(华东师大版)数学初二下册 《函数及其图象》全章复习与巩固-知识讲解(基础)

《函数及其象》全章复与巩固—知讲解（基）【习标1.理解变量与常量、变量与函数直角坐标系、函数图象、平面直角坐标系的概念，能正确画平面直角坐标系，根据坐标确定点,以及点求出坐标，掌握点的坐标的特征；2.了解函数的三种表示方列法析法和图象法利用图象数形结合地分析简单的函关系；3.理解正比例函数和一次函数的念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质能用待定系数法确定一次函数与反比例函数的解析式；4.能写出实际问题中一次函数关与反比例函数关系的解析式及自变量的取值范围，并能应用们解决简单的实际问题；运用数形结合的方法，深刻理解和掌握函数的性质，学会用数学建模的方法与巧．【识络【点理要一变与数常、量函（1）常量：在问题研究过程中取值始终保持不变的量，叫做常.（2）变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量，叫做变.（3）函数：一般地，在一个变过程中.如果有两个变量

与

，对于

的每一个值，y

都有唯一的值与之对应，那么我们就说

是自变量，y

是因变量，也称y

是

的函数

是

的函数，如果当

＝

时

＝

b

，那么

b

叫做当自变量为

时的函数值函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象.要二平直坐系有数定义：把有顺序的两个数a与b组成数对，叫做有序数对，记作(a，b)．要诠：有序，即两个数的位置不能随意交换，b)(b顺序不同，含义就不同，如电影院的座位是排7号可以写(，7)形式，而7，6)表示排．平直坐系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标.水平的数轴称为x轴横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点如图1).第1页

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要诠：面直角坐标系是由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成.点坐平面内任意一点P，过点P分向y轴作线，垂足在x轴、y轴对应的数a，b分叫点的横坐标、纵坐标，有序数对a,b叫做点P坐标，记:P(a,b)，如图要诠：（1表示点的坐标时，约定横标写在前，纵坐标写在后，中间用“．（2点P(a，b)中，表点轴的离表示点到轴的离(3)对坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对x，y)和它对应,反过来对于任意一对有数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的坐平（1象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图．要诠：（1坐标轴x轴y轴的(括原点不属于任何象限．（2）方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第象限在右下方（2坐标面的结构第2页

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坐标平面内的点可以划分为六个区域x轴y轴、一象限、第二象限、第三象限、第四象.这六个区域中，除了x轴与y轴一公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共.坐的征（1各个象限内和坐标轴上点坐标符号规律要诠：（1对于坐标平面内任意一个，不在这四个象限内，就在坐标轴.（2坐标轴上点的坐标特征：x轴上点的纵坐标为0；y上的点的横坐标为0．（3）据点的坐标的符号情况可以判断点在坐标平面上的大概位置；反之，根据点在坐标平面的位置也可以判断点的坐标的符号情况．（2象限的角平分线上点坐标特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示(a；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示(a，-a)．（3关于坐标轴对称的点的坐特征P(a，b)关于x轴对的点的坐标为(a,-b)；P(a，b)关于y轴对的点的坐标为(-a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐为(-a,-b)（4平行于坐标轴的直线上的平行于轴直线上的点的纵坐标相同；平行于轴直线上的点的横坐标相.要三一函、一函的义一次函数的一般形式为

y，中k是常数，特别地，当b＝0，一次函数y即ykx（k≠0），是正比例函.、一函的象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的形，就是这个函数的图象要诠：直线

y

可以看作由直线y平移|b|个位长度而得（＞0时向上平移当＜0时，向下平移）.说明通过平，函数

y

与函数

ykx

的图象之间可以相互转.、一函的质掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）第3页

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要诠：理解

k

、

b

对一次函数ykx的象和性质的影响：（1）决定直线

y

从左向右的趋势（及倾斜角的小——倾斜程度b决它与y

轴交点的位置，k、b起决定直线经过的象限．（2）两条直线

l1

：

y1

和

l2

：

yx22

的位置关系可由其系数确定：k1

2

l1

与

l2

相交；k，l与l平；1121k，11

l与l重；1（3）直线与一次函数图象的联与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x直线y、求次数表式

