《二次根式》教材分析

1时间：二O二一年七月二十九日1《二次式教材分南宫珍创作一、章地位与作用本章内容属于“数与代数的基础内容，既是“整式”、“分式”之后引入的第三重要代数式，也是“实数”之后对“数”的认识的深化．本内容具有极强的“工具性”，教材中安插本章在“勾股定理”后、“二次方程”之前，意在为解二次方程做好准备；本学期插本章在“勾股定理”之前，能为解任意直角三角形的三边数扫清障碍．二、识网络归纳三、课标及中考要求【课标要求】了解二次根式、最简二次式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加减、乘、除运算法则，会用它们进有关的简单四则运算．（不要求进行号下含字母的二次根式的四则运算，2a如，【中考要求】考试要求

ba

等．）

B二次根式及其性质二次根式的

了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件理解二次根式的加、减、乘、

能根据二次根式的性质对代数式作简单变形；能在给定条件下，确定字母的值会进行二次根式的化简，会进行二次根时间：二二年七月二十九日

参考了之前几次同题教材分析稿，例题也大多沿用之。时间：二O二一年七月二十九日

化简和运算

除运算法则

时间：二O二一年七月二十九日式的混合运算（不要求分母有理化）四、课时安插建议21．121．221．3

二次根式二次根式的乘除二次根式的加减

约2课约2课时约3～4课时数学活动与小结五、全章教学建议

约2课1．注本内的工具性”．二次根式相关知识的学习是为后续勾股定理、二次程的学习打基础，因此应重点落实二次根式的性质、化简和计（特别是实数的化简和计算）准确性，高学生的计算能力尽管课本中的例题相对简单但不要忽视它们在学生建立知识构的过程所起的过渡作用．非实验班不建议在此弥补及代数式化简、运算技巧的内容（如分母有理化等），相地，学探诊测试6第6题及后题目可不作为基本教学要求2．提出二次根式的念开始，就注意强化“二次根式在一定条件下才有意义”这观念．防止教材第7页贴士“在本章中，如果没有特别说明所有的字母都暗示正数”给学生带来的误解和误导．总有为数多的学生将二次根式有意义的“非负性”条件误记为“正性”件，可能与此有关．3．意对“实数”一知识的复习，体现“数式通性”的时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日原则；注意与“整式”、分式”相关知识的联系，相关结论可以类比记忆．4．注教和探中，有些题目需要用到勾股定理，可先回避．六、各小节教学建议21．1

二次根式）例入注复习开平方、算术平方根的概念和符号暗示．（2）二次根式的形式定义：建议不要把精力放在分辨个式子是否为二次根式上，而应该偏重于理解被开方数是负数（不要误记为数）的要求．例如，

是二次根式吗？按自己的解，

作为单独一个数应属于单项式，非二次根．学探诊92页6题下列各式中，一定是二次根式的是：（A）

（B）

2

（C）

（D）

，答案B．自己认为题干应该改为“下列各二次根一定有意义的是”．总之，真正该提醒学生的“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不成以是数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式似）．（3）二次根式（根号）的双重非负性：

0,a

；（4）教材要求掌握的公式：a)(0)，a(a0)，建议授课时提高要求，理并掌握

a

(aa

．时间：二O二一年七月二十九日

22时间：二O二一年七月二十九日22a2与a)的比：①运算顺序分歧：()是求算术平方根再平方，

a

2

是先平方再求算术平方根；②a

的取值分歧：()中a

的取值是

，而中

的取值是任意实数；③运算结果分歧：()=

（a

）；

a

2

=

a

(0)a

．（5）数的念建议适当弥补一些代数式的书写规范（如果之前没有讲过）．例1

：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内意义？11（1）；（2）；）

x

；）x．答案：（1）；）x；）；（4）且．提高题：求下列函数解析中自变量x的值围：（1）

y

x

－

3

；（2）

y

1－x

；（3）

|x

；（4）

y

x

．答案：（1）

32

；（2）且x

；）

x

12

且2

；（4）全体实数．例2例3

：若x、为实数，且y＝值．（x=9）：判断下列等式是否成立

x＋＋3．求x的时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日(1)

(219

()

(2)

(

2

()(3)

(

2

(

)

(4)

a(5)

(a)

(

)

(6)

a).答案：）；）×；（3√；（4）；）×；）√．例4

：

已

知

a,b,c

为

三

角

形

的

三

边，

则(a)

(

()

=．（

）21．2

二次根式的乘除（1）从具体到抽象，归纳得出乘法公式：

bab(ab0)➢

理解二次根式乘除运算法的合理性：可与

a

n

)

n

做形式➢

上的类比；可利用算术平方根的定义进行推理证明：∵

ab

且

，∴

abab

．➢

从公式的适用范围看，包含了某些字母取0情况；为降低难度，如果遇到纯二次根式化简问题，可以默认为字母都暗示正数；当涉及字母的取值范围问题时，不克不及认为字母都是正数．（2）公式的逆用：

aba0,b0)

；．时间：二O二一年七月二十九日

nn➢➢

时间：二O二一年七月二十九日能利用这条性质对二次根进行化简．注意学生不容易理解“开得尽方的因数或因式的含义，教材第8页贴的解释：可以开方后移到号外的因数或因式．在这里，无妨多举一些例子，让学明确在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式解，然后再将能开得尽方的因数或因式开出来．初步总结乘法运算的结果满足以下两个要求：①结果是一个二次根式，单项式乘以二次根式；也可能没有根号，只是单项式；根号下不再有“得尽的因数或因式”．(a（3）除法公式及逆用：，b

