2.3一元二次方程的应用(教师版)

2.3元二次方的应用解应用的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．一、传问题1．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送90张贺年卡数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数x人，则可列方程为(A)A．x(－1)＝90B．(x－1)＝2×90C．x(－1)＝90÷2D．(x＋1)＝90【解析】设数学兴趣小组人数为x人，每名学生送了(x－1)张，共有x人，根据“共互送了90张贺年卡得出方程为x(－1)＝90.故选A.2．元旦节某班微信群，每个同学都互发一条信息，统计出全班共互发2862条信息，那么这个班共有__54__人．【解析】设该班有x人，可得出方程为(－1)＝2862，解得x，x＝舍)．123．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染_8__台电脑．【解析】设每一轮感染中平均每台电脑会感染x台电脑．根据题意，得(1＋x)

2

＝81，解得＝8或x＝－10(舍去)．二、增率问题4．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年某市汽车拥有量为16.9辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013底至年底该市汽车拥有量的平均增长率为，根据题意列方程得(A)A．10(1＋x)

2

＝16.9B．10(1＋2x)＝16.9C．10(1－x)＝16.9D．10(1－2x)＝16.95．某种商品的标价为/件，经过两次降价后的价格为元/件，并且两次降的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300/件两次降价后共售出此种商品件为使两次降价销售的总

利润不少于12000元，第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x，根据题意，得625(1－x)

2

，解得x＝0.2＝20%，去)．12答：该种商品每次降价的百分率为；(2)设第一次降价后售出该种商品，则第二次降价后售出该种商品(100)件，根据题意，得[625×(1－20%)＋(400－300)(100－)≥12000，解得m≥20，所以m小值是答：第一次降价后至少要售出该种商品件．6.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递万件么该公司现有的名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，根据题意得10(1＝0.1，x＝－2.1(不合题意舍去)．2答：该快递公司总件数的月平均增长率为

2

＝12.1，解得x

1(2)今年6月份的快递投递任务是＋10%)＝13.31(万件)，∵平均每人每月最多可投递0.6万件，∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是＝12.6<13.31∴该公司现有的快递投递业务员不能完成今年月份的快递投递任务，∴需要增11业务员(13.31－12.6)÷0.6≈2(人)．60答：该公司现有的快递投递业务员不能完成今年月份的快递投递任务，至少要增加2名业务员三、销问题7某商店出售一种商品若每件10元每天可销售件售价每降低1可多卖6件，要使该商品每天的销售额(售价)为504元，设每件降低x，则可列方程为(C)A．(50＋x)(10－)＝504B．50(10－x)＝504C．(10－x)(50＋6)＝504D．(10－6x)(50＋)＝5048.某商品的进价为每件40售价为每件60元时星期可卖出300件市场调发现：每降价1元，每星期可多卖出件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价(A)A．2元或3元B．2元或5元C．2元D．39．将进货单价为的商品按50元出售时，能卖出．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，则为了赚得8000元的利润售价应定为60或

元．

1010101010．某商店从厂家以每件21元价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，若商店计划要赚400元，则每件商品的售价为__25__元，需要卖出_100___件商品．11．某茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千240元，按每千400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利600元，请回答：(1)每千克茶叶应降价多少元？(2)在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？40解：(1)设每千克茶叶应降价，则平均每周可售出40依题意，得(400－240－x)，整理，得x

－110x＋2400，解得x＝30，＝80.12答：每千克茶叶应降价30或80元；(2)∵为尽可能让利于顾客，∴x＝80，∴

400－80×10＝8.400答：该店应按原售价的八折出售．四、几图形问题12．今年我市计划扩大城区绿地面积．现有一块长方形绿地，它的短边长为60m若将短边增大到与长边相等(长边不变)使扩大后的绿地的形状是正方形则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2

.设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是A)A．x(－60)＝1600B.(x＋60)＝1600C．60(x＋60)＝1600D．60(－60)＝1600【解析】由题意，得长方形的长为xm则长方形的宽为(60－)m，根据长方形的面积公式可知x(－60)＝1600.13．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜(如图1)，原空地一边减少了1m，另一边减少了m，剩余空地的面积为m

