山西省太原市杏花中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析

山西省太原市杏花中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆x2＋y2－4x－4y＋5＝0上的点到直线x＋y－9＝0的最大距离与最小距离的差为A.

B．2

C．3

D．6参考答案：B2.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（） A．12种 B． 20种 C． 24种 D． 48种参考答案：C3.下列命题中，正确的命题是(

)A、若，则

B、若，则

C、若，则

D、若，则参考答案：C4.已知函数在处取得极小值，则的最小值为（

）A.4 B.5 C.9 D.10参考答案：C由，得，则，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选C.5.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）参考答案：D【考点】椭圆的定义．【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围．【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选D．6.已知随机变量服从正态分布（），且，则（

）A．0.2

B．0.3

C．0.4

D．0.6参考答案：B7.已知Z=﹣2+3i，求|Z|=（）A．1 B． C． D．3参考答案：C【考点】A8：复数求模．【分析】直接由已知利用复数模的计算公式求解．【解答】解：∵Z=﹣2+3i，∴|Z|=．故选：C．【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．8.将一枚质地均匀的骰子先后抛两次，设事件A={两次点数互不相同}，B={至少出现一次3点}，则P（B|A）=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】条件概率与独立事件．【分析】此是一个条件概率模型的题，可以求出事件A={两个点数都不相同}包含的基本事件数，与事件B包含的基本事件数，再用公式求出概率．【解答】解：由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36﹣6=30，事件B：至少出现一次3点，有10种，∴P（B|A）==，故选：D．9.关于的不等式的解集为(－1,2)，则关于的不等式

的解集为

（

）

A.(－2,1)

B.

C.

D.

(－1,2)参考答案：B10.已知是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点,若△是正三角形,则这个椭圆的离心率为A． B． C． D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是

．参考答案：；略12.函数给出下列说法，其中正确命题的序号为．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：?x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：?x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（?p）∧q为真命题．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），原命题为真，逆否命题为真命题；（2），命题p：?x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：?x∈R，sinx≤1，；（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件；（4），判断命题p、命题q的真假即可【解答】解：对于（1），∵cos=，∴原命题为真，故逆否命题为真命题；对于（2），命题p：?x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：?x∈R，sinx≤1，为真命题；对于（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故为假命题；对于（4），x∈（0，）时，sinx+cosx=，故命题p为假命题；在△ABC中，若sinA＞sinB?2RsinA＞2RsinB?a＞b?A＞B，故命题q为真命题那么命题（?p）∧q为真命题，正确．故答案为：①②④13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是

.参考答案：4cm14.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程为

．参考答案：因为椭圆过抛物线焦点为(2,0),并且焦点为所以a=2,.

15.如图，将菱形沿对角线折起，使得C点至，点在线段上，若二面角与二面角的大小分别为30°和45°，则=___▲_；参考答案：略16.函数的定义域为

.

参考答案：17.已知正数数列（）定义其“调和均数倒数”（），那么当时，=_______________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．（Ⅰ）若函数在处取得极值，且曲线在点，处的切线与直线平行，求的值；（Ⅱ）若，试讨论函数的单调性．

（Ⅲ）若对定义域内的任意，都有成立，求的取值范围参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为.由题意，解得∴.---------2分（Ⅱ）若，则..

（1）当时，由函数定义域可知，，∴在内，函数单调递增；

（2）当时，令，∴函数单调递增；令，∴函数单调递减综上：当时，函数在区间为增函数；当时，函数在区间为增函数；

在区间为减函数.-------------7分（Ⅲ）由

令，则=（时）

∴与（时）具有相同的单调性，

由（Ⅱ）知，当时，函数在区间为增函数；其值域为R，不符合题意当时，函数=，∵，∴>0恒成立，符合题意当时，函数在区间为减函数；在区间为增函数∴的最小值为=+()+=∴≥0综上可知：

.-------------12分略19..等比数列{an}的各项均为正数，且.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列的前n项和Tn.参考答案：（1）

（2）试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和试题解析：（1）设数列{an}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝．由条件可知q＞0,故q＝．由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝．故数列{an}的通项公式为an＝．（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－．故．所以数列的前n项和为考点：等比数列的通项公式；数列的求和20.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点P是抛物线上横坐标为3的点，且P到抛物线焦点F的距离等于4．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线交于A、B两点，l2与抛物线交于C、D两点，M、N分别是线段AB、CD的中点，求△FMN面积的最小值．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．【分析】（1）利用抛物线的定义列出方程求解即可．（2）求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程，联立方程组，求出M、N的坐标，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解三角形的面积的最小值即可．【解答】解：（1）抛物线y2=2px（p＞0）的准线为，由题意，，p=2．

…所以所求抛物线的方程为y2=4x．

…（2）F（1，0），由题意，直线l1、l2的斜率都存在且不为0，设直线l1的方向向量为（1，k）（k＞0），则（1，k）也是直线l2的一个法向量，所以直线l1的方程为，即y=k（x﹣1），…直线l2的方程为y=﹣（x﹣1），即x+ky﹣1=0．

…设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0…则=1+．=

…同理可得，．

…所以，|MF|==，|FN|==，∴△FMN面积：?=2（k+）≥4=4．

…所以，当且仅当k=，即k=1时，△FMN的面积取最小值4．…21.已知动圆M经过点A（3，0），且与直线l：x=﹣3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．参考答案：【考点】抛物线的定义．【分析】法一：利用抛物线的定义即可得出；法二：利用两点间的距离公式和直线与圆相切的性质即可得出．【解答】解：法一设动点M（x，y），设⊙M与直线l：x=﹣3的切点为N，则|MA|=|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x=﹣3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A（3，0）为焦点，以直线l：x=﹣3为准线，∴=3，∴p=6．∴圆心M的轨迹方程是y2=12x．法二设动点M（x，y），则点M的轨迹是集合P={M||MA|=|MN|}，即，化简，得y2=12x．∴圆心M的轨迹方程为y2=12x．22.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．（1）求b的值；（2）求的值．参考答案：(1)．(2)【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求sin（B）＝0，结合范围B∈（，），可求B的值，由余弦定理可得b的值．