大学物理力学

第一编力学力学是一门古老的学科，渊源于公元前四世纪。但力学成为一门科学是从十七世纪开始，经伽利略，牛顿等人系统总结而形成。以牛顿定律为基础的力学叫牛顿力学或经典力学。它是研究物体做机械运动规律的科学。它是整个物理理论和相关科学的基础。300多年以来，经典力学为人类的文明，社会的进步做出了巨大的贡献。自二十世纪以来，经典力学的理论受到挑战，并由此诞生了近代物理，然而，经典力学在当近高新科技中仍然有其特有的地位，使人类对物质世界认识进一步深化。返回科学的基石路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。名句赏析Aristoteles)(公元前384-322)，柏拉图（Plaston,公元前427-347）的学生.古希腊早期（公元前三世纪）的哲学家，物理学家。主张思辩，推理，演绎。亚里士多德经典力学的典基人开普勒(N.Copernicus)（1743-1543）在丹麦科学家第谷（Techo）长期艰苦观察的基础上，经十六年的研究，归纳出行星的三大运动定律，代表作“天体运行论”。哥白尼托勒密（公元一世纪）提出地心说；哥白尼（公元十六世纪）提出日心说。伽利略J.伽利略（1564--1642）简介论证和宣扬了哥白尼学说。论证了惯性运动。论证了自由落体的加速度。用实验验证了匀加速运动。提出了运动合成的概念。提出了力学的相对性原理。发现了单摆的等时性等。牛顿牛顿（1642--1727）简介总结提炼了三大运动定律。得出了万有引力定律。定义了质量，力和动量。提出力的独立作用原理。动量守恒定律…。在微积分，光的色散等方面有贡献。如果我曾经看的远一些，那是因为站在巨人们肩上的缘故。牛顿自然和自然规律隐匿在黑暗之中，上帝说：让牛顿降生吧，则一切就有了光明。莆伯特质点力学力学框架刚体力学运动学动力学静力学运动学动力学静力学力学欣赏美的力学力学激发美芭蕾---力学美四海翻腾力学自然美力学和谐美享受美的力学返回第一章质点力学

名句赏析有花堪折直须折，莫待花落空折枝。

研究质点做机械运动的物理规律，主要内容包括：质点运动学：速度，加速度等。

质点动力学：牛顿运动定律，功，能及关系；动量，冲量及关系等。第一节参照系坐标系运动方程一物质运动的绝对性

世界是由物质组成的，称为物质世界。运动是物质存在的一种形式。物质是在不断运动中。称为运动的绝对性。

二运动描述的相对性参照系

在自然界中，物质的运动形式是多种多样的。一物体相对于另一物体的位置的变化或物体内各部分之间相对位置的变化，如天体的运行，车船的行驶，机器的运转等，这种运动称为机械运动。它是一种最简单，最基本物质的运动形式。此外，还有物质的热运动，电磁运动等。

由此不难看出，对一物体做机械运动的描述是相对的。一般的说，一个物体是运动的，还是静止的，是相对哪一物体或物体群做为参考而言。相对一物体是静止的，而相对另外的物体可能是运动的。因此，研究物体的机械运动时，必需选定另外的一物体或物体群做参考，它们被称为参照系（物）。水平面参照物参照物的数学抽象

三坐标系运动方程

一维运动(直线运动）设一质点相对地面作直线运动。物体相对参照物运动时，其坐标也变化。

物体t时刻的位置或坐标记为称为运动方程。

通常把物体的运动方向定为坐标轴的正方向。

显然，运动方程是一个表述质点相对一定的参照物的瞬时位置的数学表达式。特点是确定物体的位置，是时间的函数。为一代数式。学习指导0

为了定量的研究物体相对参照物的位置及位置的变化，在参照物上固结一坐标（轴）系。水平面参照物参照物的数学抽象

三坐标系运动方程

一维运动(直线运动）设一质点相对地面作直线运动。0

为了定量的研究物体相对参照物的位置及位置的变化，在参照物上固结一坐标（轴）系。物体相对参照物运动时，其坐标也变化。

物体t时刻的位置或坐标记为称为运动方程。

通常把物体的运动方向定为坐标轴的正方向。

显然，运动方程是一个表述质点相对一定的参照物的瞬时位置的数学表达式。特点是确定物体的位置，是时间的函数。为一代数式。二维运动（曲线运动）设一质点在一平面内沿曲线运动，参照物被研究物体物体物体被研究物体

如何定量来确定质点相对参照物的位置呢?在参照物上固结一组相互垂直的坐标轴，称为直角坐标系。如图示。质点不同时刻相对参照物的位置可用来确定.当质点运动时,它的坐标随时间变化,是时间的函数.称为运动方程的分量式。

可见，曲线运动可用一组相互垂直的直线运动表示。为运动的正交分解。可见，复杂运动可用简单运动来表示。轨迹

质点运动时，矢量的模和指向变化，若知的形式，则可用的模确定质点不同时刻相对参照物的距离；用与轴的正向夹角表示质点的方位。即用可确定质点的位置。故称为位置矢量，简称位矢。

质点运动时，位置矢量的矢端也在空间滑动，运动质点位置矢量的矢端轨迹即是质点的运动轨迹。

还可以用另一方法表示质点的位置。从坐标原点向质点所在轨迹上的位置引一矢径来表示质点的位置。称为矢量式运动方程。称位置矢量或位矢(或称矢径)。

两种表述关系：在直角坐标系下的位矢表示。代数式。为位矢在轴上的投影，皆为为沿轴和轴正方向的单位矢量，模（大小）为1。上式中，必需有。中的箭头不能少。

三维运动不难看出，知分量式可得到矢量式。称为运动方程的分量式。称为运动方程的矢量式。点评

能否用（由参照物到研究物体的线段）来确定物体相对参照物的位置，为什麽?四轨道方程矢量和标量你从哪里来，我的朋友矢量和标量

我们经常遇到两类物理量：标量和矢量。标量如质量，动能，功，电流等有大小和单位的物理量；矢量如位移，速度，力，动量，电流密度等不仅有大小和单位，而且有方向。

正确表示路程不正确表示：

教科书中，矢量用粗黑体字，而作业中矢量应加箭头，否则不对。例1—1如图示，一物体从高台顶部竖直上抛，求其运动方程。

解：以抛出点为坐标轴的原点，向上为正。运动方程为此式也为代表间的位移，而非路程。

若以抛出点的下方某处（距抛出点为）为坐标原点，取轴向上为正，则运动方程为此式既不代表间的路程，也不为此时间间隔内的位移。

水平面例1—2求斜上抛物体运动方程的分量式及矢量式。

解：此为平面运动，以抛出点为坐标系原点，建立直角坐标系如图示。运动方程的分量式为运动方程的矢量式为设一质点沿轴运动，质点的运动方程为平均速度一一维运动第二节速度位移（为代数式，不必用矢量式）令变小，平均速度也随之变化

