结构力学 03 静定梁和平面刚架

第3章静定梁和平面刚架掌握运用截面法进行控制截面内力计算的方法理解荷载、剪力、弯矩之间的微分关系，掌握区段叠加法原理熟练掌握单跨静定梁、多跨静定梁、静定平面刚架的内力图绘制教学目标Contents目录单跨静定梁1多跨静定梁2静定平面刚架3单跨静定梁§3.1以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。单跨静定梁在工程中应用很广，常见形式有水平梁、斜梁及曲梁。简支梁、悬臂梁和外伸梁是单跨静定梁的基本形式（图3.1），是组成各种结构的基本构件之一，其受力分析是多跨梁和刚架等结构受力分析的基础。单跨静定梁§3.1梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法来确定。剪力和弯矩的正负号规定：剪力FS使隔离体顺时针转动趋势为正号，反之为负号，隔离体微段下侧受拉时，横截面上的弯矩为正号，反之为负号单跨静定梁§3.1【例3.1】

图示为在截面C处承受一斜向集中力的简支梁。试求截面C处左、右两截面的内力。解：（1）计算梁的支座反力（2）计算点C左截面的内力图（b）（3）计算点C右截面的内力同理，求点C右邻截面的内力时，应在截面C处切开，为了计算简单，可取右边为隔离体，如图（c），利用平衡条件，可求出截C的三个内力分量，结果同取左侧相同。单跨静定梁§3.1内力图剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度；弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上的剪力；弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的分布荷载集度，即由分布荷载集度的正负可以确定弯矩图的凹凸方向弯矩和剪力存在导数关系单跨静定梁§3.1【例3.4】

简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图。解：（1）求约束反力（2）画FS图：各控制点处的FS值如下（3）画M图：各控制点处的弯矩值如下单跨静定梁§3.1【例3.5】一外伸梁如图所示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的FS、M图。解：（1）支座反力（2）画内力图根据梁上荷载情况，将梁分为AC，CB，BD三段。①剪力图。ACB段：段内有一集中力偶，集中力偶剪无变化，因此FQ图为一水平直线，只需确定此段内任一截面上的FS值即可。BD段：段内有向下的均布荷载，FS图为右下斜直线。单跨静定梁§3.1②弯矩图。AC段：段内无荷载作用，FS<0，故M图为一右上斜直线。CB段：段内无荷载作用且FS<0，故M图为一右上斜直线，在C处弯矩有突变。BD段：段内有向下均布荷载，M图为下凸抛物线，确定此段三个截面处弯矩值可确定抛物线的大致形状。单跨静定梁§3.1用叠加法作梁的弯矩图在小变形的情况下，在求梁的反力、剪力和弯矩时，均可以按原始尺寸进行计算，所得结果与梁上荷载成线性关系。在这种情况下，梁在几个荷载共同作用下产生的内力等于各荷载单独作用下产生的内力的代数和。这样，就可以先求出单个荷载作用下的内力（剪力和弯矩），然后将对应位置的内力相加，即得到几个荷载共同作用下的内力。这种方法称为叠加法。画弯矩图也可以用叠加法。单跨静定梁§3.1【例3.6】

简支梁所受荷载如图所示，试用叠加法作M图。解：（1）荷载分解先将简支梁上的荷载分解成力偶和均布荷载单独作用在梁上，如图3.13（b）、（c）所示。（2）作分解荷载的弯矩图如图3.13（e）、（f）3.叠加作力偶和均布荷载共同作用下的弯矩图先作出图（e），以该图的斜直线为基线，叠加上图（f）中各处的相应纵坐标，得图3.13（d）即为所求弯矩图。注意：弯矩图的叠加，不是两个图形的简单叠加，而是对应点处纵坐标的相加。单跨静定梁§3.1斜梁的内力计算在实际工程中，常见的斜梁是楼梯梁和刚架的斜杆。斜梁的内力除弯矩和剪力外还可能有轴力，斜梁的弯矩通常不因斜梁轴线倾斜而受到影响。斜梁的计算方法与水平梁的计算方法完全相同，如下例计算：（1）求支座反力:由梁的整体平衡条件可求出其三个支座反力为单跨静定梁§3.1（2）求斜梁的内力方程，并作内力图以左支座A为坐标原点，任一截面K的位置以x表示。取（b）所示隔离体，可得弯矩方程对图（b）所示隔离体，沿与截面平行方向和垂直方向分别列出力的投影方程，可得剪力和轴力方程多跨静定梁§3.2多跨静定梁是由若干段梁用铰链联结，并通过支座与基础共同构成的无多余联系的几何不变体系。根据几何组成规律，可以将多跨静定梁的各部分区分为基本部分和附属部分。基本部分是能承受荷载的几何不变体系；附属部分是不能独立承受荷载的几何可变体系，它需要与基本部分相联结方能承受荷载。多跨静定梁§3.2结构的组成顺序可用图3.17来表示。这种图形称为层叠图。通过层叠图可以看出力的传递过程。当荷载作用在最上面的附属部分上时，不但会使附属部分受力，而且还会传给基础部分。当荷载作用在基本部分上时，只在基础部分上引起内力和反力，而对附属部分不会产生影响。总之，作用在附属部分上的荷载将使基本部分产生反力和内力，而作用在基本部分上的荷载则对附属部分没有影响。据此，计算多跨静定梁时，应先从附属部分开始，按组成顺序的逆过程进行计算。由层叠图可得到多跨静定梁的受力特点为：力作用在基本部分时附属部分不受力，力作用在附属部分时附属部分和基本部分都受力。多跨静定梁§3.2多跨静定梁的内力计算及内力图绘制由多跨静定梁的构造层次图可知，作用于基本部分上的荷载并不影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载会以支座反力的形式影响基本部分。因此，多跨静定梁可由平衡条件求出全部反力和内力，但为了避免解联立方程，应先算附属部分，再算基本部分。该计算原则，也适用于由基本部分和附属部分组成的其他类型的结构。根据多跨静定梁的受力特点和计算原则，分析多跨静定梁的步骤可归纳为：（1）按照附属部分支承于基本部分的原则，绘出层叠图。（2）根据所绘层叠图，先从最上层的附属部分开始，依次计算各梁的支座反力和铰接处的约束力。（3）按照绘制单跨梁内力图的方法，分别作出各根梁的内力图，然后将其连在一起。（4）校核。多跨静定梁§3.2【例3.7】

