=0物体正越过原点,以最大速率运动.下个时刻要向x轴的正方向运动.第三十页，共六十七页，2022年，8月28日t+t=t:

初相位t+

：相位11t=0OOAAXx=A

cos(wt﹢j)=A物体在正向位移极大处,速度为零.下个时刻要向x轴的负方向运动.第三十一页，共六十七页，2022年，8月28日t:

初相位t+

：相位11t=0OOAAX循环往复A旋转一周，投影点作一次全振动，所需时间为谐振周期。第三十二页，共六十七页，2022年，8月28日t+t=t11t=0OOAAXx=A

cos(wt﹢j)旋转矢量的模

A

振幅旋转角速度ω逆时针角频率与x轴的0时刻夹角φ初相位t时刻与x轴的夹角(wt﹢j)F相位矢量画法小结第三十三页，共六十七页，2022年，8月28日续上旋转矢量端点M

作匀速圆周运动振子的运动速度（与X轴同向为正）vwA其速率MvvcosqvcosbwAsinvFsinjtw+()MMMAXOAAXOvwMFqbvvjtw+()F2pbObpqanMa

旋转矢量端点M

的加速度为法向加速度，其大小为anw2A振子的运动加速度（与X轴同向为正）w2AaancosFcosjtw+()和av任一时刻的和值，其正负号仅表示方向。va同号时为加速va异号时为减速第三十四页，共六十七页，2022年，8月28日振动质点位移、速度与特征点(t=0时对应的φ)x0>0时Φ在1,4象限v0>0时Φ在3,4象限第三十五页，共六十七页，2022年，8月28日例1.一物体沿

x轴作简谐振动，A=12cm,

T=2s

当t=0时,x0=6cm,且向x正方向运动。解：（1）由旋转矢量图看（2）t=0.5s时,物体的位置、速度、加速度。求（1）初位相。（2）t=0.5s时第三十六页，共六十七页，2022年，8月28日例一例已知mXt()sO)(0.040.0412简谐振动的X~t曲线完成下述简谐振动方程cos()x+t解法提要A=0.04(m)T=2(s)w

=

2p/T

=p(rad/s)cos()x+t0.04pp2XOAwjM(0(=p/2t=0v00

从t=0

作反时针旋转时，A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，即，与已知X~

t曲线一致。v00(SI(第三十七页，共六十七页，2022年，8月28日例三例已知弹簧振子x0

=0t=0时v0=0.4m·s-1m=5×10-3

kgk=2×10-4

N·m

-1

完成下述简谐振动方程cos()x+tv00wkm0.2(rad·s–1)A+x02v02w22(m)x0

=0,已知OXjwM(0(p23相应的旋转矢量图为cos()x+t20.2p23(SI)解法提要v00第三十八页，共六十七页，2022年，8月28日讨论

相位差：表示两个振动状态相位之差.1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.第三十九页，共六十七页，2022年，8月28日同步2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）为其它超前落后反相第四十页，共六十七页，2022年，8月28日［例］已知振动曲线求初相位及相位。

如图所示的x—t振动曲线，已知振幅A、周期T、且t=0时，求：(1)该振动的初相位；(2)a、b两点的相位；(3)从t=0到a、b两态所用的时间是多少?第四十一页，共六十七页，2022年，8月28日方法二，用旋转矢量法

由已知条件可画出t=0时振幅矢量，同时可画出，时刻的振幅矢量图如图所示。由图可知，(3)(1)(2)第四十二页，共六十七页，2022年，8月28日［例］已知振动曲线求初相位及相位。

如图所示的x—t振动曲线，已知振幅A、周期T、且t=0时，求：(1)该振动的初相位；(2)a、b两点的相位；(3)从t=0到a、b两态所用的时间是多少?解：方法一(1)由题图可知，t=0时，第四十三页，共六十七页，2022年，8月28日(2)由题图a点，则a点的相位由题图b点，故b点的相位为:(3)设从t=0到两态所用的时间为ta、tb