即

在数学上，即把运动方程对时间求一阶导数。

物理意义：时刻附近无限小时间内的平均速度。速度沿轴的正方向速度沿轴的反方向速度恒定

在直线运动中，运动方程，位移，速度及加速度等用代数量或代数式表示。速度可以是变量（如时间的函数）或恒量。瞬时速度2曲线运动（二维）位矢位移为末,初二时刻位矢之差.一般情况下路程平均速率

时间内的位移与之比。平均速度平均速度的大小平均速度的大小和方向与有关。轨道当无限小时，即此平均速度为物体时刻的速度。记为即位矢的时变率。瞬时速度方向沿轨道切线，指向运动方向。大小又称为速率。式中的为元路程。则速率或即式中的为元路程。速度分量式（1）在直角作标系下的表示轨迹轨迹运动方程的分量式位矢的模（大小）极角轨道方程位矢（运动方程的矢量式）：为沿位矢的单位矢量，方向同。(2)在平面极坐标系下的表示运动方程的分量式速度按定义，有式右边第一项反映了矢径大小的时变率，称为径向分速度轨迹是单位矢量，大小不随时间变化，看第二项的物理意义：由图得，与垂直（因为无穷小量），，则只是因其方向变化而引起的增量。大小称为横向向分速度。为沿横向的单位矢量。速率

例1----8已知，为恒量，求轨道方程解：略第三节加速度一直线运动速度增量平均加速度瞬时加速度或沿轴的正方向。沿轴的反方向。以上各量为代数式

例1—3已知一质点的运动规律为，求该质点的瞬时速度和加速度。解：

例1—4已知运动方程为。求：的位移，路程和瞬时速度，以及瞬时加速度和最大速度。到解：位移和路程略。瞬时速度瞬时加速度最大速度令得出，代入速度的表达式2曲线运动平均加速度瞬时加速度或速度增量方向：

与有一定夹角，不沿轨道切线。大小：（否则为直线运动）瞬时加速度

分量式（1）直角坐标系下方向大小

显然，如果知到了沿轴上的分量，则可求出加速度的大小和方向。为代数量。加速度矢量方向余旋。例1—5

求斜上抛体运动的加速度。解：加速度矢量加速度大小式中负号的意义。例1---6已知质点的运动方为

求：瞬时速度和瞬时速率,瞬时加速度。解：瞬时速度瞬时速率而径向速度分量为或瞬时加速度大小（2）自然轴(自然坐标)系沿质点的轨道切线方向和法线方向研究运动.

由以上知，在曲线运动中，加速度的方向与速度（或轨道的切线）成一定夹角，因而，还可以把加速度沿轨道的切线和法线进行正交分解。若知此二分量，则加速度可得出。如何求二加速度分量呢?让我们先直观的分析一下。按加速度定义设一质点做变速圆周运动速率讨论第一分量大小：方向：沿法线指向圆心，故称为法向加速度。

由几何关系，有则大小可为：注意：为速率的变化（增量），而不是速度增量的大小)。

方向：沿轨道切线，与速度共线故称为切向加速度。另一分量数值：切向加速度法向加速度以上二式中的为瞬时速率。可见，而加速度分量式为

（2）速率恒正，。当，表示速率正增加中，加速度与速度成锐角，故切向加速度与速度同向；而，表示速率减小中，加速度与速度成钝角，切向加速度和速度的方向相反；而，则为匀速率圆周运动。oRoR加速运动减速运动几点讨论：1切向加速度的理解（1）切向加速度是速率（速度大小）的时变率。是代数量。

故切向加速度应理解为加速度在速度方向的投影更为确切。可表为式中为速度矢量的单位矢量；而为加速度与速度间的夹角。2加速度大小方向矢量式式中的为指向圆心的单位矢量。

在很多情形下，物体沿任意曲线匀速，加速，或减速运动，此时，物体的法向与切向加速度如何表述呢?加速运动轨迹减速运动轨迹0瞬时曲率圆瞬时曲率半径0瞬时曲率圆轨迹0瞬时曲率圆瞬时曲率半径

在轨道的任何点上，物体的表现同圆运动，只是对应不同的曲率圆而已，故二分量的表述同圆运动时的情形。大小方向

解:分析：物体运动中，加速度恒定，但与速度的夹角不断变化，因而，其切向与法向的加速度分量也不断变化，是时间的函数。如何求，关键求出速率的表达式。

例1—7求斜上抛物体的的表达式。速率为则切向加速度为或法向加速度可否用，为什么?而曲率半径为

例1—8求下列图中二时刻的。斜抛运动

解：本题的特点是：已知各点加速度及与速度间的夹角，此时，沿轨道的切向与法向分解加速度即可。12式中的为沿速度的单位矢量,是速度矢量与加速度矢量的夹角。说明“–”物理意义。已知.文字运算

用物理量的专用符号表示物理量，按物理规律组成方程式。按问题在几个方程式间联立，进行运算，中间不带入数据，称为文字运算。最后代入数据。大学物理和科技均要求此方法。克服步步代数据的方法。轨道的曲率半径为如何求路程不要求做。