画出图（a）所示多跨静定梁的剪力图和弯矩图。（1）作层叠图图（a）所示多跨静定梁，由于仅受竖向荷载作用，故AB和CE都为基本部分，其层叠图如图（b）所示。多跨静定梁§3.2（2）求反力和约束力从附属部分BC开始，依次求出各根梁上的竖向约束力和支座反力。铰C处的水平约束力为零，并由此得知铰B处的水平约束力也等于零。计算出的反力和约束力见图（c）多跨静定梁§3.2（3）绘制内力图将各根梁的内力图置于同一基线上，则得出该多跨静定梁的内力图如图3.18（d）、（e）所示。多跨静定梁§3.2【3.8】计算如图（a）所示的多跨静定梁支座反力，并绘制内力图。解

（1）作层叠图，如图（b）所示，ABC梁为基本部分，CD梁为附属部分。（a）（b）多跨静定梁§3.2（2）计算支座反力，从层叠图看出，应先从附属部分CD梁开始取分离体多跨静定梁§3.2

（3）作内力图，如图（d）、（e）所示。（d）（e）静定平面刚架§3.3刚架是由若干梁、柱等直杆组成的具有刚结点的结构。刚架在土木建筑工程中应用十分广泛，单层厂房、工业和民用建筑如教学楼、图书馆、住宅等。6～15层房屋建筑承重结构体系其骨架主要就是刚架，其形式有：悬臂刚架、简支刚架、三铰刚架和组合刚架等，如图所示。静定平面刚架§3.3刚架中的刚结点是指在刚架受力后，刚结点所连的各杆的角度保持不变，如图所示。刚结点的特性是在荷载作用下，各杆端不仅不能发生相对移动，而且也不能发生相对转动。因为刚结点具有约束杆端相对转动的作用，所以它能承受和传递弯矩。由于在刚架结构中，梁和柱由于刚结点相连，梁和柱能够成为一个整体共同承担外荷载的作用。因此，刚架结构整体性好，刚度大，内力分布较均匀。刚架中杆件数量较少，节点连接简单，内部空间较大，在大跨度、重荷载的情况下是一种较好的承重结构。刚架结构在土木建筑工程中被广泛地使用。静定平面刚架§3.3静定平面刚架的内力分析求解直梁内力图的方法，同样适用于平面刚架。平面刚架横截面上一般有轴力、剪力和弯矩三个内力。通常将刚架的弯矩图画在杆件弯曲时受拉的一侧，而不必标注正负号，但在作剪力图和轴力图时，其正负号仍按以前的规定。静定刚架内力求解的步骤通常如下：（1）求支座反力。一般要利用整体平衡和局部平衡求支座反力。（2）求控制截面的内力。控制截面一般选在支承点、结点、集中荷载作用点、分布荷载不连续点。运用截面法求控制截面内力值。（3）作内力图。内力图可用叠加法画出，也可直接利用荷载与内力之间的微分关系画出。剪力图和轴力图可以画在杆件的任一侧，并注明正、负号。（4）内力图的校核。选择任意脱离体，建立平衡方程，进行验算。静定平面刚架§3.3【例3.9】

试作图（a）所示简支刚架的内力图。解（1）求支座反力，由整体平衡：静定平面刚架§3.3（2）作内力图，如图(b)、(c)、(d)所示。考虑BD部分，由于D端所有端力已知，可以按D端自由B端固定的悬臂梁作其内力图。考虑AB部分，由于A端所有端力已知，可以按A端自由B端固定的悬臂梁作其内力图。各截面的弯矩使刚架内侧受拉，故将弯矩画在内侧。静定平面刚架§3.3【例3.10】试作图示（a）所示悬臂刚架的内力图。解：悬臂刚架可以不先求支座反力。其内力计算与悬臂梁基本相同，一般从自由端开始，逐根杆件分别计算各杆端内力。本例以列内力方程形式进行解题。静定平面刚架§3.3【例3.11】试作图3.24（a）所示悬臂刚架的内力图。解：从自由端开始，逐根杆件截取分离体计算各杆端内力。悬臂刚架可以不先求支座反力；只是在内力计算结果的检验时，可利用整体平衡下求得的支座反力。（1）求杆端内力：将悬臂刚架折分成三根杆件CB、DB、AB及结点B。其受力图如图3.24(b)。杆端内力计算从自由端开始，用截面法直接计算：静定平面刚架§3.3静定平面刚架§3.3静定平面刚架§3.3（2）作内力图，弯矩图、剪力图和轴力图如图(c)、(d)、(e)。（3）内力校核：取出结点B为分离体，其受力图如图（b）。根据结点B杆端内力的三个平衡方程检验结点B是否平衡：结论：因结点B上作用的所有的杆端内力满足平衡条件，故可说明内力图正确无误。1.结构、构件某一截面的内力，是以该截面为界，构件两部分之间的相互作用力。当构件所受的外力作用在结构、构件轴线同一平面内时，一般情况下，横截面上的内力有轴力、剪力、和弯矩。2.求内力的基本方法是截面法。用截面法求解内力的步骤为：以假想截面把构件断开为