刚体转动(黑白)

第5章刚体运动学与动力学教学基本要求：一、理解描写刚体定轴转动角速度和角加速度的物理意义，并掌握角量与线量的关系。

二、理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理。三、理解角动量概念，掌握角动量定律，并能处理一般质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题。四、理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律。§5.1

刚体的概念一.刚体特殊的质点系，——理想化模型形状和体积不变化在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组。)刚体的运动形式：平动、转动。⑴刚体是理想模型；⑵刚体模型是为简化问题引进的。说明：§5.2

刚体的平动刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行—刚体平动平动的特点(1)刚体中各质点的运动情况相同(2)刚体的平动可归结为质点运动平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同．特点：各点运动状态一样，如：等都相同．刚体平动质点运动一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25m，供人乘坐的吊箱高度L=2m。若大圆盘绕水平轴均速转动，转速n(转速：物体单位时间内转过的圈数)为0.1r/min。例解求吊箱底部A点的速度和加速度的大小。吊箱平动§5.3刚体绕定轴转动角坐标角速度角加速度一.描述

刚体绕定轴转动的角量刚体的平动和绕定轴转动是刚体的两种最简单最基本运动刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动转轴固定不动—定轴转动zMIIIP二.定轴转动刚体上各点的速度和加速度当与质点的匀加速直线运动公式相象定轴P×ω,刚体参考方向θzOr'基点O瞬时轴任意点都绕同一轴作圆周运动,且，都相同

速度与角速度的矢量关系式加速度与角加速度的矢量关系式定轴P×ω,刚体参考方向θzOr'基点O瞬时轴(1)每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；(2)任一质点运动均相同，但

不同；定轴转动的特点(3)运动描述仅需一个角坐标．利用皮带传动，用电动机拖动一个真空泵．电动机上装一半径为0.1m的轮子，真空泵上装一半径为0.29m的轮子，如图所示．如果电动机的转速为1450rev/min，则真空泵上的轮子的边缘上一点的线速度为__________________，真空泵的转速为____________________．0.1m0.29m5.4力矩刚体绕定轴转动微分方程一.力矩力改变刚体的转动状态刚体获得角加速度力F对z轴的力矩力矩取决于力的大小、方向和作用点•••质点获得加速度改变质点的运动状态？hA(1)

力对点的力矩O.(2)

力对定轴力矩的矢量形式力矩的方向由右螺旋法则确定(3)力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴的力矩讨论hAxLOMy例已知棒长L,质量M，在摩擦系数为的桌面转动(如图)解根据力矩xdx求摩擦力对y轴的力矩如图所示，x轴沿水平方向，y轴竖直向下，在t＝0时刻将质量为m的质点由a处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t，质点所受的对原点O的力矩＝________________；Oyaxb刚体的转动定律作用在刚体上所有的外力对定轴z轴的力矩的代数和刚体对z轴的转动惯量(1)M正比于，力矩越大，刚体的

越大(2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同二.刚体对定轴的转动定律实验证明当M为零时，则刚体保持静止或匀速转动当存在M时，与M成正比，而与J成反比(3)与牛顿定律比较：讨论在国际单位中k=1转动惯量O理论推证取一质量元切线方向对所有质元合内力矩=0合外力矩M刚体的转动惯量

J•转动惯量

J

的意义：转动惯性的量度.

转动惯量的单位：kg·m2三.转动惯量定义式质量不连续分布质量连续分布计算转动惯量的三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置(1)J与刚体的总质量有关例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量LzOxdxM•x(2)J与质量分布有关例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量dlOmROmrdrROLxdxMzLOxdxM四.平行轴定理及垂直轴定理zLCMz'z(3)J与转轴的位置有关1.平行轴定理:刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心的轴:两轴间垂直距离例均匀细棒的转动惯量2.(薄板)垂直轴定理ML

例如求对圆盘的一条直径的转动惯量已知yxz

圆盘

R

Cmx,y轴在薄板内；z轴垂直薄板。zxy(1)飞轮的角加速度(2)如以重量P=98N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速解(1)(2)两者区别五.转动定律的应用举例例求一轻绳绕在半径r=20cm的飞轮边缘，在绳端施以F=98N的拉力，飞轮的转动惯量J=0.5kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦不计，(见图)圆盘以

0在桌面上转动,受摩擦力而静止解例求到圆盘静止所需时间取一质元由转动定律摩擦力矩R§5.5

绕定轴转动刚体的动能动能定理一.转动动能zO设系统包括有N个质量元,其动能为刚体的总动能P•绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半结论取二.力矩的功O功的定义力矩作功的微分形式对一有限过程若

M=C(积分形式）力的累积过程——力矩的空间累积效应••.P三.转动动能定理——力矩功的效果对于一有限过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理(2)力矩的功就是力的功。(3)内力矩作功之和为零。讨论(1)合力矩的功例一根长为l，质量为m的均匀细直棒，可绕轴O在竖直平面内转动，初始时它在水平位置解由动能定理求它由此下摆

角时的OlmCx一.质点动量矩(角动量)定理和动量矩守恒定律1.质点的动量矩(对O点)其大小(1)质点的动量矩与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关特例：质点作圆周运动§5.6

动量矩和动量矩守恒定律说明OS惯性参照系(2)当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O的动量矩也称为质点对过O垂直于运动平面的轴的动量矩例一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C分别为三个参考点,此时m相对三个点的距离分别为d1、d2、d3求此时刻质点对三个参考点的动量矩md1d2

d3ABC解OS(质点动量矩定理的积分形式)(质点动量矩定理的微分形式)质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量2.质点的动量矩定理说明(1)冲量矩是质点动量矩变化的原因(2)质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果3.质点动量矩守恒定律──质点动量矩守恒定律(2)

通常对有心力：(1)动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用讨论过O点,M=0,动量矩守恒当飞船静止于空间距行星中心4R时，以速度v

0发射一求θ角及着陆滑行的初速度多大？解引力场（有心力）质点的动量矩守恒系统的机械能守恒例发射一宇宙飞船去考察一质量为M、半径为R的行星，质量为m的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面二.质点系的动量矩定理和动量矩守恒定律质点系对参考点O的动量矩就是质点系所有质点对同一参考点的动量矩的矢量和记质点系质心C的位置矢量为，速度为。对第i个质，则点，设其相对于质心的位置矢量为，速度为1.质点系的动量矩(1)

质点系的动量矩(角动量)可分为两项第一项：只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度

——轨道角动量第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和——自旋角动量说明(2)质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心处的一个质点对于参考点的角动量。它反映了整个质点系绕参考点的旋转运动

(3)质点系的自旋角动量是以质心为参考点的角动量。与质心运动无关。它只代表系统的内禀性质

2.质点系的动量矩定理微分形式积分形式质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量质点系的内力矩不能改变质点系的动量矩说明3.质点系动量矩守恒定律对质点系三.刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律1.刚体定轴转动的动量矩刚体上任一质点对Z轴的动量矩都具有相同的方向O(所有质元的动量矩之和)如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零,则沿此轴动量矩守恒,如2.刚体定轴转动的动量矩定理由转动定律（动量矩定理积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量(1)变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元)转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩说明3.刚体定轴转动的动量矩守恒定律