例1—9一质点的运动规律为其中皆为恒量。求1轨道方程；2位置矢量；3速度与加速度；4切向加速度；5法向加速度；6轨道的曲率半径。解：1消去时间，为轨道方程----椭圆。2位置矢量3速度与加速度45（略去计算过程)。6或1、判断下列写法是否正确？（1）（2）（3）（4）（5）2、在质点的下列运动中，说法正确的是（）（A）匀加速运动必定是直线运动（B）在曲线运动过程中，加速度的法向分量恒为零（C）在直线运动中，加速度为负，质点必做减速运动（D）在圆周运动中，加速度方向总是指向圆心（E）在曲线运动过程中，法向加速度总是指向圆心3、下列各种情况中，说法错误的是（）（A）一物体具有恒定的速率但仍有变化的速度（B）一物体具有恒定的速度但仍有变化的速率（C）一物体具有加速度而其速度可以零（D）一物体速率减小但加速度增大（E）一物体速率增大，而法向加速度的大小不变4、一质点在xOy平面内运动，已知质点位置矢量的表达式为（其中a，b为常量），则该质点做（）（A）匀速直线运动（B）变速直线运动（C）抛物线运动（D）一般曲线运动5、一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度与速度的方向相反，大小与速度的平方成正比，即dv/dt=-Kv2，式中K为常数，试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为v=v0e-Kx（v0是发动机关闭时的速度）证明：因所以从而6、某人以4km/h的速度向东前进时，感觉风从正北吹来；如人的前进速度增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。试求风相对于地面的速度？

例1—10一质点沿半径为的圆周按规律运动，式中为常数。求速率，切向和法向加速度和加速度。

解：该式为物体沿圆周的运动规律，类似于直线运动的运动方程。大小三运动学的逆问题1正问题一维（直线运动）二维（平面曲线运动）数学方法：求导2逆问题一维（直线运动）运动方程二维（平面曲线运动）运动方程数学方法：积分

例1---11一质点沿轴正方向运动，加速度为。当时质点静止于处，求速度的表达式及运动方程。解因，则有积分，得（分离变量法）又，则有积分得运动方程***也可用不定积分。

例1---12一质点沿轴正方向运动，加速度为，质点在时的速度为。求速度与位置的关系。解因，如何找的关系，分离变量，并积分得***也可用不定积分。

例1—14一质点沿半径为的圆周运动，加速度与速度的夹角保持不变，时的初速度为，求质点沿圆周运动的路程随时间的变化关系。解：由图示知，解：由图示知，

用分离变量法可求速率与时间的关系。再积分可求质点沿圆周运动的路程随时间的变化关系。（略)正确的表述为或第四节相对运动

在本章一开始，我们就谈到运动的相对性。物体做机械运动时，机械运动的描述是相对的（举例略）。

对不同的参照物，其运动方程，位矢，位移，速度，速率，加速度，轨道方程等可能是不同的。甲（被研究客体）乙（被选参照物）相对轨迹相对速度相对加速度（相对位矢）运动的相对性=+或–=则速度矢量关系为地球甲乙

设想有三个客体：地球，甲和乙。相对位矢如图，则有矢量间关系式则加速度矢量关系为或+=归纳有如下关系注意下标的循环关系，熟记可有利求解此类问题。

例1----11风相对地面由正东南吹来，速度为，一人相对地面向东跑去，速度为，则人感到风从何方吹来?风速多大?其中解：画出各速度间的矢量关系图北南东西用矢量图可求的大小和方向（略）。注意到推广：若有甲，乙和丙三客体，之间存在着相对运动，则有例题点评

实验与理论表明，光速是绝对的，在相对运动的惯性系内，测得光在真空中的速度相同。称为光速不变原理，由此产生了近代物理之一：相对论。***

注意：位矢，轨迹，位移，路程，速度，速率，加速度等相对性。及动力学中的功；动能，动能定理；动量，动量定理等也具有相对性。第四节牛顿运动定律

牛顿运动定律是经典力学的核心，它定量地描述了运动和作用的关系，从更深的层次上揭示了经典力学的本质，它是确定性的理论。根据已经掌握的概念和规律，在此仅作概括叙述。

一牛顿运动定律1第一定律例题1---8如图,求两条绳内的拉力.解:1分析物体受力,画出受力图.例题1---9如图,求斜面和档板对物体的作用力.解1分析物体受力,画出受力图.2因,故三个力矢量构成封闭三角形.静力学的美2第二定律特点：矢量性，瞬时性，相对性。两种分量式

（1）若采用在直角坐标系下用牛二律求解问题，分量式为

为一组代数式，式中各量为代数量，是牛二律矢量式中的矢量在选定的轴上的投影(或分量)。一般是把一个轴的正方向选在沿物体的运动方向，而另一轴与运动方向垂直。（2）若采用在自然轴系下用牛二律求解问题，分量式为

为一组代数式，一般在曲线运动时采用。式中各量为代数量，是牛二律矢量式中的矢量在物体的运动方向（速度方向）上和指向曲率中心方向上的投影。力的切向分量方向与速度方向一致时,该分量取正,反之取负;力的法向分量指向曲率中心,该分量取正,反之取负.3第三定律（略）作用力与反作用力间经验谈

大学物理中，有一些物理量用矢量表示，如速度，加速度等；而有些物理规律用矢量式表示，如牛二律等。在很多情形下，往往用到其投影量或投影示求解，应学会据问题的性质和特点，建立坐标系，把涉及到的矢量（方向可设定，非真正的方向）投影，注意投影的正，负符号选取。多实践，多练习。此后，还遇到此类问题。银河系土星土星的光环由线度为的粒子形成土星环天体力学的美流星雨点评自然力漫谈四种力：1万有引力：源于引力场-----引力子-----引力波(星体间，潮汐)2电磁力：源于电磁场-----光子宏观的表现力有：弹性力，压力，张力，拉力，摩擦力，浮力…3强力：存在中子，质子及强子间，源于介子场----色力----色子（胶子）。4弱力：存在中子，质子及强子间，如衰变中，由粒子传递。***超统一理论简介。***

扬---李与弱相互作用不守恒。5第五种力20世纪80年代提出，正验证中。大统一理论超统一理论规范场宇宙现时的宇宙人眼可视的星体：颗银河系：星体颗。太阳系到银河系中心距离：光年银河系之外还有个星系。大的星系有个恒星目前发现距我们最远的星体：光年宇宙的形成宇宙的年令：亿年，即秒宇宙的形成：大爆炸初时，宇宙的密度无限大，温度无限高爆炸半小时后，温度降为，基本粒子产生宇宙在膨胀宇宙的线度星系图该星系与银河系类似。由星体个组成。成扁盘状，中心亮。整个星系绕垂直于盘面的轴转动。太阳为星系中的一个星体。绕星系的转动速度约，转动的周期为年。按引力理论的计算结果与观测的结果不附。有人提出暗物质的存在。计算时没有考虑暗物质所致，据估算，宇宙中暗物质约占90%。但暗物质至今尚未被发现。暗物质（darkmatter）地面二惯性系与非惯性系惯性力

当车在水平地面上沿直线匀速运动时，车顶悬挂的物体随车匀速运动，物体水平方向不受力;悬线沿竖直方向.