2

，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为xm，则可列方程为(C)A．(x＋1)(x＋2)＝18B．2

－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．2＋3x＋16＝0

图1

图214．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m

2

的长方形空地，则原正方形空地的边长是(A)A．7mB．8mC．9mD．10m15小明将一幅画装裱在如图长方形宣传牌上使四周空余部分图中阴影部分)的面积占整个1宣传牌面积的，且上、下、左、右的宽都相等，已知宣传牌长为cm，宽为cm，则空余3部分的宽为(C)A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm16．用一根长为24的铁丝围成一个长方形，如果长方形的面积是cm2，那么这个长方形的长与宽分别是(C)A．9cm，3cmB．8cm，4cmC．7cm，5cmD．6cm，6cm17．以正方形木板的一条边长为边，在正方形的木板上锯掉一2m宽的长方形木条，若剩余木板的面积是48m2，则原来这块木板的面积是(B)A．100m2B．64m2C．121m2D．144m

218．如图，某小区有一块长为m，宽为24m矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m

2

，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为__2__m.【解析】设人行通道的宽度为xm，根据题意，得30－3x)(24－2x)＝480，解得＝20(舍1去)，x＝2.即人行通道的宽度是2m.219.如图3有一张边AB墙的长方形桌子长120cm60cm.有一块长方形台布EFMN的面积是桌面面积的倍，并且如图所示铺在桌面上时，三边垂下的长度中有两边相等(＝3)，另外一边是AE倍(即CDMN间的距离)．求这块台布的长和宽．2

2323图3解：设下垂长度BFxcm，则AE＝＝xcm，3根据题意，得(120＋2x，∴x＋100x－2400＝0.解得x＝20，－120(不符合题意，舍去)．1233∴120＋2x＝120＋2×20＝160，60＋x＝60＋×20＝90.22答：这块台布的长为160cm，宽为90cm.20.如图4，要设计一幅宽，长180cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？图4解：设横彩条的宽度为2xcm，则竖彩条的宽度为xcm，1依题意，得(180－2×2x)(120－2×3)＝180×120×整理，得x－65＋300＝0，解得x＝5，＝60.12∵当x＝60时，3＝180，∴x＝60舍去，∴2x＝10x＝15.答：横彩条的宽度为10cm，竖彩条的宽度为15cm.五、几动点问题21.如图5，在△ABC，∠＝90°，＝5cm，＝7cm，点P从点始沿AB边向点B以cm/s速度移动，同时点从点B始沿向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，运动时间为s(x＞0)．

图5(1)求几秒后，PQ长度等于5cm；(2)运动过程中，△PQB的面积能否等于8cm

2

？说明理由．解：(1)当＝5时，在Rt△PBQ中，∵2

＋BQ

＝2

，∴(5－x)＋(2)2＝52，5x

－10x＝0，x(5－10)＝0，x舍去)，x＝2，12∴当x＝2时，长度等于5cm；(2)设经过xs以后△PBQ面积为8，1∴×(5－x)×2＝8，2整理，得x－5＋8＝0，＝25－32＝－7＜0，∴△PQB的面积不能等于8cm

2

.1．某种植基地年蔬菜产量为80吨2018年蔬菜产量为100吨，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为A)A．80(1＋x)＝100B.80(1－)2＝100C．80(1＋2x)＝100D．80(1＋2)＝100【解析】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x根据2016年蔬菜产量为吨，则2017年的蔬菜产量为80(1＋)吨，2018年蔬菜产量为80(1＋)(1＋x)吨．而2018年蔬菜产量为100吨，即80(1＋x＋)＝100，即80(1＋)

2

＝100.2．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则参加酒会的人数为(C)A．9人B.10人C．11人D．12人x（－1）【解析】设这次参加酒会的人数为，根据题意可得＝55，解得x，－21210(舍去)．故参加酒会的人数为人．3某种品牌运动服经过两次降价件零售价由降为b已知两次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(B)

A．a(1＋)

2

＝b

B.a(1－)

2

＝bC．a(1－2)

