北师大版七年级下册第一章第一讲

整式的运算一、导入请不要开错窗一个小女孩趴在窗台上，看窗外的人正埋葬她心爱的小狗，不禁泪流满面，悲恸不已。她的外祖父见状，连忙引她到另一个窗口，让她欣赏他的玫瑰花园。果然小女孩的心情顿时明朗。老人托起外孙女的下巴说：“孩子，你开错了窗户。”秘诀：打开失败旁边的窗户，也许你就看到了希望。二、知识点回顾.单项式①由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。②单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数.③一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数..多项式①几个单项式的和叫做多项式」在多项式中，每个单项式叫做多项式一的项一其中，不含字母的项叫做常数项.一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.②单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数.多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数 .多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数..整式单项式和多项式统称为整式.三、专题讲解一、整式的加减【例题11在代数式3xy2,m,6a2a3,12,4x2yz」xy2,二-中，单项式有5 3ab一个，多项式有个。【例题2］化简m-n-(m+n)的结果是 ()A.2mB.-2mC.-2nD.2n.整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式..括号前面是”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要

相乘.二、同底数幕的乘法【例题1】10X10X10X10X10X10X10X10X10X10=。【例题2】（1）x2x5（2） x2x3nx（3）32n350【变试题11（1）x2x5。 （2）22a8a422-（填指数）mnmn同底数哥的乘法法则：aaa （m,n都是正数）是哥的运算中最基本的法则，在应用法则运算时要注意以下几点：①法则使用的前提条件是：哥的底数相同而且是相乘时，底数 a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式；②指数是1时，不要误以为没有指数；③不要将同底数哥的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；mnpmnp④当三个或三个以上同底数塞相乘时，法则可推广为 aaaa（其中mn、p均为正数）；mnmn⑤公式还可以逆用： aaa（mn均为正整数）、幕的乘方与积的乘方【例题1】（105）2=【变试题112a2b/m、n mn.哥的乘方法则：（a）a（m,褚B是正数）是哥的乘法法则为基础推导出来的 ，但两者不能混淆（am）n（an）mamn（m,n都为正数）..底数有负号时，运算时要注意，底数是a与（-a）时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底,如将（-a）3化成-a3般地,（般地,（a）nan（当n为偶数时），

an（当n为奇数时）..底数有时形式不同，但可以化成相同。.要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。nnn.积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的哥相乘，即 （ab）ab（n为正整数）。.哥的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

四、同底数幕的除法［例题11105 102===amn(aw0,m、n都是正数，且【变试题11⑸a9a3。amn(aw0,m、n都是正数，且.同底数哥的除法法则：同底数哥相除,底数不变,指数相减，即am anm>n)..在应用时需要注意以下几点 ：①法则使用的前提条件是“同底数哥相除”而且 0不能做除数，所以法则中aw0.②任何不等于0的数的0次哥等于1,即a0 1(a 0),如100 1,(-2.50=1)，则00无意义.ap—p.任何不等于0的数的-p次哥(p是正整数),等于这个数的p的次哥的倒数，即ap(aw0,p是正整数),而0-1,0-3都是无意义的;当2>0时,a-p的值一定是正的；当而0-1,0-3都是无意义的(-2)-2(-2)-21 34,(2).运算要注意运算顺序五、整式的乘法TOC\o"1-5"\h\z【例题11(1)2x2(3xy22y2z)=。(2)1mn2 —mn33 5x5x5 0【变试题1】①(1a2b3)•(-15a2b2) ②(，x2y-2xy+y2)•2xy③(2x+3)(3x+4)3 2.单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母,连同它的指数作为积的一个因式。单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。.单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序。.多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；2③对含有同一个字母的一次项系数是 1的两个一次二项式相乘(xa)(xb)x(ab)xab,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系E22数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到(mxa)(nxb)mnx(mbma)xab六、两个重要的公式【例题1】(1)(x6)2=0(2)(3x)(x3)=。【变试题1】(1)xyxyx2y2 。(2)205X195=。一.平方差公式1.平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即(ab)(ab)a2b2o其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。二.完全平方公式.完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的 2倍，即(ab)2a22abb2.口决：首平方，尾平方， 2倍乘积在中央；

.结构特征：①公式左边是二项式的完全平方；②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的 2倍。223.在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现 (ab)ab这样的错误。七、整式的除法【例题11(1)(a2b2c2d) (—ab2c) (2)(x4y6x3y2x2y3)Y3x2y)2【变试题11 [(x1)2(1x)2](2x).单项式除法单项式单项式相除，把系数、同底数哥分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；.多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。四、巩固练习(一)选择题1.下列语句中错误的是( )(A)数字(A)数字0也是单项式(C) 辿的系数是-3 32.下列计算正确的是( ).(A)2aa2 (B)m6m2m3(B)单项式a的系数与次数都是1(D)」x2y2是二次单项式2/一、 2008 2008 —2008 2 3 6(C)xx2x (D)ttt3.计算x2y2yx的结果是(4yx4yx4y2x22y24.多项式2x23x5与4x24yx4yx4y2x22y24.多项式2x23x5与4x23x5的差是((A) 2x210 (B)6x26x26x1022x26x.下列计算结果错误的是( )7 3 4(ab)(ab)(ab)(C)-m3(x2)3(x3)2 x(D)(5a)6(5a)4 25a2.若y3y2y2myn,则m、n的值分别为(n6(D)m5,n6(二)填空题.代数式4a3xa2x31x是 项式，次数是5 5.若2xy3,则4x2y=.有一单项式的系数是2009,含字母x、y,次数是4,请写出一个符合条件的单项式(三)解答题22 1.先化简，冉求化[(xy2)(xy2)2(xy 2)](xy),其中x1°,y25.五、拓展训练.观察下面的几个算式，你发现了什么规律?①16M4=224=1X(1+1)X100+6X4②23>27=621=2X(2+1)X100+3X7③32M8=1216=3X(3+1)>100+2X8(1)按照上面的规律，仿照上面的书写格式，迅速写出 81X89的结果.(2)用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab证明上面所发现的规律.(提示：可设这两个两位数分别是(10n+a)、(10n+b),其中a+b=10)(3)简单叙述以上所发现的规律.六、反思总结整式的运算 过手训练1.多项式 xy42x3y39xy8的次数是 ( )A.3B.4A.3B.4C.5D.62.2.下列计算正确的是24 82x6x12x4m3yyC.2 22yD.24 82x6x12x4m3yyC.2 22yD.4aa3mn 863.若abab，m22n的值是A.10B.52C.20D.324.4.要使式子 9x225y2成为一个完全平方式，则需加上 ( )15xy15xy30xy30xy15xy15xy30xy30xy.下列结果正确的是 ( )A.A.1 1B.950 0C.53.701 D.23 13 9 8(二)填空题.计算：①(2a2)3; ②(10a4b3c2)(5a3b