当车相对地面向右加速运动时，木块随车一起相对地面加速运动，悬线倾斜;沿水平提供力.

以地面为参照系，或站在地面上的观察者认为，在绳子张力和物体重力的合力作用下，物体向右加速运动，据牛二律，有即以地面为参照系，牛顿定律成立。惯性系惯性系:使牛顿(第一,二)定律成立的参照系。

一般（不准确情况下）把地球视为惯性系。相对地球静止或做匀速直线运动的系统均为惯性系。地面

以车为参照物，即相对车静止的观察者，物体受力状况不变，合力依然不为零，但物体对车无加速度。

可见，牛顿运动定律对相对惯性系做加速运动的系统不成立，即物体受的合力不等于物体的质量与物体对该参照系的加速度之积。该参照系称为非惯性系，在非惯性系不能用牛顿运动定律。此处非惯性系:使牛顿(第一,二)定律不成立的参照系。非惯性系相对地面做直线加速(或减速)运动的参照系均为非惯性系。附加力为称为惯性力。

回到刚才的问题：对非惯性系，物体所受合力不为零，但物体相对于非惯性系静止,，车上的观察者如何来解释这一物理现象呢?他设想，该物体除了受到力和之外，还多受到一个附加力，它与和之合力大小相等，而方向相反，因而，其相对非惯性系的加速度必为零。如例图示。

在非惯性系内物体受力图附加力(想象的力)应为即为对非惯性系而言,有即考虑了此力后,对非惯性系,牛顿定律仍然成立.

可见，在非惯性系内，必须多考虑一个力，此力称为惯性力。它与其它力的矢量和构成的合力等于研究物的质量与该物相对非惯性系的加速度的积，对地面（惯性系）的牛二律形式为地面引入惯性力的另一种方法：

如图所示，车相对地面的加速度为，而物体相对车的加速度为，则物体对地面的加速度为对车（非惯性系）的牛二律形式为或

上述的结论具有普遍的意义：在任何相对惯性系作加速直线运动的参照系中研究动力学问题（包括平衡问题），在考虑了惯性力后，仍可用牛顿定律。各量物理意义解释：为研究物体的质量，为非惯性系相对惯性系的加速度，负号表明惯性力的方向与的方向相反。在非惯性系下的牛二律形式其中

惯性力与其它力一起，作用在物体上，决定物体相对非惯性系的规律。1惯性力是由于非惯性系相对惯性系加速运动引起的，它不是物体间的相互作用，因而，无反作用力，也无施力的物体。常被称为想象的力或虚拟力.2惯性力影响物体对非惯性系的运动。***

举例由车辆中的乘客在车加速，减速；电梯的加减速；等。3非惯性系中惯性力的确定。

惯性力：惯性力看似抽象，实则具体而现实。例如，当我们处在变速运动的交通工具中时，会直接感受到此的存在力。当火车沿路轨加速运动时，相对地面静止的房屋，树木等在乘客看来是向着火车运动的反方向加速运动，从动力学讲，既然有加速度，一定有力的作用，此力为惯性力。如

摆无论在车上还是在地面，所受惯性力相同。一个相对车（非惯）静止，而另一个相对车（非惯）加速运动。***惯性力与等效原理------广义相对论（略描述）。

再如，光滑的斜面上有一木块，二同样斜面，一个固定在地面，而另一个固定在车上。从非惯性系研究二木块：地上者车上者然而，二木块（地面与车上者)对斜面的压力不同。因故在地上者可计为

这表明，由地面惯性系和车的非惯性系来研究同一木块，其动力学方程不同，运动规律（运动方程，速度及加速度等)也各异，但物体间的作用力是相同的。为惯性系的动力学方程。

在车加速时，欲保持人相对车静止，车上的人同时受到惯性力和地面对脚下的作用力，而的存在的真实性，使车中人感到了惯性力真实存在，。而地上人对车有加速度，该惯性力对车存在，引其人对车有加速度，但没有“真实”的力存在，此惯性力是虚拟力，人无法感觉到它的存在。

还有一个问题：如图，为什麽车上的人感觉到了惯性力的存在，而地上的人感觉不到?人人1在转动参照系（非惯性系）内物体也受到惯性力，即惯性离心力。分析如下：物体随盘一起匀速转动物体随盘一起转动。***另外两种惯性力简介（了解）从惯性系（地面）看来从非惯性系（盘）看来，物静，沿向外，故称惯性力为惯性离心力。则必须为附加力，为***举例（略）

在环绕地球飞行的宇宙飞船内，物体的惯性离心力与向心力即重力平衡。因而船内的所有物体包括宇航员都处于失重的状态。在太空舱内，宇航员成为一个飘忽不定的人。他可以好不费力握住一个东西，但转体等动作确十分困难。图象中所呈现的宇航员手舞足蹈，是为了自己前进或转体。***

太空站内的微重力仅是地面上的百万分之一。比如，一个硬币下落1.8m，在太空站内用600s,而在地面上用0.6s。

***微重力环境对晶体生长，化学反应，种子发育，植物生长，药物治疗，动物的心理和生理等产生显著和微妙的影响。

***

十六国在2005年建立大国际空间站，站内空间约为，飞行高度为,速度为，绕地球一周约90分钟，从船上可看到地球面积。太空站飞船内的宇航员漂浮在船内宇航员倒立在船内空中***离心力对重力的影响物体离心力方向地球重力方向引力方向重力随纬度的变化规律,经计算为离心力对重力的影响很小,约千分之几.从宇宙飞船上拍摄的地球2在匀速转动的参照系中运动的物体，除了上述受的惯性离心力之外，还受到另一惯性力：科里奥利力，简述如下。质点对盘（非惯性系）的相对速度圆盘质点对地（惯性系）的速度则对地有对盘有惯性离心力科里奥利力此时的科氏力方向同惯性离心力方向，沿方向。科氏力的矢量式例如圆盘圆盘科里奥利力(选自KaneSternheinPhysics04K162)

如图所示，盘面光滑，一人站在点，沿一半径向外的点以速度抛一球，则球经一定时间，定会到达点。

如图所示，盘面光滑，一人站在点，相对匀速转动的盘，以速度向外的点抛一球，则球经一定时间，球是否还能会到达远处的点呢?为什麽?