不是一次函数的图象待定系数法：先设待求函数表达式（其中含有待定系数），再根据条件列出方程或方程组，求待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数.、用数观看程组与等第4页

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的的方程（组等式问题

函从“数”的角度看

数问题

从“形”的角度看求关于、

的一元一次

为何值时，函数

y

的

确定直线

y

与轴方程的解

＝0（a≠0）

值为0？

（即直线＝0）交点的横坐标求关于、y的二一次方程组解．

，1x．2

为何值时ya1函数x的值相等？22

与确定直线ya与直线1yx的点的坐标22求关于的一元一次不等式＞0（a≠0）解集

为值时，函数值大于0？

y

的

确定直线在x轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围要四反例数反比例数定一般地，形如

y

kx

(为常数，k)的数称为反比例函数，其中是变量，y是函数，自变量的值范围是不等于0的一实.反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由反比例函数

中，只有一个待定系数k，此只需要知道一对x、y的应值或图象上的一个点的标，即可求出k的，从而确定其解析.要诠：

y

kx

中，自变量取值范围是

，

y

x

(

)可以写成()的式，也可以写成

的形式反比例数图和质（1反比例函数图象反比例函数

y

kx

的图象是双曲线两分支个支分别位于第一限第二、四象限它关于原点对称反例函数的图象与x轴、y轴没有交，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要诠：观察反比例函数

的图象可得：和的都不能为，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①

y

kx

(

的图象是轴对称图形，对称轴为

yx和

两条直线；第5页

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②y

kx

(

的图象是中心对称图形，对称中心为原点0，0k③y和x

(k≠0)在同一坐标系中的图象关

轴对称，也关于y

轴对称注：正比例函数x与比例函数1

kx

，当k时两图象没有交点；k0时两图象必有两个点，且这两个交点关于原1点成中心对称.（2反比例函数的性质①图象位置与反比例函数性质当

k

时，、y号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随的大减小；当

k时，x、y异，图象在第二、四象限，且在每个象内，随的大而增.②若点

b)在反比例函数y

kx

的图象上，则点（

）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称③正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数解析式

反比例函数图像

直线

有两个分支组成的曲线（双曲线）位置增减性

kkkk

，一、三象限；，二、四象限，随x的大而增大，随x的增大而减小

kkkk

，一、三象限，二、四象限，在每个象限，y随的大而减小，在每个象限，y随的大而增大④反比例函数y＝

中

的意义第6页

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过双曲线y

kx

(

k

≠0)上任一点作轴轴垂线，所得矩形的面积为

.过双曲线y

kx

(k≠0)上任一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.要五实与索数学建的般路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什样的函数模型正确认实问的用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解式，然后根据函数的性质综合方程（组式（组）及图象求.要诠：注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考选择最方问分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作【型题类一函的念1.下列说法正确的是）A.变xy

满足2y

，则

是

的函数；B.变xy

满足|x

，则

是

的函数；C.变

y

满足

yx

，则

是

的函数；D.变xy满足y

2

2

，则y是的数【答案】；【解析】B、C、D三个项，对一个确定的x的，都有两个值它应，不满足单值对应的条件，所以不是函.【结华理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，数值是唯一确定的举反：【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（）第7页

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【答案】；类二平直坐系2.已知点A(-3，2)与点，y)同一条平行于轴的线上，且点到x轴距等于3，求B的坐标．【思路点拨】由“点A(-3，2)点B(x，y)同一条平行于y的直线上”可得点B的坐标；“点B到x轴距离等于3”可得B的坐标为﹣，即可确定B的坐．【答案与解析】解：如图，∵点B与点在同条平行于的直线上，∴点B与点的横标相同，∴x＝-3．∵点B到x轴距离为3，∴y＝3或y＝-3．∴点B的坐标是-3，3)或(-3，-3)【总结升华在B的坐标为3的条下，点B到的距离等于3，则点B可在第二象限也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举反：【变式1】若x轴的点P到y轴的距离为3则点的标为（）.A，0）B，0）或–3）C，3）D，3）或0，）【答案】B.第8页

