《二元一次方程与一次函数》教案 (公开课)2022年

5.6二一方与次数【教学标】知识目标：1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系2、能根据次函数的图象求二元一次方程组的近似解3、能利用元一次方程组确定一次函数的表达式能力目标过学生的思考和操作在力图提示出方程与图象之间的关系,入二元一次方程组图象解,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.情感目标过学生的自主探索提示出方程和图象之间的对应关系,强了新旧知识的联系,养了学生的创新意识激发了学生学习数学的兴趣【教学点】1、二元一次方程和一次函数的关系2、能根据次函数的图象求二元一次方程组的近似解【教学点】方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力【教学程】一、

忆一忆1、同学们:什么叫二元次方程的解2、一次函的图像是什么?3、如图求一次函数的图像的解析式二、

试一试1、问题：程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个解来方程的解有无数多个，如：

xy

xy

xy

xy

xy

等2、在直角标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数

y－x的图像吗？3、在一次数y=5－x的图像上任取一点，它的坐标适合方程吗？4、以方的解为坐标的所有点组成的图象与一次函y=5－的图像相同吗？三、

做一做在同一直角坐标系内分别作出一次函数－x和y=2x－1的图像，这两个图像有交点吗？交点的坐标与方程组

xyy

的解有什么关系？你能说明理由吗？【一次函数y=5－和y=2x－1的图像的交点为，3此，y就是方程组的解

xy例1、用图象的方法解方程组

xyy解：由x-2y=2可得y=，同理，x–y=2可得y=2x–，在同2坐标系中作出一次函数y=的图像和–2图像，2观察图像得两直线交于〔22方程的解

xy同学们你从此题中感悟到什么？原来我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外还可以用图像法，那么用图法来解方组的步如下：

1212四、

1、把二元次方程化成一次函数的形式2、在直角标系中画出两个一次函数的图像，并标出交点。3、交点坐就是方程组的解。练一练1、用作图的方法解方程组

xy4x2由得y=-2x+4由可得y=x在同一直角坐标32系中作出函数y=-2x+4和函数y=x的图像察图像可得交点3，3-2以方程组的解y2、在图中两直线l、l的交点坐标可以看作

的解。答案：

yy五、

试一试1、有一组同时适合方程x+y=2和吗？2一次函数y=2x－x的图像之间有何关系？你能从中悟〞出些什么吗？[有一组数同时适合方程x+y=2和；一次函数x，-x的图像是两条平等的直线。我们可得到：二元次方程无解

一次函的图像平行无交点二元一方程组有一二元一方程组有无个解

一次函的图像相交有一个点〕一次函的图像重合有无数交点〕

六、

小结1、二元一方程的图像实际上就是一次函数的图像2、用图像可以解二元一次方程组，原来我们还可以用几何的图像法来解代数问题。七、

作业习题5.7教后感1.通过学生的思考和操作、自主探力图提示出程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法同时培养了学生初步的数形结合的意识和能使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系并能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解2.通过学生的提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的趣1.8完平公()●学目标一)教学知识点1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何背景二)能力训练要求1.经历探索完全平方公式的过程，进一步开展符号感和推理能力2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力三)情感与价值观要求1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力●学重点1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释2.完全平方公式的应用●学难点1.完全平方公式的推导及其几何解释.

2.完全平方公式结构特点及其应用.●学方法自主探索法学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后到达合理、熟练地应用●具准备投影片四张第一张：试验田的改造，记作(A)第二张：想一想，记作(§1.8.1第三张：例题，记作(§1.8.1C)第四张：补充练习，记作(§1.8.1●学过程Ⅰ.设问题情景，引入新课［师］去年，一位老农在一“科技下乡〞活动中得到启示，将一块边长为a的正方形农田改成试验田上了优质的杂交水稻一年来收益很大.今年，又一次技下乡〞活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加b米，形成四块试验田，种植不同的新品种同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径［生］我能帮这位爷爷［师］你能把你的结果展示给大家吗？［生］可以.图－所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.图1－25

［师］你能用不同的方式表示试验田的面积吗？［生］改造后的试验田变成了边长为(a+b)大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.［生可以把试验田的总面积看成四局部的面积和即边长为a的正方形面积，边长为b的正方形的面和两块长和宽分别为和的面积的和所以试验田的总面积也可表示为a+2ab+b2［师］很好！同学们用不同的形式表示了这块试验田的总面积，进行比较，你发现了什么？［生可以发现它们虽形式不同但都表示同一块试验田的面积因此它们应该相等.(a+b)2

=a

2

［师］我们这节课就来研究上面这个公式—完全平方公式.Ⅱ.授新课1.推导完全平方公式［师］我们通过比照试验田的总面积得出了完全平方公2

2

.其实，据有关资料说明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？出示投影片§A)想一想：等于什么？你能用多项式乘法法那么说明理由吗？－

2

等于什么？你是怎样想的.(学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)［生］用多项式乘法法那么可得(a+b)=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)22

+ab+ab+b2所以(=a22［师］上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？

(1)

［生］几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释2=a22,受到了条件限制a>0且b>0;代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式［师］同学们分析得很有道理接下来，我们来完成第(2)问.［生］也可利用多项式乘法法那么，那么ba+b2－.