球相对地的速度应是与在点的横向速度之矢量和，即

因盘面光滑，对地而言，在与垂直的方向无外力作用在球上。故球沿直线运动，经一定时间，球由点运动到点。其中对地的轨迹我们先来看一下球相对地面参照系的运动。对地的轨迹

注意到盘同时沿逆时针方向转动中，当球到达点时，抛出点已相对地转到了点，同时盘上的点也相对地面转到了点，在以转动的盘为参照系看来，球是由点沿曲线运动到了点。

球相对转动的盘的轨迹如同平抛运动，故在与垂直的横向有力，此力为惯性力，称为科里奥利力。对盘的轨迹为曲线在看一下球相对转动的盘面是如何运动的。

注意：和相对盘面是同一点；而和相对盘面是同一点；

物体受科氏力的方向：在盘上沿盘面的半径向盘缘抛出的物体偏向目标（B点）的右侧。对地的轨迹对盘的轨迹为曲线由向（相对速度指向圆心)的情形。

在盘上沿盘面的半径向盘心抛出的物体偏向目标（A点）的右侧。***科里奥利力又一定性解释

如图，设想一圆盘饶过盘心0的竖直轴在水平面内匀速转动，在盘面上由盘心向盘缘开有一直沟槽。槽内有一物体，由盘心向盘缘以相对速度向外运动。对地面（惯性系）而言，物体在垂直沟槽的方向上速度越来越大（），即物体在该方向上有加速度，该加速度由槽边作用给物体。

但对盘而言，物体在与槽垂直的方向上是静止的，无加速度。故相对盘静止的观察者认为，物体还受一个与相反的力，此力为科里奥利力。

物体由盘缘向盘心以相对速度向内运动。***科里奥利力又一定性解释

如图示，一圆盘绕一固定轴匀速转动。设想一物体A位于空中一点P，相对地面（惯性系）不动。物体相对盘的速度为。若物体从靠近盘心处一点向盘的边缘方向上的另一点沿直线（对地）以速度匀速运动时，变大，变大。这表明，相对盘而言，在横向上有加速度。相对盘而言，产生此效应的惯性力称为科里奥利力。物体对盘的轨迹为曲线。俯视图

设时刻物体在盘上的位置是，经时间后到达，在地面的观察者看来，物体有两个速度分量：径向分量和角向分量。

时间后，盘转过角度，分量使物体走到，

如果没有加速度，此速度分量与分量合成，把物体带到点；然而物体实际上已到达点。位移是由加速度引起的。在这一极短时间内可认为加速度均匀，令由图知，得横向对地的加速度科氏力为科氏力的表述

1以地面为参照系计算导弹或卫星的轨道时，要计科氏力。可以证明沿相对速度指向看，指向物体运动的右侧。2在北半球，南北流动的河流，顺着水流看，河岸的右岸冲刷利害。3火车南北行驶时，顺火车的运行方向看，双轨铁路的右轨磨损严重，4高处落体偏东。***应用与相关现象：物体引力方向地球三应用1已知运动求力，如压力，张力等。此类问题大家相当熟悉，并做过大量的练习。

牛顿运动定律是整个经典力学的基础，用它可直接求解两类问题：2已知力求运动。知道力的形式，如，力是速度，时间或位置的函数，求运动规律，。或给出加速度是时间，位置或速度的函数，即，由此求运动规律，。所用工具-----高数的积分学。此类问题大家不熟悉，应掌握它。无论哪类问题，但求解的思路是一样的。可归纳为一下几条。用牛顿运动定律求解题目步骤总结：1运用隔离体法，对所研究的各物体，分析其受力（若对非惯性系研究，勿忘惯性力），并画出受力图。2列出各物体的牛二律的数学表达式（矢量式）。3建立坐标系，写出上述表达式的投影式（代数式）。4若求解的方程数目小于未知量数目，应写出相应的运动学关联式。5进行文字运算，然后带入数据求解。经验谈非惯性系中牛二律矢量式其中例1—11如图所示，求木块的。光滑光滑m解1在非惯性系中考虑。斜块相对地面（惯性系）加速运动，斜块为非惯性系。研究体木块，受力图惯性力建立坐标系，写分量式（代数式）代数式2在惯性系中考虑受力图m矢量式对地的加速度光滑光滑m(代数式)分量式两种解法的结果相同。

例1—12如图，斜面固定在地面上，不计所有摩擦，求斜面与A间，A与B间的作用。例题

解：以地面为参照系（惯性系）的受力图A木块：牛二律的矢量式的形式投影式(代数式)（1)（2)取向下为正方向，投影式(代数式）为运动学规律B木块牛二律的矢量式的形式联立求解，运算及结果略。（4)（3)

因木块A相对地面加速运动，故为非惯性系，取A木块为参照系，本题也可在非惯性系内求解，此时，木块A的受力图为在非惯性系内的牛二律形式木块B的受力图为在非惯性系内的牛二律形式取向下为正方向，投影式(代数式）为在竖直方向B相对B无运动。计算略。

在物理中，物理量用三位有效数字表示。小数点后面取两位。如有效数字或用指数表示则

例1—12若物体从静止下落，空气阻力为，求物体的运动规律。（其中为正常数）静止释放解：据牛二律或以释放点为坐标原点，矢量式的投影式为

该式不是一个表示速度和时间间的代数式，不能表示速度随时间变化的显函数关系。该式为含有导函数的式子，为微分方程，欲得到速度随时间的变化显函数关系，则用积分法。

为此，须把式中的二变量和移到式的两边，称为分离变量法积分该式速度的表达式运动方程为则例题静止释放解：据牛二律以释放点为坐标原点，选轴向上为正方向时，若选则轴向上为正时注意到此时速度沿轴的负方向，投影为，牛二律矢量式的投影式为若速度的投影为，，则阻力为牛二律矢量式的投影式为注意，该方向加速度分量是该方向速度投影（分量)的时变率；把加速度表为是错误的，因不是该方向上的速度分量。

例1—13如图，半径为的圆环固定在光滑的水平面上，一物体沿圆环内壁作圆周运动，物体与内壁之间的滑动摩擦为，时,速率为，求物体速率的表达式，水平面圆环解：在平面内物体受力图为牛二律的分量式为切向：法向：