第四十四页，共六十七页，2022年，8月28日§12-4振动的合成第四十五页，共六十七页，2022年，8月28日第三节振动合成简谐振动的合成同频率同方向一、两个xx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2且

相同w同在

X

轴合成振动xx1xx2xx+用旋转矢量法可求得合成振动方程xx22yOX1Aj1wA2w2j2jwAjjxx1y1yxx)xxcos()wtj+AAA12+A222A1A2cos(2jj1+j12arctanyxarctany+yx1+x2arctanA1cossinj1+A2sin2jA1j1+A2cos2jj与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差j12j与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用A第四十六页，共六十七页，2022年，8月28日解析法推导：其中，解之可得：第四十七页，共六十七页，2022年，8月28日1）相位差

讨论同相位合振幅最大相互加强第四十八页，共六十七页，2022年，8月28日2）相位差反相位合振幅最小若2jj1为其它值，则处于AA2A1A2A1+与之间相互削弱第四十九页，共六十七页，2022年，8月28日振动合成二简谐振动的合成不同频率同方向二、两个为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。+合振动xx1xx2xx+xx1Acoswt1coswt2Axx22pnAcost12pnAcost22pnAcost12pnAcost2此合振动不是简谐振动，一般比较复杂，只介绍一种常见现象：A2t2pcosn1+n222pcosn1n22tn1n22+频率为的简谐振动频率为的简谐振动n1n22第五十页，共六十七页，2022年，8月28日若n2n1与较大且相差不大，n1n2n1+n2xxA2t2pcosn1+n222pcos2n1n2t可看作呈周期性慢变的振幅合振动频率相对较高的简谐振动

频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.第五十一页，共六十七页，2022年，8月28日xxA2t2pcosn1+n222pcos2n1n2t可看作呈周期性慢变的振幅合振动频率相对较高的简谐振动n1+n221秒tA2ttAA9Hzn1n28Hz（包络线）两分振动的频率nn1n21Hz合振动频率n8.5Hz()()()()合振幅每变化一周叫做一拍，单位时间出现的拍次数叫拍频。拍的频率为两个分振动的频率之差。

一拍tttn1385Hzn2383Hz听到的音频n384Hz强度节拍性变化n2Hz第五十二页，共六十七页，2022年，8月28日质点运动轨迹1）或

（椭圆方程）

讨论简谐振动的合成同频率三、两个相互垂直直线第五十三页，共六十七页，2022年，8月28日2）3）直线正椭圆第五十四页，共六十七页，2022年，8月28日简谐运动的合成图两相互垂直同频率不同相位差第五十五页，共六十七页，2022年，8月28日4.振动方向垂直、不同频率的谐振动的合成

轨迹曲线称为李萨如图形。一般轨迹曲线复杂，且不稳定。由切点数之比及已知频率可测未知频率。可以证明：两振动的频率之比成整数时,合成轨迹稳定。图形形状还与位相差及振幅有关46第五十六页，共六十七页，2022年，8月28日振动合成四简谐振动的合成不同频率四、两个相互垂直xxcos()t+A1j1cos()t2j+A2yw2w1其合运动一般较复杂，且轨迹不稳定。但当为两个简单的整数之比时w2w1可以得到稳定轨迹图形，称为李萨如图形w1w22113322jj1p2pp234p4p5例如第五十七页，共六十七页，2022年，8月28日小议链接2（1）0；（2）4cm；（4）8cm。结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案

两个同方向同频率的谐振动，振动方程为随堂小议x1=6×10-2cos(5t+),x2=2×10-2sin(π

–5t)2π

则其合振动的振幅为谐振动（3）4cm；52第五十八页，共六十七页，2022年，8月28日用旋转矢量描绘振动合成图第五十九页，共六十七页，2022年，8月28日

任意形状的刚体悬挂后绕一固定轴作小角度摆动，称为复摆。