结构力学 05 静定平面桁架

第5章静定平面桁架教学目标了解平面桁架的组成、特点及分类掌握节点法和截面法的计算原理，熟练掌握桁架零杆的确定方法了解结点法和截面法的联合应用，理解平面桁架外形与受力特点Contents目录概述1平面桁架外形与受力特点3桁架内力的计算方法2静定结构的特性4概述§5.1梁和刚架承受荷载之后，主要产生弯曲内力，杆件横截面中轴线附近的应力很小，因而不能充分地利用中轴线区域的材料。随着跨度的增加，梁和刚架结构自重在其承受荷载的占比将会增加，不能充分利用的材料成为了结构承载的不利条件。桁架结构则是由直杆件组成的结构形式，各杆主要内力为轴力，截面上的应力较为均匀，材料能够同时达到允许值，能够充分地利用材料，因此在土木工程中有很广泛应用，尤其在大跨度结构，如屋架、桥梁、井架、起重机架和高压线塔等。概述§5.1概述§5.1通常在平面桁架的计算中引入如下假定：1.各杆在两端用绝对光滑而无摩擦的铰链相互联结。2.各杆的轴线都是绝对平直的，且处于同一平面内，并通过铰的中心。3.荷载和支座反力都作用在结点上，并且都位于桁架的平面内。实际桁架与假定有如下区别：结点的刚性。各杆轴不可能绝对平直，在结点处也不可能准确交于一点。非结点荷载（自重，风荷载等）。结构的空间作用等。概述§5.1桁架的组成与分类桁架的杆件根据其所处的不同位置，将杆件分为腹杆和弦杆，腹杆有斜杆和竖杆两种，弦杆一般可分为上弦杆和下弦杆，弦杆相邻结点间距为节间长度，支座中心间的水平距离成为跨度桁架最高点到支座连线的距离成为桁高概述§5.11.根据桁架的外形标准划分，桁架可分为平行弦桁架、折弦桁架、抛物线桁架和三角形桁架2.根据几何组成方式划分，桁架可以分为：简单桁架、联合桁架、复杂桁架。桁架内力的计算方法§5.2根据假定理想平面桁架的受力有如下两个特点：1.桁架中的杆件都是二力杆件。因为杆的自重可以不计或可将其分配到结点上去，各种荷载均作用在节点上，杆端为光滑铰链，只产生通过铰链中心的反力，不产生力偶。2.桁架上所受的力组成平面力系。理想静定平面桁架的内力计算，可以化为平面任意力系的平衡问题，由平衡方程解出。根据桁架的两个受力特点，为了求得桁架各杆的内力，可以截取桁架的一部分为隔离体，由隔离体的平衡条件来计算所求内力，假如所取隔离体只包含一个结点，此方法就是结点法，如果所取隔离体包含多于一个结点，则此种方法为截面法。桁架内力的计算方法§5.25.2.1结点法