二式联立，消去，在利用分离变量法可得结果（略）。则学习指导解：时刻，切向：法向：以速度的方向为切向的正方向。又切向式变为分离变量积分可得与法向式结合，可求张力的表达式。

例1—14如图所示，细绳栓一质量为的小球，在竖直平面内绕点以为半径做圆周运动。时，小球在最低点以初速度运动，求小球速率与位置的关系。

在大学物理中，物理量通常为变量，这表明了自然界客观规律的复杂性。在物理学中，一些物理规律的数学表达式（物理量间的函数式）用代数式的形式表示，例如而另有一些规律以微分的形式表示，例如

若想使变量间的微分形式变成代数式形式，即把微分式中的几个变量设法变成二个变量，使等号的两边各有一个变量，即使二个变量分离，积分等号两边的二变量即可。经验谈春江水暖鸭先知水平面一功研究力的空间累积及效果。

而路程是由A到B的位移的大小，且是恒力和位移的夹角的余璇。故上式可表述为第五节功动能定理

1恒力的功力的大小和方向不变。定义（略）

设物体沿直线由A运动到B，一恒力作用在物体上。该过程中的该力的功为

式中是恒力在物体运动方向上的投影，可见，仅力的切向分量作功。是路程。功是标量。平面2变力的功设一变力作用在物体上，如何求其功。借用恒力功的思想。把由A到B分成一系列小位移则整个过程的功元位移上的功为（变中有不变的思想）令相对性（解释略)能量传递与交换的量度。过程量特性：3功的常用计算方法直接用定义式或

为力矢量在瞬时速度方向（运动方向）上的投影，即力的切向分量，可见仅切向力作功，切向力与速度同向，为正，做正功：反之做负功。式中，为力矢量与瞬时速度（即元位移）间夹角，而为元位移大小，即路程。合力的功合力的功为各分力的功的代数和。在直角坐标系下（二维）则有

式中的为代数量，为力在选定坐标轴上的投影。第一物体受的力与其对第二物体相对的元位移点积为元功。或

一对作用力和反作用力的功参照物设一物体由A运动到B。物体受合力为变力。合力的元功为由A到B过程中合力的功动能二动能定理动能定理：合外力的功等于物体动能的增量。

说明该式为过程公式，有相对性。（1）瞬时性；（2）相对性；

（3）机械运动的本领。源于外界对研究体做功，而有动能表明其有对外做功的本领及机械运动转化为其他形式运动的能力。是机械运动转化为其他形式运动的能力的量度。

例1—15质量为的质点从静止出发沿X轴正向运动，受力为，试求在头三秒内该力的功。解：

例1—16一根长度为的链条，放在摩擦系数为的桌面上，下长为，链从静止开时下滑，求其刚离开桌面时的速率。解：下落过程中，摩擦力为变力，表示为功为另一种解法：积分牛二律上式分离变量，积分可得结果。

例1—13如图，半径为的圆环固定在光滑的水平面上，一物体沿圆环内壁作圆周运动，物体与内壁之间的滑动摩擦为，时,速率为，求物体速率的表达式，水平面圆环解：在平面内物体受力图为牛二律的分量式为切向：法向：

二式联立，消去，在利用分离变量法可得结果（略）。则学习指导解：时刻，切向：法向：以速度的方向为切向的正方向。又切向式变为分离变量积分可得与法向式结合，可求张力的表达式。

例1—14如图所示，细绳栓一质量为的小球，在竖直平面内绕点以为半径做圆周运动。时，小球在最低点以初速度运动，求小球速率与位置的关系。

例1—15一力作用在质量为m=3Kg的质点上，质点沿X轴方向运动，运动方程为（SI）。试求该力在最初4秒内所作的功。解：由题意知，质点在力作用下沿X轴运动，所以力也必沿X轴方向运动，由运动方程可知质点作变加速运动，力为变力，功为变力做功。元功该力在4秒内所作的功为水平地面1重力的功重力势能

计算把物体由移动到过程中重力的功。元功则特点：(1)重力的功只决定于始末位置，与路径无关。第六节势能功能原理机械能守恒定律一保守力的功势能式中的为代数量，此处水平地面(2)沿闭合回路的功为零。或称为重力场中的环流定律。

具有上述条件的力为保守力，相应的场为保守力场。因此，重力是保守力，重力场为保守力场。如万有引力，静电力等皆为保守力。而摩擦力等为耗散力。重力势能与重力的功的关系

结论：重力的功等于重力势能增量的负值。与零势能面的选则无关，功值是绝对的。重力势能

（2）相对性，与零势能面的选择有关。选择不同的零势能面，势能间差一常数。（1）系统性；特点：或

（3）重力势能本质：为静态储能，为潜能.源于外力克服重力所做的功。物体有势能，则具有做功的本领，通过重力做功而释放，或实现机械能与其它能的转化。克服重力作功，重力势能增加鱼类省力不省功向上爬行

例1--18如图所示的单摆，用一水平力，在准静态过程中，把摆球从平衡位置拉到使摆线与铅直方向成角。求此过程中力的功。解：准静态过程，即为则在球运动中，变化，故为变力。解法一，按定义选坐标轴向右为正方向，解法二则功可为若选坐标轴向左为正方向，则功可为解法三解法四解法五零势能面2弹性力的功弹性势能光滑水平面平衡位置

弹性力变力

物体从到移动中弹性力的功功的特点同重力功，故弹性力也称保守力。

引入弹性势能劲度系数.

