自适应滤波器-第5章

第五章自适应滤波系统

本章重点：掌握自适应滤波器设计的基本思想（基本原理）;掌握基于LMS算法的自适应滤波器设计方法；了解熟悉自适应滤波器的应用条件；掌握算法编程的技巧。Why？自适应滤波维纳滤波参数是固定的，适用于平稳随机信号。卡尔曼滤波器参数是时变的，适用于非平稳随机信号。然而，只有对信号和噪声的统计特性先验已知条件下，这两种滤波器才能获得最优滤波。What？所谓的自适应滤波，就是利用前一时刻已获得滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的滤波器参数，以适应信号或噪声未知的或随时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。设计自适应滤波器时可以不必要求预先知道信号和噪声的自相关函数，而且在滤波过程中信号与噪声的自相关函数即使随时间作慢变化它也能自动适应，自动调节到满足最小均方差的要求（因此实际同WF及KF是一致的）。这些都是它突出优点。需要已知的内容：

输入及理想的输出（参考信号）Example：基于最陡下降法其中：其基本结构可表示为：因此自适应滤波器设计的是系统传递函数(或系统的单位冲激响应),即系统的模型.同维纳滤波器相似应用需求（HOW？）§5.1LMS自适应滤波器基本原理

(leastmeansquare)介绍了自适应滤波器的结构形式、物理意义及实质，从而说明其实质是同WF一致的，只是算法的思想不同。横向结构的FIR滤波器的物理意义系统的零状态响应为：语言可描述：输出是N个所有过去各输入的线性加权之和，其加权系数就是上式可等价为：

自适应滤波器可看成是结构如下的自适应线性组合器：线性组合器（通用的结构模型）横向FIR结构

横向FIR自适应滤波器简化形式:

自适应滤波器的工作原理介绍原则：最小均方差。需要求的是加权系数W推导的思路：将输出y的表达式代入均方差公式中，对欲求的权系数求一阶导数为零的值，即为最佳值。推导过程（验证同KF一致性）令：则：

均方误差的梯度（用表示）

就可得到最佳权矢量，用表示，即上式是维纳-霍夫方程的矩阵形式，说明自适应滤波同ＷＦ是一致的．因此关键在于怎样能简便地寻找，或者说用什么样的算法来求得，最常用的算法是所谓最小均方(LeastMeanSquare)算法，简称LMS算法。其他的一些算法(RLS递推最小二乘)，自己看参考书。§５.2LMS算法（递推算法）最陡下降法原理在最佳值的左面：在最佳值的右面：由上面的讨论得出以下结论：1：自适应滤波的结果同维纳滤波器的结果一致，均满足正交定理。2：自适应滤波器设计可采用递推的方法求出最佳的权系数W；且可表示为算法简单，不涉及矩阵的复杂运算。3：该方法的关键技术是如何适时地求得（或估计）梯度在实际中，为了便于实时系统实现，取单个样本误差的平方的梯度作为均方误差梯度的估计

上两式的这种算法即称为：LMS算法该算法的好处：只存在乘法和加法，简单易于实时系统的实现。

应用LMS算法的自适应横向滤波器示于下图。3.2.2能使LMS算法收敛于的μ（收敛因子）值范围本节讨论以下问题：μ的作用：控制稳定性和收敛速度的参量1。控制参数μ是否可以任意选取，只要大于零就行吗？2。其大小影响了算法的那些方面？3。具体在滤波器的实际设计中，应如何确定？1。先讨论LMS算法收敛于的条件上式要收敛必须满足：所以收敛的充分条件可以写成2。μ是一个控制稳定性和收敛速度的参量

，其对收敛的影响一维情况下关系定量分析计算：有以下结论：1：在<的范围内，当μ取得愈大，有愈大，收敛愈快。2；在满足<<2条件下的μ，最后仍可收敛于。图3.2.4(a)表示在这种情况收敛的过程（这种情况称为欠阻尼情况。对应于欠阻尼情况，（1）情况成为过阻尼）。当μ选得过大，使>2时，此时将不能收敛于５.2.3LMS算法的动态特性—学习曲线及其时间常数５.2.4梯度噪声及其所引起的失调量[例]设M=10%（一般M=10%可以满足大多数工程设计的要求）并设N=10，问应该取多少次迭代数？[解]按式得 所以（以迭代次数计）按经验实际迭代次数应取100（=10滤波器长度N）或取3~5倍。§５.3应用－－自适应抵消器§3.4自适应抵消器作为陷波器的例子

§3.5自适应滤波系统在信号处理中的其它应用3.5.1自适应仿模（Adaptivemodeling）系统3.5.2自适应逆滤波系统3.5.3参考输入是延时k步的原始输入的自适应抵消器

%自适应滤波程序echooff;t=(0:.01:10-0.01)';n=size(t);d=0.5*sin(2*pi*t);%参考信号noise=rand(n)-0.5;%干扰信号x=d+noise;%输入信号M=20;%滤波器长度u=0.002;%收敛因子w=zeros(M);

fork=1:M%序列长度小于滤波器阶数y(k)=0;fori=1:k-1y(k)=y(k)+w(i)*x(k-i);ende=d(k)-y(k);fori=1:k-1w(i)=w(i)+2.0*u*e*x(k-i);endendfork=M+1:n%序列长度大于滤波器阶数y(k)=0;fori=1:My(k)=y(k)+w(i)*x(k-i);ende=d(k)-y(k);fori=1:Mw(i)=w(i)+2.0*u*e*x(k-i);endend

figure(1);plot(t,x,'b',t,y,'r',t,d,'k');xlabel('时间t');ylabel('幅值');自适应滤波实验输入是信噪比为1的信号，其中，v(i)是均值为零，方差为1的高斯噪声。在这里，我们就直接认为参考信号d(i)＝s(i)，滤波器的长度设置为20点。收敛因子u=0.005。其MATLAB源程序如下所示：%自适应滤波的演示程序%参考的系统如下：%实际输入信号x(n)=2^0.5*sin(0.05*pi*n)+v(n),%v(i)是均值为零，方差为1的高斯噪声,实际输入信号的信噪比是1%参考信号直接设为d=s;%收敛因子u=0.0005%滤波器的长度为20点，即w的长度是20点n=0:0.1:120;%系统赋初值s=2^0.5*sin(0.05*pi*n);%有用信号v=1*randn(size(n));%噪声信号x=s+v;%实际的输入信号d=s;%参考信号u=0.0005;%收敛因子fori=1:20,w(i)=0;%w(i)的初值都设置为0endfori=1:1200,%对y赋初值为0y(i)=0;endfori=1:1200,ifi<20forj=1:i,y(i)=y(i)+w(j)*x(i+1-j);%用卷积求y(i)ende=d(i)-y(i);forj=1:i,w(j)=w(j)+2*u*e*x(i+1-j);%修正w(n)endelseforj=1:20,y(i)=y(i)+w(j)*x(i+1-j);%用卷积求y(i)ende=d(i)-y(i);forn=1:20;w(n)=w(n)+2*u*e*x(i+1-n);%修正w(n)endendendn