北师大版九年级数学上册第1章测试题及答案

北师大版九年级数学上册第1章测试题及答案(时间：120分钟满分：120分)姓名：________班级：________分数：________一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．已知四边形EFGH是平行四边形，则下列结论中正确的是(C)A．当EG＝FH时，它是菱形B．当EG⊥FH时，它是矩形C．当EF＝FG时，它是菱形D．当∠EFG＝90°时，它是正方形2．菱形的一个内角是60°，边长是5cm，则这个菱形的较短的对角线长是(B)A.eq\f(5,2)cmB．5cmC．5eq\r(3)cmD．10eq\r(3)cm3．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，若∠E＝19°，则∠ACD的度数是(D)A．38°B．40°C．50°D．52°4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为(A)A．1B．2C．3D．45．以正方形ABCD的一边向外作等边△ABE，BD与EC交于点F，且DF＝EF，则∠AFD等于(A)A．60°B．50°C．45°D．40°6．如图，矩形ABCD中，AD＝eq\r(2)AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF交CD于点H.若AB＝6，则CH的长为(D)A．6－eq\r(2)B．12－4eq\r(3)C．3eq\r(2)D．12－6eq\r(2)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA＝80°，则∠A＝__50°.8．ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请添加一个适当的条件__OA＝OC__，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)9．已知正方形ABCD的周长是20cm，则这个正方形的面积是__25__cm2.10．一张矩形纸片ABCD，已知AB＝3，AD＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则四边形A′EGC′的面积为eq\f(3,2)．11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CE⊥AD，且CE＝BC，连接BE交对角线AC于点F，则∠EFC＝__105°__．12．在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线AC，BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB＝3PC，则PC＝1，eq\r(2)或eq\f(－\r(2)＋\r(34),4)．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，又∵E，F为CD，AD的中点，∴DF＝eq\f(1,2)AD，DE＝eq\f(1,2)DC，∴DF＝DE.又∵∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF(SAS)．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E.求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形．15．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证：AE＝BF.证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠BCF＝90°，∵CE＝DF，∴BE＝CF，∴△AEB≌△BFC(SAS)，∴AE＝BF.16．如图，已知点E是正方形ABCD边AB的中点，请用无刻度的直尺分别画出BC，CD，DA的中点F，G，H.解：如图，点F，G，H即为所求．17．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AB到E，使AE＝AC，以AE为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为9eq\r(2)，求正方形的边长．解：设正方形的边长为x.∵AC为正方形ABCD的对角线，∴AC＝eq\r(2)x，∴AE＝eq\r(2)x，CB＝x，∴S菱形AEFC＝AE·CB＝eq\r(2)x·x＝eq\r(2)x2＝9eq\r(2)，解得x＝±3，依题意舍去x＝－3，即正方形的边长为3.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．(1)若∠ACB＝60°，AC＝3，求AD的长；(2)求证：DC＝BE.(1)解：AD＝eq\f(3\r(3),2).(2)证明：∵点G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是线段EC的垂直平分线，∴DC＝DE，∵∠ADB＝90°，DE是中线，∴DE＝BE，∴DC＝BE.19．如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.∵点E，F分别为AB，AD的中点，∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)．(2)解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形．20．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两边OB，OC分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB＝8.(1)求证：四边形AEFD为菱形；(2)求四边形AEFD的面积．(1)证明：∵DF∥AE，EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形．∵四边形ABOC是正方形，∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝90°.∵点D，E是OB，OC的中点，∴CE＝BD，∴△ACE≌△ABD(SAS)，∴AE＝AD，∴四边形AEFD是菱形．(2)解：S四边形AEFD＝48.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，将△BCD沿菱形ABCD的对角线BD由B向D方向平移得△EFG，连接AE，DF.(1)当四边形AEFD是矩形时，求AE的长；(2)当BE为何值时，△ABE是直角三角形．解：(1)AE＝2eq\r(3).(2)在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，①当∠AEB＝90°时，AE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×6＝3，∴BE＝eq\r(3)AE＝3eq\r(3)；②当∠BAE＝90°时，AB＝eq\r(3)AE，∴AE＝2eq\r(3)，∴BE＝2AE＝4eq\r(3).22．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ，AQ，CP.设点P，Q运动的时间为ts.(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；(2)当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由．解：(1)当t为8时，四边形ABQP是矩形．(2)四边形AQCP为菱形．理由：∵t＝6，∴BQ＝6，DP＝6，∴CQ＝16－6＝10，AP＝16－6＝10，∴AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，在Rt△ABQ中，AQ＝eq\r(AB2＋BQ2)＝eq\r(82＋62)＝10，∴AQ＝CQ，∴四边形AQCP为菱形，即当t＝6时，四边形AQCP为菱形．六、(本大题共12分)23．在▱ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F，连接CE.(1)如图①，如果▱ABCD为正方形，那么△EPC的形状是__等腰直角三角形__；(2)如图②，如果▱ABCD为菱形，当∠ABC＝120°时，试探究△EPC的形状，并说明理由．解：(2)结论：△EPC是等边三角形．