（4）弹性力的功与弹性势能的关系保守力的功等于势能增量的负值。形变量的平方正比。（1）弹性势能零点选在弹簧未伸长处；

弹性势能特点（2）弹性势能是形变能；

（3）弹性势能零点也可选在弹簧拉压变化的任何位置；只是形式稍复杂，要在上式中附加常数。3万有引力的功引力势能万有引力的大小

对作用力矢量式元功为什麽有一负号呢，原因是此情况下的是钝角，元功为负，而。引力势能万有引力的功的性质同重力功的性质，故万有引力也为保守力。万有引力的功与引力势能的关系引力势能零点选在无限远处。元功为什麽有一负号呢，原因是此情形下的是锐角，元功为正，但。而元功取方向为方向，而力总沿方向，故仅方向的力作功引力势能引力的功4几点说明ab

势能的物理本质

物体在某一位置时的势能为把该物体由势能零点移到该点过程中外力克服保守力所做的功。c势能是潜能。相互作用能。是系统的能量。它同样代表了物体作功的本领。d由势能求保守力空间坐标的函数。弹性势能弹性力引力势能万有引力例如

二功能原理机械能守恒律单一质点的动能定理把动能定理推广到质点系，该质点系中，第i个质点的动能定理为质点系的动能定理为则又而令体系的动能变化

机械能即功能原理的表达式。若则释义称体系的机械能守恒。

解：体系运动中，仅保守力作功，故机械能守恒。

例1—17如图示，一倔强系数为的轻弹簧一端固定；另一端系一质量为的物体，开始时，弹簧水平，且处于原长，物体静止。求：物体转到下方时的速率。零势能面运算过程及结果略。

例1—18如图，在一斜面的下部固定一弹簧，处于原长的状态。顶部有一木块，以初速为零滑下。设滑动摩擦系数为，求木块与弹簧作用后的升高的高度。解：在弹簧被压缩到最大压缩量的过程中，运用动能定理

或用功能原理，积分牛顿定律等解（略）。升高的高度三能量转化和守恒定律

物质的多种运动形式与自然界的能量形式：机，电，磁，光，声，核能等。机械能电磁能化学能核能能量与物质机械能电磁能化学能核能能量转化能源的利用，能源科学，和平利用与战争。地热能水势能

例1—19一根长度为的链条，放在摩擦系数为的桌面上，下垂长度为，链从静止开时下滑，求其刚离开桌面时的速率。解：利用功能原理零势能面利用积分牛顿定律1、对功的概念有以下几种说法，正确的是（）（1）保守力做正功时，系统内相应的势能增加（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反。所以两者所作功的代数和必为零2、如图所示，在光滑的水平地面上放着一辆小车，小车的左端放着一只箱子，现用同样的水平恒力拉箱子，使它由小车的左端到达右端，一次小车被固定在水平地面上，另一次小车没固定。以水平地面为参考系，下列结论正确的是（）（A）在两种情况下，做的功相等（B）在两种情况下，摩擦力对箱子的做功相等（C）在两种情况下，箱子获得的动能相等（D）在两种情况下，由于摩擦而产生的热相等地面

例1—18如图，在一斜面的下部固定一弹簧，处于原长的状态。顶部有一木块，以初速为零滑下。设滑动摩擦系数为，求木块与弹簧作用后的升高的高度。解：在弹簧被压缩到最大压缩量的过程中，运用动能定理

或用功能原理，积分牛顿定律等解（略）。升高的高度

研究力的时间累积及效果。第七节动量定理动量守恒定律一质点的动量定理水平面

温故：设一质点在合力（恒力)的作用下，沿直线从A运动到B。（恒力）设力的作用时间为故，大家已知道，据牛二律有

这是一新的物理规律，告诉我们，物体受合力的时间累积与动量的增量关系。平面

知新与发展：若合力为变力，作用在物体上，物体由运动到。由上式得，由牛二律时刻

物理含义：该式与上式的本质相同，依然是由牛二律得出的，只不过讲的是一个新的物理规律，在力作用在物体过程中，质点某瞬时所受合力（矢量）与该时刻附近的一无限小时间间隔的积与动量（矢量）微小的增量的关系。或讲的变化与力的时间累积相联系着。是一微分关系式，在作用一段时间内定义合力的冲量，是矢量；也是一种作用。具有矢量性，瞬时性，相对性等特征。动量的增量。质点的动量定理：质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量。的方向可以是沿或的方向，也可为其它的方向。动量：说明:1合力为恒力时2合力为变力时

分量式（若二维时）（代数式）3求平均力分量式4定理微分形式

反映了动量的增量，或微分，与合力的瞬时力方向同，动量的增量与联系着，尽管合力是变力，在微小时间内可视为恒力。该式为一时间过程方程。

在一些复杂作用过程中，力是随时间变化的，很难用牛二律求出瞬时力，但知过程中的初，末动量或动量的增量，及过程发生所用时间，可求平均作用力。5牛二律的又一形式与式的不同点在于,该式适合质量变化时的情形.

人体与方向盘间的的气袋以保证紧急刹车时的安全。为何系安全带的原因。力的冲量动物与人例1—20求斜抛物体从抛出到运动到最高点过程中力的冲量。设物体的初速度为，抛射角为，质量为。解：按公式方向水平，大小为其中矢量关系图为方向向下。为什么？大小另一种解法：知物体受力为恒力，故有大小方向与同。

例1—21如图所示，质量为的钢性小球速度为，与一速度为退行的硬墙壁进行完全弹性碰撞，则墙壁对小球的冲量为多少。墙对地球对地

解：以墙为参照系，取向右为正方向，球相对墙的动量，设墙的动量保持不变，碰撞前球的动量碰撞后球的动量则墙壁对小球的冲量墙对地球对地以地面为参照系，球向右为正方向，球的动量碰撞前碰撞后

可见，在二相对运动的惯性系内，被研究物体的速度，动量各异，然动量的变化及冲量相同，是因为所受合力与惯性系的选择无关。

例1—22力作用在质量为的物体上，求力在到间的速度的增量。解：动量的增量速度的增量另一种解法的思路为系统内力外力二质点系的动量定理物体系物体系物体系物体系物体系物体系（1）+（2），考虑到一对内力之和为零，即得（1）（2）对和分别运用质点动量定理推广到个质点组成的力学质点体系,则有即为所选的质点系内各质点的动量的矢量和。则系统的动量为

质点系的动量定理（积分式)：质点系所受合外力的冲量等于质点系动量的增量。点评1合外力改变系统的总动量。内力不影响系统的总动量，但影响系统内各个物体的动量。因而，内力实现了系统内质点间的动量交换和传递。2求平均力在时间过程内，系统的动量定理为式中为内的平均力。质点系的动量定理的微分形式或

因小，在时间内可视为恒力，平均作用力可视为时刻对体系的作用力。经验谈

下面会看到，上述的表述式有广泛的应用，是牛二律所不能代替的。在运用物体系的动量定理时，1要选好合适的物体系；2在运用微分式时，在时间内，力为时刻的瞬时平均合外力，而关键证确的表示出时刻体系的动量和体系的动量，用式求解问题。