所谓结点法就是取桁架的结点为隔离体，利用结点的静力平衡条件来计算相关杆件的内力或支座反力。因为桁架的各杆只承受轴力，作用于任一结点的各力组成一个平面汇交力系，所以可就每一个结点列出两个平衡方程结点最适用于计算简单桁架。因为简单桁架是由基础或一个基本铰接三角形开始，依次增加二元体所组成的桁架，其最后一个结点只包含两根杆件。分析这类桁架时，可先由整体平衡条件求出它的反力，然后再从最后一个结点开始，依次考虑各结点的平衡，即可使每个结点出现的未知内力不超过两个，可顺利地求出各杆的内力。桁架内力的计算方法§5.2例5.1试用结点法计算图（a）所示桁架中各杆的内力。解：首先求出支座反力，以整个桁架为隔离体。桁架内力的计算方法§5.2取结点1为隔离体，如图（b）。2.取结点2为隔离体，如图（c）。桁架内力的计算方法§5.23.取结点3为隔离体，如图（d）。4.取结点4为隔离体，如图（e）。桁架内力的计算方法§5.25.取结点5为隔离体，如图（f）。6.取结点6隔离体，如图（g）。7.取结点7为隔离体，如图（h）。至此，桁架中各杆件的内力都已求得。最后可根据结点8的隔离体，如图5.8(i)。是否满足平衡条件来作校核。此时，故知计算结果无误。桁架内力的计算方法§5.21.L形结点：两杆结点上无荷载作用时，则该两杆的内力都等于零。该结点成为L形结点2.T形结点：三杆结点上无荷载作用时如果其中有两杆在一直线上，则另一杆必为零杆。此结点成为T形结点3.X形结点：四杆结点且两两共线，并且结点上无荷载时，则共线两杆内力大小相等方向相同4.K形结点：四杆结点，其中两杆共线，而另外两杆在此直线同侧且交角相等，并且结点上无荷载，则非共线两杆内力大小相等方向相反（一为拉力，则另一侧为压力）桁架内力的计算方法§5.25.对称性：首先结构对称，结构的杆件以及支座对一个轴对称，则称该结构为对称结构。其次荷载对称，荷载的大小、作用点、方向都关于一个轴对称。并且结构与荷载同一个对称轴，其内力和反力也基于该对称轴对称。桁架内力的计算方法§5.2上述结论都不难由结点平衡条件得到证实。在分析桁架时，可先利用上述原则找出特殊结点，然后进行下一步的计算，使计算变得方便。应用以上结论，不难判断出下图桁架中虚线所示各杆为零杆。于是剩下的计算便大为简化了。桁架内力的计算方法§5.25.2.2截面法如果只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，则可用截面法。这种方法是适当地选择一截面，在需要求解其内力的杆件处假想地把桁架截开为两部分，然后考虑其中任一部分的平衡，应用平面任意力系平衡方程求出这些被截断杆件的内力。其上力系为平面一般力系。每个隔离体上有3个独立平衡方程。一般表示为：投影法；力矩法：桁架内力的计算方法§5.2例5.2试求图(a)所示桁架中25、34、35三杆的内力。解：首先求出支座反力。桁架内力的计算方法§5.2然后设想用截面I-I将34、35、25三杆截断，取桁架左边部分为隔离体，如图（b）所示。为求得FN25，可取FN34和FN35两个未知力的交点3为矩心，为求得FN34，可取FN35和FN25两力的交点5为矩心

桁架内力的计算方法§5.2例5.3如图5.18ａ所示的平面桁架，各杆件的长度都等于1.0ｍ，在节点Ｅ上作用荷载F１＝21kＮ，在节点Ｇ上作用荷载F２＝15kＮ，试计算杆１、２和３的内力。解：（1）求支座反力以整体桁架为研究对象，受力图如图5.18ａ所示，先求支座反力：桁架内力的计算方法§5.2（2）求杆１、２和３的内力作截面ｍｎ假想将此三杆截断，并取桁架的左半部分为研究对象，设所截三杆都受拉力，这部分桁架的受力图如图5.18ｂ所示。列平衡方程：桁架内力的计算方法§5.25.2.3结点法和截面法的联合应用结点法更适用于简单桁架的计算，截面法一般较适用于简单桁架和联合桁架的计算，这两种方法各有所长，但对复杂桁架，如果把他们联合使用，就会使桁架的计算变得更加简单方便。例5.4试求图5.19（a）所示K式桁架中a、b杆的内力。

桁架内力的计算方法§5.2解：作截面I-I，取其左侧为隔离体。由结点K得到由∑MC=0可求得FNb桁架内力的计算方法§5.2例5.5试求5.20图示桁架HC杆的内力。