(a0,0)➢

注意的件➢

可以通过归纳、或证明、类比b

nn

得此公式➢

对于二次根式的除法运算二次根式的化简，应让学生一题多解，一方面是熟悉二次式性质、运算法则和方法，另一方面，通过一题多解，结做题经验，使运算更灵活、更简洁．如

5

；

3151555(5)5

．时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日2a

a2aa

2aa

；

aa

a

．又如

112222

；(2)2

；

4

．如果学生觉得不容易灵活用，也可总结为更易操纵的“算法”：

型即

ab

型，所有

ab

的转化为

ababbb

再化简；或者：

ab

型即

ab

型，所有的

ab

转化为

ab

再化简．用具体的实例归纳总结出一个二次根式化为最简二次根式的方法技巧．如：当被开数较大时，可用分解因数的法子将被开方数尽可能写成全平方数的乘积形式．至此学生应能对

…等罕见数值进行化简．总之，学生在化简运算的洁性和准确性上都容易出现问题，因此建议在教学过程先要求学生观察二次根式的特点，根据其特点分析运用哪条性、哪种方法来解答，每步运算的根据的什么，培养学生的分析力和观察能力，以及计算的目的性和条理性．时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日（4）简次式概念：不要求学生背出定义，关键是遇到实际式子能够加以判断，让生在练习中熟悉这个概念，同时明确二次根式的运算结果应化最简二次根式．例5

：计算：（1）；（2）

13

27

；（3）

147

；（4）

．例6

：化简：（1）；（212

；（3；（4）24（5）

；）

32

；（7）

；（8）

50

；（9）c；）

3510

．例7

：计算：（1）

243

；（）

118

；（3）

；25（4）

x

；）

；）；（7）

3；）27；）82

．例

：计算：（1）

；（2）

7512)

．例

：已知

，

200,0.0002,

的似值（保存3个效数字）．21．3二次根式的加减时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日（1）材取“开方数相同的最简二次根式”的说法；为简洁明了，建议还是类比同项的概念给出“同类二次根式”的概念，能通过实例判断几个次根式是不是同类二次根式，注意强调先化简的重要性．例如分成几个小问题：①把被开方数都是整数的在一个小题中，②把被开方数都是分数的在一个小题中，③把被开方数带有简单字的放在一个小题中，④把字母次数略高于2放在一个小题中，……使问题的解决有一个由浅深的渐进过程，最终再给出类似

和

的例子．（2）确次式加减法运算的实质就是合并同类二次根式，这与整式加减的实质类似加减法的练习也同样可细分成几个条理进行教学．例如：①不需要化简能直接进行加减的，②需要化简但被开方数都简单整数的，③被开方数都是有理数但有整数又有分数的，④被开方数含有字母的，等．加减运算中常出现的错误型有：①运算结果含有

2

或类似的式子；②运算过程中有

4

或

1

或类似的问题；时间：二O二一年七月二十九日

3时间：二O二一年3③运算过程中有

235

或

11223或似的问题．（4）二次根式的混合运算．教材利用小贴士类比了它实数、整式运算的联:第14页“有数围内成立的运算律，在实数范围内仍成立”；第17页“二根的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用”．➢➢➢

分析式子结构，明确运算序；关注乘法公式和运算律的用；计算少跳步，防止类似，2典型错误．

之类的例0

计算：）

8

（2）

484（3）

28

111824

；）

；（5）

8

22

（6）

(

3（7）

2

（8）

1242例1

计算：（1）

(527415)

（2）

(6)4（3）

15

10156)

（4）

6

时间：二O二一年七月二十九日

15152时间：二O二一年七月二十九日15152（5）

(48)(2)2

（6）(23)(2)（7）(45)（8）

3)（9）(3(3（10）

(26)(23(11)

2

13

3

（12）

ab5

3)（13

）

(4

2))a

（14）3

2（15）

1113

（16）ab－b―＋

（＞0，＞0）例1

一个长方体的长为22cm，为3cm，为2cm，它概况积为cm

，体积为cm

．（8

，

）例3

若11

的整数部分是a小数部分是b，则2

．（5）★

章节复习及综合（1）条件求值类题目：例1

甲、乙两人对题目“求值

2

1a，其中”分歧的解答，甲的解答：

11()22aa5时间：二O二一年七月二十九日

，

，求a时间：二O二一年七月二十九日，求a乙的解答：

1a

1a

2

1111()aa5

，谁的解答是错误的？为什？例5

（1）果

aab

，那么a

=_____．（2）若实数，y满足是．．

xy3y，则的值例6

①已知

a

1a

10a2

12

的值．（6）②已知

x

12

75

，

y

12

7

，求x2

11xy2的．）（2）寻找律、现场学类：例7

已知下列等式：9，9999100

，

，······，①根据上述等式的特点，你写出第四个等式，并通过计算验证等式的正确性；②观察上述等式的规律，你写出第个式．（允许写成个例8

的形式）观察下列等式：122(2

；13

3(32)(

3

；143

4(43)(3)

4

；时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日……回答下列问题：1①利用你观察到的规律，简：

2322

；②计算：

111122399100

．）例

有这样一类题目：将

ab

化简，若你能找到两个数

m

和n

，使

m2

且

，则a

b

可变成

m

2

2

，即酿成

(m)

开方，从而使得

b

化简．例如：5

=

36

=

(3)2)

2

3

2

，∴

56(33请仿照上例解下列问题：（1）七、***展专题

5

；）

43（1）分母有理化：例0

化简：

2

，3

，

33，

()例1

计算：

(

12

132

14

120082007

)(2008（2）二次根式比较大小：例2

比较大小：（1）3与22

（平方法）（2）5

7

与－6

5

（被开方数）1

1（3）与3

（分母有理化）时间：二O二一年七月二十九日

时间：二O二一年七月二十九日（4）2002