解：直观理解与分析：传送带匀速运动，为何带还有拉力呢?这是因为，下落到带上的矿石在落到带上时，动量由竖直方向变到了水平方向，动量发生了变化，由动量定理知，水平方向的动量变化，必有力沿水平作用到落到带的矿砂上，此力由传送带提供。

例1—23如图示，下落到传送带上的质量为，求传送带的水平拉力。传送带

时刻，快要与带接触，在水平方向上的动量为1解法一选下落的一小部分矿砂研究。规定正方向向右。2解法二：取传送带上的质量和下落中的接近带的质量为一力学系统为研究对象。取向右为正方向，用质点系的动量定理微分式，体系的水平方向的动量为

在时刻落到带上，获得水平速度，水平方向的动量为

从直观理解，在水平方向获得动量增量,故必有水平方向的力作用在其上。据动量定理的微分形式，有显然,此力由传送带提供.如何求传送带在竖直方向受的冲击力？***

然而，该题用牛二律无法求得力，因无加速度。注意用牛二律和动量定理得区别。例1—24如图示，一初速度为零，质量为

的车在水平恒力的作用下在光滑的水平面上向右运动。矿沙以下落，求车的速度和加速度的表达式。按质点系的动量定理

解：设时刻车的质量为，接近车的矿沙为，以二者为力学系统，或研究对象，取向右为正方向，则水平方向的动量为其中由运动学得加速度的表达式能否用牛二律得加速度的表达式？速度的表达式

另一种解法：对车，沿水平方向运用微分形式的动量定理，有

注意：车的质量是随时间变化的，故必在括号内。积分上式，有得有同样得加速度的表达式。若使车保持匀速前进，求拉力。车在光滑的水平面上匀速运动,为何还需外力拉动？1、对功的概念有以下几种说法，正确的是（）（1）保守力做正功时，系统内相应的势能增加（2）质点运动经一闭合路径，保守力对质点做的功为零（3）作用力和反作用力大小相等、方向相反。所以两者所作功的代数和必为零2、如图所示，在光滑的水平地面上放着一辆小车，小车的左端放着一只箱子，现用同样的水平恒力拉箱子，使它由小车的左端到达右端，一次小车被固定在水平地面上，另一次小车没固定。以水平地面为参考系，下列结论正确的是（）（A）在两种情况下，做的功相等（B）在两种情况下，摩擦力对箱子的做功相等（C）在两种情况下，箱子获得的动能相等（D）在两种情况下，由于摩擦而产生的热相等地面1、一质点在外力作用下运动时，下述哪种说法正确（）（A）质点的动量改变时，质点的动能一定改变（B）质点的动能不变时，质点的动量也一定不变（C）外力的冲量为零，外力的功一定为零（D）外力的功为零时，外力的冲量一定为零2、关于机械能守恒条件和动量守恒条件有以下几种说法，正确的是（）（A）不受外力作用的系统，其动量和机械能必然同时守恒（B）所受合外力为零，内力都是保守力的系统，其机械能必然守恒（C）不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量和机械能必然同时守恒（D）外力对一个系统做功为零，则该系统的机械能和动量必然同时守恒

例1—25一长为质量为的的柔绳一端恰与桌面接触。由静止自由下落，求下落长时，绳对桌面的作用力。静止下落

解：直观理解和分析：落绳的过程中，桌面上的质量不断增加，与桌面间的作用力增加；同时，下落到桌面上的质量其动量由非零变为零，即动量变化，桌面对其有作用力，故落绳对桌面有一冲击力。应综合考虑。

如何求绳对桌面的冲击力，先考虑高中物理的一个问题：小球对桌面的作用力求法。平均作用力自由下落故球对桌面平均作用力为由动量定理得1解法一可采用类比法，仿落球问题，求一连续下落的绳子对桌面的作用力，正所谓“温故知新”。取一接近桌面的质元为研究对象（似球)。取向上为正方向。静止下落

当接近桌面时速度为，其动量

(靠近桌面瞬时)时刻动量（落到桌面后瞬时)时刻动量由动量定理,得则时刻已落到桌面上的部分对桌面的作用力为故得绳对桌面作用力的大小为该力的大小也为绳对桌的作用力大小.2解法二以桌面上的落绳和接近桌面的一质元为质点系，为研究对象。取向上为正方向。由本题从中得到的启示1高中物理与大学物理在处理问题时的共性，类比性。2大学物理处理问题的广延性。3大学高数处理大学物理问题的灵活性及普适性。4温故知新，重在知心求新和创新，创造性和研究性学习。所选物体系的动量为设桌面对所选体系的作用力为，则结果同上。3解法三对整条绳子运用动量定理的微分形式，取向上为正。

设时刻，空中部分的质量为，桌面上部分的质量为体系动量为在时刻，中的()质量落到桌面上体系动量变为由动量定理得略去4解法四取空中部分为研究对象，取向上正方向。体系动量由动量定理得略去而桌面上已有部分，故对桌面的作用力为解法五对整条绳运用动量定理（微分形式）

取向下为正方向，有式中为绳的质量，桌面对绳的作用力，为此瞬时空中部分绳的质量。静止下落则绳对桌的的作用力大小也为此力.经验谈物体系（质点系）动量定理释义1时刻体系的动量2时刻体系的动量质量增量以计，速度增量以计，为过程中的合外力。则最初由质点的牛二律得来，质量为恒量。由以上的题目可知，此式在变质量的体系内也可用。选好体系，分别列出例题点评

由本题的的多种解法给我们以启示：教无定法，学无定法。学者需慎思，善变，又要笃行，更要做到“山不让尘，川不辞盈”2分量式（在选定的坐标轴上写出分量式，为代数式）。3若体系所受合外力不为零，但在某一方向上的合力的分力零，则在该方向上的动量守恒。1矢量式。说明三动量守恒定律若则

4若内力远大于外力，可用动量守恒。5仅适合惯性系。6内力可实现动量的转移；内力可做功，故物体系的机械能不一定守恒。光滑水平面作用前作用后四碰撞几种典型的碰撞1完全非弹性碰撞结论：1动量守恒2机械能不守恒演示12完全弹性碰撞光滑水平面作用前作用后结论：1动量守恒2机械能守恒演示2光滑水平面