【课件】椭圆及其标准方程+课件高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2023/2/51双曲线抛物线圆椭圆3.1.1椭圆及其标准方程——“传说中的”飞碟几何代数圆:平面内到定点距离等于定长的动点的轨迹.椭圆是满足什么几何条件的点的轨迹呢？数学实验观察并思考下面两个问题：(1)动点运动出的轨迹是什么？(2)动点满足怎样的几何条件？（1）在平面内（2）到两定点F1，F2的距离等于定长(线总长2a，∣MF1∣+∣MF2∣=2a)F1F2M（3）定长2a

>|F1F2|结合实验以及“圆的定义”,思考讨论应该如何定义椭圆？它应该包含几个要素？※当∣MF1∣+∣MF2∣=∣F1F2∣，动点M轨迹为线段※当∣MF1∣+∣MF2∣<∣F1F2∣，动点M轨迹不存在说明：※当∣MF1∣+∣MF2∣＞∣F1F2∣，动点M轨迹为椭圆

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(2a，大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．F1F2M1.椭圆的定义※这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点※两焦点的距离（∣F1F2∣=2c）叫做焦距OXYF1F2M步骤一：建立适当的直角坐标系,设动点坐标步骤二：找关系式，列方程步骤三：化简方程求曲线方程的步骤:2.椭圆方程的建立由椭圆的定义,可知：|MF1|+|MF2|=2a3.方程的推导由两点间的距离公式，可知：xyOF2(c,0)F1(-c,0)M(x,y)因2a>2c，即a>c，故a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式,可得：两边同时除以a2(a2-c2)

得：xyOF2(c,0)F1(-c,0)M(x,y)方程叫做椭圆的标准方程4．椭圆标准方程分析※焦点在x轴上※焦点坐标是F1(-c，0)、F2(c，0)※b2=a2－c2．xyOF2(c,0)F1(-c,0)M(x,y)思考2023/2/5如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(0,-c)、F2(0,c)．方程是怎样呢？xy这个也是椭圆的标准方程

由两点间的距离公式，可知：xy设|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，又由椭圆的定义可得：

|MF1|+|MF2|=2aOxyMF1(-c,0)F2(c,0)yxOF1F2M(0,-c)(0,c)椭圆的标准方程的再认识：（1）形式（2）三个参数满足a2=b2+c2（3）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标答：在x

轴.（-3，0）和（3，0）答：在y轴.（0，-5）和（0，5）答：在y

轴.（0，-1）和（0，1）小试牛刀焦点在分母大的那个轴上从椭圆标准方程判断焦点位置：哪个分母大，焦点就在哪个轴上图形焦点坐标定义a、b、c关系焦点位置判断xyF1F2POxyF1F2PO标准方程平面内到两个定点的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆.问题：根据表格比较两种标准方程结构之间的异同？课本练习例1

已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.求它的标准方程.解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为由椭圆的定义知所以又因为,所以因此,所求椭圆的标准方程为定义法另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:①②联立①②,因此,所求椭圆的标准方程为:又∵焦点的坐标为待定系数法2023/2/522(3)(方法一)①当椭圆的焦点在x轴上时,优化设计86页例12023/2/523②当椭圆的焦点在y轴上时,2023/2/524利用待定系数法求椭圆的标准方程:当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因为它包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两类情况,所以可以避免分类讨论,从而简化了运算.【变式训练1】

求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点(2,0)和(0,1);(方法二)设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).解:(1)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).因为椭圆过(2,0)和(0,1)两点,【变式训练1】

求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点(2,0)和(0,1);(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上,探究二椭圆的定义及其应用在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos

60°,即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|,即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②②-①,得3|PF1|·|PF2|=75,∴|PF1|·|PF2|=25,在本例中,把“∠F1PF2=60°”改为“∠F1PF2=90°”,其余条件不变,试求△PF1F2的面积.解:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴25=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10,

例2

如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0）,则因为点P（x0,y0）在圆①把点ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得即所以点M的轨迹是一个椭圆.例3

如图，设点A，B的坐标分别是(-5，0)和(5，0),直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程.yAxMBO解：设点M的坐标（x,y）,因为点A的坐标是（-5,0）,所以,直线AM的斜率为同理，直线BM的斜率由已知有化简，得点M的轨迹方程为优化设计88页解析:设Q(x,y),P(x0,y0),由点Q是线段OP的中点知x0=2x,y0=2y.反思感悟

利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤

【易错辨析】

忽略椭圆方程中的条件a>b而致误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错误的原因是没有注意椭圆的标准方程中a>b这个条件,当a=b时,方程并不表示椭圆.随堂练习A.4 B.5 C.8 D.10解析:|PF1|+|PF2|=2a=10.答案:DA.(±4,0) B.(0,±4)C.(±3,0) D.(0,±3)解析:椭圆的焦点在y轴上,且c=3,故焦点坐标为(0,±3).答案:D3.已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离之和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为

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答案:a>0,且a≠15.已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长为18,求这个三角形顶点A的轨迹方程.解:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC的中点为原点,建立平面直角坐标系.由|BC|=8,可知点B(-4,0),C(4,0).由|AB|+|BC|+|AC|=18,得|AB|+|AC|=10>|BC|=8.因此,点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a=10,即a=5,且点A不能在x轴上.由a=5,c=4,得b2=9.

图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=