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【变式2角标系中在第二象限且P到轴的距离分别为2的标是_________若去掉点P在第象限这个条件，那么P的坐标________.【答案）.类三一函3.（春•高新区期末）已知点A（4，0及在第一象限的动点（x，yx+y=6，O为标原点设△OPA的面积为S．（1求S关x的数解析式；（2求x的值范围；（3当S=6时，求P点标．【思路点拨）根据三角形的积公式即可得出结论根据1）中函数关系式及点P在第象限即可得出结论）代（）中函数关系即可得出值，进而得出y的．【答案与解析】解）∵A和P点坐标分别是4，0∴S=．∵x+y=6，∴y=6﹣x．∴S=2（6﹣x）=12﹣2x．∴所求的函数关系式为：﹣2x+12（2由（）得S=﹣2x+12＞0解得：＜6又∵点在一象限，∴x＞0，综上可得的范为0＜x＜6（3∵S=6∴﹣2x+12=6，得x=3．∵x+y=6，∴y=6，P（3，3【结华本考查的是一次函数的质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．举反：【变式秋南校级期末）已知一次函数y=kx+b的象经过点A（﹣2，5且y轴相于点P，直线﹣x+3与x轴交点B与轴相交于点，恰与关于x轴称（1求这个一次函数的表达式（2求△ABP的积．【答案】解）当x=0时y=﹣x+3=3则Q（0，3∵点Q恰点P关x轴称，∴P（0，﹣3第9页

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把P（0，﹣3（﹣2，5）代y=kx+b得所以这个一次函数解析式为y=﹣4x﹣3（2当y=0时，﹣x+3=0，得x=6则（6，0

，解得，当y=0时，﹣4x﹣3=0，解得x=，直线y=﹣3与x轴的交点坐标为（﹣，0所以△ABP的积×（6+）×5+×（6+）×3=274.已知正比例函数

ykx

（

k

）函数值y

随

的增大而减小，则一次函数

y

的图象大致是图中的（【答案】；【解析】∵y随的增大而减小，∴k＜0．∵

y

中

的系数为1＞0，

k

＜0，∴过一、三、四象，故选B．【结华本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，k＞0时，函数值随自变量的大而增大．举反：【变式正例函数

的图象上两点A(x,y),B(,y)112

x1

时有

y1

2

,那么的值范围(A．

m

B．

m

C．

D．

【答案】A；提示：由题意y随着的大而减小，所以类四反例数

2

，选A答案.5.如图所示P是比例函数

y

x

图象上一点，若图中阴影部分的面积是2，求此反比例函数的关系式．第10页

共13页

OBOB【思路点拨要函数关系式，必须先求出点的横、纵坐标的绝对值是矩形的边长．【答案与解析】

k

的值P点在函数的图象上又是矩形的顶点，也就是说解：设P点坐为(x，y

)，由图可知，P点第二象限，x，y

＞0．∴图阴影部分矩形的长、宽分别为－

、

．∵矩的面积为2，∴－xy

＝2，∴xy

＝．∵

＝

k

，∴

k

＝－2．∴此比例函数的关系式是

y

x

．【总结升华】此类目，要充分用过双曲线上任意一点作x轴、y轴垂所得矩形面积为k这一条件，进行坐标、线段、面积间的转换．举反：【变式如图过反比例函数

y

x

(

的图象上任意两点AB分别作x轴垂线垂为

、

'

，连接OA，'与OB的点为P记AOP与梯形''B的积分别为

、

，试比较

与

的大小【答案】解：∵

S

AOP

AOA

，

SA

OB

且

S

111xSx22∴

.类五实与索6.（2016•临沂）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超千的，按千克22第11

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元收费；超过1千，超过的部按每千克元收．乙公司表示：按每千克16元费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．（1请分别写出甲、乙两家快公司快递该物品的费用y元）与x（千克）之间的函数关系式（2小明选择哪家快递公司更钱？【思路点拨）根据“甲公司费起步价超出重量×续重单价”可得出y关x的数系式，根据“乙公司的费用快重量×单+包装费用”即可得出关x的函数关系式；（2分0＜x≤1和x＞