2

＝b

D．a(1－2

)＝b4．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件．为占有市场份额现需降价处理且经市场调查每降价1星期可多卖出20件现在要使利润为6120元，每件商品应降价(A)A．3元B.2.5元C．2元D．5元【解析】设售价为x元时，每星期盈利为120元，由题意得(x－40)[300＋20(60－)]＝6120，解得x＝57，，12由已知，要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去x＝58.2∴每件商品应降价60－57元．5．如图2－3－2，在一幅长cm，宽50cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是54002

，设金色纸边的宽为xcm，那么足的方程是(D)图2－3－2A．x＋130x－1400＝0B．x－65x－350＝0C．x

－130x－1400＝0D．x

＋65x－350＝0【解析】依题意，得(80＋2x)(50＋2x)＝5400，整理得2

＋65x－350＝0.故选6．用一条长40的绳子围成一个面积为64cm2

的长方形．设长方形的长为，则可列方程为(B)A．x(20＋x)＝64B.(20－)＝64C．x(40＋x)＝64D．(40－)＝647如图2－3－3利用一面墙墙的长度不限)另三边用58m长的篱笆围成一个面积200m

2的矩形场地，求矩形的长和宽．图2－3－3解：设垂直于墙的一边长为m.由题意得x(58－2)＝200，解得x，x12∴另－边为8m或50m.答：矩形的长为25m，宽为8m或矩形的长为50m，宽为4m.8．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？

解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了人，依题意有x＋1＋(＋1)x＝81，解得x＝8，－10(不合题意，舍去)．12答：每轮传染中平均一个人传染了8个人；(2)81×8＝648(人)．答：第三轮将又有648人被感染．9.某公司今年1月份的生产成本是万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．解：(1)设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得400(1－x)＝361，解得x＝5%，x12∵1.95＞1，∴x＝1.95不合题意，舍去．2答：每个月生产成本的下降率为；(2)361×(1－5%)＝342.95(元)．答：预测4月份该公司的生产成本为万元．10一商店销售某种商品均每天可售出20件每件盈利40元了扩大销售增加利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天销售数量为__26__件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为200元？解：设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．由题意得(40－x)(20)200.整理，得x－30＋200＝0.(x－10)(－20)＝0.解得x＝10，＝20.12又∵每件盈利不少于25元，∴x＝20不合题意，舍去．答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为200元．

1、新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（C）A、7B、8C、9D、102、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（B）A、x（x+1）=182B、x（x﹣1）=182C、x（x+1）=182×2D、x（x﹣1）=182×23、某企业退休职工李师傅年月退休金为1500元，2015年达到2160元．设李师傅的月退休金从2013年到2015年年平均增长率为x，可列方程为（B）A、2160（1﹣x）2=1500B、1500（1+x）2

=2160C、1500（1﹣x）2=2160D、1500+1500（1+x）+1500）2

=21604、刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对a，b）进入其中时会得到一个新的实数a

2

+b﹣1例如﹣2放入其中就会得到3

2

（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m﹣2m）放入其中，得到实数2，则m的值是（D）A、3B、﹣1C、﹣3或1D、3或﹣15、某药品经过两次降价，每瓶零售价由降为元，已知两次降价的百分率同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（B）A、168（1+x）2

=108B、168（1﹣x）2=108C、168（1﹣2x）=108D、168（1﹣x2

）=1086、如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为640m

2

的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为80m的栅栏围成，若设栅栏AB的长为，则下列各方程中，符合题意的是（A）A、x（80﹣x）=640B、x（80﹣2x）=640C、x（80﹣2x）=640D、x（80﹣x）=640

7、某机械厂七月份的营业额为元，已知第三季度的总营业额共元．如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（D）A、100（1+x）2

=331B、100+100×2x=331C、100+100×3x=331D、100[1+（1+x）+（1+x2

]=3318、电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有1台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，下列方程正确的是（C）A、x（x+1）=81B、1+x+x2

=81C、1+x+x（x+1）=81D、1+（x+1）2

=819、某种商品原售200元，由于产品换代，现连续两次降价处理，按72元的售价销售．已知两次降价的百分率相同若设降价的百分率为则可列出方程为__200（1﹣x2=72______．10、如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为