北师大版八年级数学上册第1章测试题及答案

北师大版八年级数学上册第1章测试题及答案(满分：120分考试时间：120分钟)分数：________一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是(B)2．(益阳中考)已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(B)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形3．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是(D)A．a＝15，b＝8，c＝17B．a＝9，b＝12，c＝15C．a＝7，b＝24，c＝25D．a＝3，b＝4，c＝74．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，则旗杆折断部分AB的高度是(C)A．5mB．12mC．13mD．18m5．如图，有一张三角形纸片，两直角边AC＝5cm，BC＝10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为(D)A.eq\f(25,2)cmB.eq\f(15,2)cmC.eq\f(25,4)cmD.eq\f(15,4)cm6．★在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC上异于B，C的一点，则AP2＋BP·PC的值是(B)A．15B．25C．30D．20二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．(九江期末)若一直角三角形两个直角边长分别为6和8，则斜边长为__10__．8．(2021·成都)如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为__100__．9．如图，一架长25m的云梯，斜靠在墙上，云梯底端在点A处离墙7m，如果云梯的底部水平向左滑动8m到点B处，那么云梯的顶端向下滑了__4__m.10．(2021·岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为(x－6.8)2＋x2＝102.11．★如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是__30__米．12．★(蚌埠月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为3或eq\f(7,6)或2.三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求：(1)四边形ABCD的面积；(2)∠ABC的度数．解：(1)S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(1,2)×5×2＋eq\f(1,2)×5×3＝eq\f(25,2).(2)∵AB2＝22＋42＝20，BC2＝12＋22＝5，AC2＝52＝25，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.14．如图是由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格．(1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的位置关系，并说明理由；(2)在图②中画出一个面积为10的正方形．解：(1)AB⊥BC.理由：如图①，连接AC.由勾股定理，得AB2＝32＋22＝13，BC2＝42＋62＝52，AC2＝12＋82＝65.∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°.∴AB⊥BC.(2)如图②，正方形ABCD即为所求．15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：1m/s＝3.6km/h)解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m.据勾股定理可得BC2＝AB2－AC2＝502－302＝1600，所以BC＝40m，所以小汽车的速度为v＝eq\f(40,2)＝20m/s＝20×3.6km/h＝72km/h.因为72km/h>70km/h，所以这辆小汽车超速行驶．16．如图，在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB.若AB＝20，求△ABD的面积．解：在△ADC中，∵AD＝15，AC＝12，DC＝9，∴AC2＋DC2＝122＋92＝152＝AD2，∴△ADC是直角三角形．在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴BC＝16，∴BD＝BC－DC＝16－9＝7，∴S△ABD＝eq\f(1,2)×7×12＝42.17．如图，在一棵大树10m高的B处有两只猴子，其中一只胆小的猴子爬下树后走向离树AC20m处的池塘D处，而另一只猴子胆子比较大，爬到树顶A后直扑池塘(假设它从树顶到池塘经过的是一条直线)，如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树有多高？解：由题知BC＝10m，CD＝20m，AB＋AD＝BC＋CD＝30m.设AB＝xm，则AD＝(30－x)m，在Rt△ADC中有(30－x)2＝202＋(10＋x)2，解得x＝5.∴AC＝5＋10＝15(m)，∴这棵树有15m高．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC＝1m，NC＝eq\f(4,3)m，BN＝eq\f(5,3)m，AC＝4.5m，MC＝6m，求MA的长．解：∵BC2＝1,NC2＝eq\f(16,9)，BN2＝eq\f(25,9)，∴BC2＋NC2＝BN2，∴AC⊥MC.在Rt△ACM中，AC＝4.5m,MC＝6m,MA2＝AC2＋CM2＝56.25，∴MA＝7.5m.19．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图①)，图②是由弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为3，求S1＋S2＋S3的值．解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG＝KG＝NF，CF＝DG＝KF，∴S1＝(CG＋DG)2＝CG2＋DG2＋2CG·DG＝GF2＋2CG·DG，S2＝GF2，S3＝(KF－NF)2＝KF2＋NF2－2KF·NF＝GF2－2KF·NF，∴S1＋S2＋S3＝GF2＋2CG·DG＋GF2＋GF2－2KF·NF＝3GF2＝27.20．如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形．根据图形写出一种证明勾股定理的方法．解：由图可得正方形ACFD的面积＝四边形ABFE的面积＝Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，即S正方形ACFD＝S△BAE＋S△BFE，∴b2＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(（b＋a）（b－a）,2)，整理得a2＋b2＝c2.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．一辆装满货物的卡车，高2.5m，宽1.6m，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示．已知半圆的直径为2m，长方形的另一边长是2.3m.(1)此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由；(2)为了适应车流量的增加，现把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少应增加到多少？题图答图①答图②解：(1)这辆卡车能通过桥洞．理由如下：如答图①，M，N为卡车的宽度．过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m.易知CE＝DE＝0.8m.∵OC＝OA＝1m，∴在Rt△OCE中，由勾股定理得OE＝0.6m，∴CM＝2.3＋0.6＝2.9(m)．∵2.9＞2.5，∴这辆卡车能通过桥洞．(2)如答图②，根据题意可知CG＝BE＝2.8m，BG＝OF＝1.2m，EF＝AD＝2.3m，∴BF＝0.5m．在Rt△OBF中，根据勾股定理得OB2＝BF2＋OF2＝0.52＋1.22＝1.32，∴OA＝OB＝1.3m，1.3×2＝2.6(m)，∴桥洞的宽至少应增加到2.6m.22．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2－AE2＝AC2.(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；(2)若DE＝3，BD＝4，求AE的长．解：(1)△ABC是直角三角形，证明：连接CE.∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE.∵BE2－AE2＝AC2，∴CE2－AE2＝AC2，∴AE2＋AC2＝CE2，∴△ACE是直角三角形，∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形．(2)∵DE⊥BC，∴∠BDE＝90°.在Rt△BDE中，DE＝3，BD＝4，∴BE2＝DE2＋BD2＝25，∴CE＝BE＝5.由(1)可知∠A＝90°，∴AC2＝CE2－AE2＝25－AE2.∵D是BC的中点，∴BC＝2BD＝8.在Rt△ABC中，AB＝5＋AE，由勾股定理得BC2－BA2＝AC2，∴64－(5＋AE)2＝25－AE2，∴AE＝eq\f(7,5).六、(本大题共12分)23．定义：我们把三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．某数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒(每根长度记为1个单位)中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；(1)小颖：分别用24根和30根火柴棒摆出两个直角“整数三角形”，请你画出小颖摆出的两个直角“整数三角形”的示意图，并标明每条边