(a2=(ab)=a2ab－［生我是这样想的因(

=a

2

2

中的可以是任意数或单项式、多项.我们“〞代替公式中的b利用上面的公式就可以得到2

［a+(b)］

.［师］这位同学的想法很.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下［师生共析］(ab)

=a+(－］2

=a

2

+2·a·(－b)+(－b)↓↓↓↓↓↓2+2·a·b+b

22

－

.于是，我们得到又一个公式：(ab)－2ab+b2

(2)［师］你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？［生］公(语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2倍的和；公式(用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的倍的差这两个公式为完全平方公式.它们和平方差式一样可以使整式的运算简便.2.应用、升华出示投影片(B)［例1］利用完全平方公式计算：－3);(2)(4x+5y)2;(3)(mna).

分析：利用完全平方公式计算，第一步先选择公式；第二步，准确代入公式；第三步化.解：方法一：［例2］利用完全平方公式计算－－x－2－z)

2

;(4)(x+y)2

－(x－y)2

;－22.分析：此题需灵活运用完全平方公式，题可转化为(－x)

2

或(x－2y)

,运用平方差公式(2)题需转化(x+y),利用和的完全平方公(3)题利用加法结合律变形为［－］2(或［x+(y－z)］(x－］),再用完全平方公式计算；(4)题利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.解：方法一：(－x+2y)=(2yx)=4y2－4xy+x；方法二：－x+2y)

=－］2

=(x－2y)2

=x

2

－4xy+4y

.－x－y)2

=－(x+y)2

=(x+y)2

=x

2

+2xy+y

.－z)

2

=(x+y)－2

=(x+y)

－2(x+y)·z+z

2=x2+z2+2xy－－2yz.方法一：－y)2

111111111111=(x

2

+2xy+y

－(x

2

－2xy+y2

)方法二：(x+y)－(x－y)=(x+y)+(x－y)－y)］－2

2=(2x］2=4x－2］2

4

－2

y2

4

.Ⅲ.堂练习课本1.计算：

12

x－2y)

;(2)(2xy+

15

x)

;(3)(n+1)2

－n

2

.解：

x－2=(x)2－2·x·2y+(2y)=x22

2

－2(2)(2xy+x)2x+(x)2=4xy2+x2y+555

125

x

2方法一：(n+1)2－n=n－n2=2n+1.方法二：(n+1)

－n

2

=［(n+1)+n(n+1)－n］Ⅳ.后作业1.课本习题1.13的第、、题2.阅读〞，并答复文章中提出的问题.Ⅴ.动与探究甲、乙两人合养了头牛，而每头牛的卖价恰为n元.部卖完后两人分钱方法如下先由甲拿元再乙拿10如此轮拿到最后剩下缺乏十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？［过程］因牛n头，每头卖n，故共卖得元.令a表示n的十位以前的数字，b表示的个位数即n=10a+b,于是n

2

=(10a+b)2

.因甲先取10元，而乙最后一次取钱时缺乏10元，所以2中含有奇数10

元，以及最后剩下缺乏元但10×2a(5a+b)中含有偶数个元此2中必含有奇数个元b<10，所以只可能是、4、9、16、、、、、，而这九个数中，只有16和36含有奇数个10，因此b

2

只可能是16或，但这两个数的个位数都，这就是说，乙最后所拿的是6元(即剩下缺乏元)［结果］甲比乙多拿了4元，为了平均分配甲必须补给乙元●书设计1.8.完全平方公式(一)一、几何背景试验田的总面积有两种表示形式：①+2ab+b2②(a+b)比照得：(a+b)

=a

2

2二、代数推导(a+b)=(a+b)(a+b)22(ab)

=a+(－］22

－三、例题讲例例1.利用完全平方公式计算：－3)(3)(mna)四、随堂练习(略)●课资料一、杨辉杨辉中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家在世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多.

a=(a+3b)11a=(a+3b)11他著名的数学书共五种二十一卷著有详解九章算法十二卷(年)、日用算法二卷(1262年除通变本末?三卷1274)亩比类乘除算法?二卷(1275)、续古摘奇算法?卷(1275年)杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面对筹算乘除捷算法进行总结和开展，有的还编成了歌诀，如九归口诀。他续古摘奇算法?中介绍了各种形式“横图〞及有关的构造方法，同“积术〞是杨辉继沈“隙积术〞后，关于高阶等差级数的研究杨辉在“纂类〞中，将九章算术246个题目按解题方法由浅入深的顺序重新分为乘除分率合率互换二衰分叠积、盈缺乏、方程、勾股等九类.他非常重视数学教育的普及和开展在?算法通变本末?中杨辉为初学者制订的“习算纲目〞是中国数学教育史上的重要文献.二、参考练习1.填空题－3x+4y)

－2a－=(3)x2－=(x－2.(4)a

+b2

=(a+b)2

(5)

142

.－2=2.选择题以下计算正确的选项是()A.(m－1)

=m2

－1B.(x+1)(x+1)=x+x+1C.(x－2=x2－xy－y224

x－－