山东省青岛市莱西华银中学高三数学文上学期期末试题含解析

山东省青岛市莱西华银中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若m，n为实数，且（2+mi）（n﹣2i）=﹣4﹣3i，则=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵（2+mi）（n﹣2i）=﹣4﹣3i，∴2n+2m+（mn﹣4）i=﹣4﹣3i，∴2n+2m=﹣4，mn﹣4=﹣3，解得：m=n=﹣1，则=1．故选：A．2.已知，则(

)

A.

B.

C.－3

D.3参考答案：D3.过抛物线上两点A,B分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点,则直线AB的方程为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B设,由,求导得,在点的切线方程为，在点的切线方程为，联立解得，，所以，，即，，又因为两切线垂直,则,,所以,抛物线方程为,由题易知直线的斜率存在,设直线AB方程为,代人抛物线方程得,由韦达定理得,,和联立可得且,即,.所以直线的方程为.故选.4.抛物线y＝－4x2的焦点坐标是

()A.（0，-1）

B.（-1，0）

C.（0，）

D．（，0）参考答案：C5.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的(***).A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C6.如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为(

)A．B．C．D．

参考答案：【知识点】几何概型．K3A

解析：是几何概型，所有的基本事件Ω=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=，S（Ω）=1，S（A）=∫01x2dx==故选A【思路点拨】据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．7.设全集，则A． B．C． D．参考答案：D故选

8.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”参考答案：A【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A，根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断原命题的真假性即可；B，判断充分性和必要性是否成立即可；C，根据特称命题的否定的全称命题，判断即可；D，根据命题“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，判断即可．【解答】解：对于A，“若x=y，则sinx=siny”是真命题，它的逆否命题也为真命题，A正确；对于B，x=﹣1时，x2﹣5x﹣6=0，充分性成立，x2﹣5x﹣6=0时，x=﹣1或x=6，必要性不成立，是充分不必要条件，B错误；对于C，命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”，∴C错误；对于D，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，∴D错误．故选：A．9.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（

）参考答案：D根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．

10.已知离心率为的椭圆的左右焦点分别为，椭圆上一点满足：，则A.

B.

C.

D.不确定参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，满足（+2）?（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，则与的夹角为．参考答案：【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件可得求得=1，再由两个向量的夹角公式求出cosθ=，再由θ的范围求出θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵向量，满足（+2）?（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴+﹣2=1+﹣8=﹣6，∴=1．∴cosθ==，再由θ的范围为[0，π]，可得θ=，故答案为．12.已知函数，其中，下面是关于f（x）的判断：①．函数最小正周期为②．函数的一个对称中心是（—）

③．将函数的图象左移得到函数的图象

④．的一条对称轴是其中正确的判断是_________（把你认为正确的判断都填上）。参考答案：①②④略13.若，则cos2θ=

．参考答案：【考点】诱导公式的作用；二倍角的余弦．【分析】由sin（α+）=cosα及cos2α=2cos2α﹣1解之即可．【解答】解：由可知，，而．故答案为：﹣．14.在正三棱锥内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为，则正三棱锥的体积最小时，其高等于______.参考答案：【知识点】利用导数求最值和极值柱，锥，台，球的结构特征【试题解析】根据题意：设三棱锥的高PO=x，底面的AB边上的高CD=3OD=3y，

设半球与平面PAB切于点E，所以

所以

三棱锥的体积为：

对体积函数求导，得：令V’=0，得：唯一正解。

由该体积函数的几何意义知：是体积函数的极小值点，

故正三棱锥的体积最小时，其高等于15.两曲线所围成的图形的面积是_________.参考答案：16.若点(x,y)位于曲线与y＝2所围成的封闭区域,则2x－y的最小值为

.

参考答案：－4作出曲线y=与y=2所表示的区域，令2x－y=z，即y=2x－z，作直线y=2x，在封闭区域内平行移动直线y=2x，当经过点（－1，2）时，z取到最小值，此时最小值为－4.[考点与方法]本题主要考察了线性规划的最值问题，考查画图和转化能力，属于中等题，解题的关键在于画出曲线围成的封闭区域，并把求2x－y的最小值转化为求y=2x－z所表示的直线截距的最大值，通过平移直线y=2x即可求解。17.若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则的取值范围为______________.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解答： 解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由?（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即kOT=kON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．19.已知点、和动点满足：,

且（I）求动点的轨迹的方程；（II）设过点的直线交曲线于、两点,若的面积等于，求直线的方程.参考答案：解：（I）在中，由余弦定理得(1分)……………(4分)，即动点的轨迹为以A、B为两焦点的椭圆.(5分)动点的轨迹的方程为：.……………(6分)（II）设直线的方程为由消得.（※）………………(7分)设、，则…(8分)……(10分)解得,当时（※）方程的适合.故直线的方程为或……(12分)20.已知真命题:“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”．(1)将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标；(2)求函数图象对称中心的坐标；参考答案：解：(1)平移后图象对应的函数解析式为：，整理得，由于函数是奇函数，由题设真命题知,函数图象对称中心的坐标是．(2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数．设则,即．由不等式的解集关于原点对称,得．此时．任取,由,得,所以函数图象对称中心的坐标是．略21.（本小题满分12分）在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．(1)求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；(2)求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：(1)、可能的取值为、、，，，，且当或时，．因此，随机变量的最大值为…………4分有放回抽两张卡片的所有情况有种，…6分(2)的所有取值为．时，只有这一种情况．时，有或或或四种情况，时，有或两种情况．，，…………8分则随机变量的分布列为：因此，数学期望…………12分22.（本小题满分10分）

已知，n∈N*.

(1)若，求中含项的系数；

(2)若是展开式中所有无理项的系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：≥(1＋)(1＋)…(1＋)．参考答案：(1)解：g(x)中含x2项的系数为C＋2C＋3C＝1＋10＋45＝56.(3分)(2)证明：由题意，pn＝2n－1.(5分)①当n＝1时，p1(a1＋1)＝a1＋1，成立；②假设当n＝k时，pk(a1a2…ak＋1)≥(1＋a1)(1＋a2)…(1＋ak)成立，当n＝k＋1时，(1＋a1)(