解：可由不同的途径求得HC杆的内力。是先作截面I-I，取截面I-I左侧部分为隔离体，由求得DE杆内力；接着有结点E求得EC杆内力；在做截面II-II，取截面II-II右侧部分为隔离体桁架内力的计算方法§5.2求得HC杆的内力。计算如下由桁架整体平衡求出支座反力如图标注。取截面I-I左侧部分为隔离体，由由由结点E的平衡可知取截面II-II右侧部分为隔离体，由平面桁架外形与受力特点§5.3在土木工程中，桁架一般用来代替梁（图a），以使得结构跨越大空间。相同荷载作用下，桁架的外形不同，其受力特点也不同。桁架上侧的杆组织成上弦，下侧杆组成下弦，上下弦之间为腹杆。本节比较一下平行弦（图b）、三角形（图c）、抛物线形（图d）以及折弦形（图e）四种桁架的内力分布特点。平面桁架外形与受力特点§5.31、平行弦桁架图b所示桁架，上下弦受力两头小中间大，这与图5.21a所示简支梁的上下层纤维受力相似，即与梁的弯矩分布相似。腹杆内力与简支梁的剪力分布规律一致，两头大中间小。因此静定平行弦桁架的受力相当于一个空腹梁。为使得设计上的受力合理，应按杆轴力的大小选取截面大小。所以平行弦桁架杆件的截面积变化较大，给施工带来不便。在实际工程中，常采用标准节间，逐段改变截面的大小，把材料的使用量减到最低限度。这类桁架常用于桥梁及厂房中的吊车梁，其经济跨度在12～50m范围内。平面桁架外形与受力特点§5.32、三角形桁架图5.21c可知，三角形桁架下弦杆受力较为均匀，而上弦的内力从端部到中间递减量较大。腹杆内力分布也不均匀，且比弦杆内力要小。从构造上看，这种桁架的端结点处，上下弦杆之间夹角较小，构造复杂，施工难度大。但由于其两面斜坡的外形符合屋顶构造的要求，所以，在跨度较小、坡度较大的屋盖结构中较多采用三角形桁架，其经济跨度在10m以内。平面桁架外形与受力特点§5.33、抛物线桁架图5.21d可见，抛物线形桁架弦杆内力分布均匀，在等均结点荷载作用下腹杆内力为零，结构整体受力性能好。但由于上弦杆的长度发生变化，杆件制作及结构施工费用较高。由于这种结构的造型效果好，具有跨越大空间的能力，常在桥梁以及公共结构中采用。桥梁的经济跨度在100～150m之间，屋盖结构中的经济跨度为18～30m。平面桁架外形与受力特点§5.34、折弦桁架图5.21e所示，这类桁架是三角形桁架和抛物线形桁架的一种中间形式，其端节间的上弦杆与其他节间的上弦杆不在一条直线上，形成一个折线形。由于上弦改成折线，端节间上弦杆的坡度比三角形桁架加大。因此，它的弦杆内力比三角形桁架要小，弦杆内力分布比三角形桁架均匀，又克服了抛物线形桁架上弦转折太多而形成的缺点，施工制造方便。折弦形桁架是目前钢筋混凝土屋架中经常采用的一种形式，在中等跨度18～24m的工业厂房中采用得较多。

静定结构特性§5.4静定结构有静定梁、静定刚架、三铰拱、静定桁架等类型。虽然这些结构形式各有不同，但它们有如下的共同特性：1.在几何组成方面，静定结构是没有多余联系的几何不变体系。在静力平衡方面，静定结构的全部反力可以有静力平衡方程求得，其解答是唯一的确定值。2.由于静定结构的反力和内力仅用静力平衡条件就可以确定，不需要考虑结构的变形条件，所以静定结构的反力和内力只与荷载、结构的几何形状和尺寸有关，而与构件所用的材料、截面的形状和尺寸无关。3.由于静定结构没有多余联系，因此在温度改变、支座产生位移和制造误差等因素的影响下，不会产生内力和反力，但能使结构产生位移。如图(a)所示。静定结构特性§5.44.当平衡力系作用在静定结构的某一内部几何不变部分时，其余部分的内力和反力不受其影响。如图7.23（b）所示，受平衡力系作用的桁架，只有在粗线所示的杆件中产生内力。反力和其它杆件的内力不受影响。静定结构特性§5.45.当静定结构的某一内部几何不变部分上的荷载作等效变换时，只有该部分的内力发生变化，其余部分的内力和反力均保持不变。所谓等效变换是指将一种荷载变为另一种等效荷载。如图（a）中所示，AB受到均布荷载q作用与节点A、B上的两个集中荷载ql/2是等效的。若将图（b）代之以5.24（a），只有AB上的内力发生变化，其余各杆的内力不变。这也说明在求桁架其余杆的内力时，可以把非节点荷载等效为节点荷载。小结1.桁架各杆均为两端铰接的直杆，仅在两端受约束力作用，故只产生轴力。这类杆件也称为二力杆。这样，可以使得计算大大简化，同时也接近实际受力情况。2.桁架按照几何组成划分：1）由基础或由一个基本铰结三角形开始，依次增加二元体，组成一个桁架，这样的桁架称为简单桁架；2）几个简单桁架按照几何不变体系的简单组成规则联成一个桁架，这样的桁架称为联合桁架；3）凡是不属于上述两种桁架的，都称为复杂桁架。3.求解静定平面桁架的基本方法是结点法和截面法。结点法：以结点为研究对象，用平面汇交力系的平衡方程求解内力，一般首先