变力的功-张继福

复习一、功W=Flcosα(恒力)二、功的正负及物理意义三、总功（合力的功）的计算：总功等于各个力对物体所做功的代数和，也就是合力对物体所做的功。四、全程的功等于各个过程力对物体所做功的代数和如图，被绳吊着的球静止靠在光滑斜面上，现将斜面体向左稍推动的过程中（）A．绳的拉力对球不做功 B．斜面支持力对球做正功C．球的重力做负功 D．以上说法都不对ABC4．如图所示，在匀加速向左运动的车厢中，一人用力向前推车厢，若人与车厢始终保持相对静止，则下列结论正确的是(

)A．人对车厢做正功 B．人对车厢做负功C．人对车厢不做功 D．无法确定B如图所示，重物P放在粗糙的水平板OM上，将水平板绕O端缓慢抬高，在重物P没有滑动之前，下列说法中正确的是(

)A．P受到的支持力不做功B．P受到的支持力做正功C．P受到的摩擦力不做功D．P受到的摩擦力做负功小结1、物体在合外力作用下做变速运动，合力一定做功（）2、合外力对物体不做功，物体一定处于平衡状态（）3、滑动摩擦力、空气阻力等耗散力做功与路径有关（也有好像无关的）4、重力做功与路径无关5、曲线运动中某个力是否做功，（方法：取微元）看力与速度的夹角求解功的思路第一步:明确哪个力在那一过程中对哪个物体做功。（若A对B做功指A对B施加所有力的合力做的功)第二步：判断功是否为零。（看功的三要素)第三步:(1)看力是否是恒力？（变力按四种特殊情况求）

(2)位移是否是对地的?(转化物体为对地的位移）（3）看力与位移方向的夹角（千万别落了)课堂讨论1（做功正负的判断）在斜面上由静止开始下滑的物体（所有接触面都光滑）物体受到的各力是否做功？做正功还是做负功？SFNmg结论：1、重力对物体做正功2、支持力对物体做负功【例】质量为m的物块放在光滑的水平面上,绳的一端固定，在绳的另一端经动滑轮用与水平方向成α角、大小为F的力拉物块，如图示，将物块由A点拉至B点，前进S，求外力对物体所做的总功有多大？解一：注意W=FScosα中的S应是力的作用点的位移,当物体向右移动s时，力F的作用点既有水平位移S，又有沿绳向的位移S，合位移为S合，S合=2Scosα/2W=FS合cosα/2=FS(1+cosα)解二：外力对物体所做的总功等效于水平绳和斜绳上的两个力做功的代数和∴W=FS+FScosα=FS（1+cosα)FαABsFαAssS合FFα5、如下图所示，物体的质量为m=2kg,滑轮的质量和阻力不计，今用一竖直向上的力F=12N向上拉，使物体匀速上升h=4m的高度，则在此过程中拉力所做的功是多少？

(取g=10m/s2)要点：l为F的作用点发生的位移方法二：等效法12问题：卫星绕地球从1位置到2位置地球对其引力做功吗...12做负功拓展：曲线运动，功的正负判断※看引力与速度方向的夹角v0v0m课堂讨论2:滑动摩擦力一定做负功吗?MSMSmMv0m滑动摩擦力f对m做负功

W1=-fSm滑动摩擦力f对Ｍ做正功

W2=fSM滑动摩擦力对滑块做负功滑动摩擦力对桌不做功结论：滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。FAB课堂讨论3:静摩擦力一定不做功吗?A和B相对静止,一起加速运动静摩擦力对A做负功W=-fS静摩擦力对Ｂ做正功Ｗ＝fS结论：静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。课堂讨论4:作用力和反作用力做功一定是大小相等吗?SNSN结论：作用力和反作用力做功，其大小不一定相等，正负也不一定相反情景一：如图所示情景二：控制其中一小车不动情景三：？

结论1：一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能为零。结论2：一对静摩擦力做的总功为零;一对滑动摩擦力做的总功为负.9.小木块置于旋转的水平转台上，随转台一起匀速转动，小木块受到的摩擦力对木块做————功。f0若小木块随转台一起加速转动而没有相对滑动，则小木块受到的摩擦力对木块做————功。正2.滑动摩擦力做功的特点：(1）滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。(2)一对滑动摩擦力的总功等于-fΔS式中ΔS指物体间的相对路程(3）滑动摩擦力、空气摩擦阻力等，在曲线运动或往返运动时等于力和路程（不是位移）的乘积。滑动摩擦力一定做负功吗?课堂讨论2这些力做功与路径有关!!!重力做功与路径无关，只取决于始末位置的高度第二节功第二课时变力的功【例】如图，一根绳子绕过高4m的滑轮（大小、摩擦均不计），绳的一端拴一质量为10kg的物体，另一侧沿竖直方向的绳被人拉住．若人拉住绳子前进3m，使物体匀速上升，则人拉绳所做的功为（）A．500J

B．300J

C．100J

D．50JC方法一：转换法变力做功适用力的大小不变找到特殊点【练】1、如图所示，一人用竖直向下的恒力F作用在绳子的一端C，通过绳子和定滑轮将一质量为m的静止的物体在水平地面上由A拉到B，移动距离s。图上绳子与水平方向的夹角α和β都是已知的。求绳对物体做的功。2、如图，在高为h=2m的平台上，一个人用F=80N的水平恒力作用于绳子的一端，绳子经过光滑的定滑轮将地上的物体由位置A拉至B位置。不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦。求绳的拉力对物体所做的功。FmhABα1=300

α2=370。【例】如图所示,某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上,力F的大小保持不变,但方向始终保持与作用点的切线方向一致,则转动一周这个力F做的总功应为：

A、0

B、20πJ

C、10J

D、20J.变力做功方法二：微元法力的大小不变且力的方向始终与运动方向相同或相反.结论:功等于力与路程的乘积.B每一小段，就可利用公式W=Flcosα计算功。再把所有的功都加起来，就是变力整个过程所做的功。每小段都足够小直线经过时间足够短恒力（微积分初步思想）12F....1234运动过程无限分小后，可认为每小段是恒力做功。【练】1、在水平面上,有一弯曲的槽道AB,槽道由半径分别为R/2和R的两个半圆构成,如图所示.现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点,若拉力F的方向始终与小球运动方向一致,则此过程中拉力所做的功为（）

A.零 B.FRC.3πFR/2 D.2πFRABRFR/2C推论：大小不变，方向改变，但方向时刻跟速度方向在同一直线上，如动摩擦力，空气阻力等，方法是分段考虑，然后求和。在曲线运动或往返运动时，这类力的功等于力和路程（不是位移）的乘积。练习：以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为H，空气阻力大小恒为F，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球所做的功？【例】一辆汽车质量为105kg，从静止开始行驶，行驶过程中所受阻力f为车重的0.05倍，发动机产生的牵引力F的大小与前进的距离x之间有如下关系F=103x+f。求当该车前进100m时，牵引力所做的功是多少？（g取10m/s2）答：1.0×107J方法三：平均力法适用力的方向不变力的大小满足Ｆ＝ｋｓ＋ｂ的形式可用平均力替代这个变力。功等于力的平均值和位移的乘积应用此法,要求变力与位移间须呈一次函数关系.【练】

1、用质量为5kg的均匀铁索从10m深的井中吊起一质量为20kg的物体，在这个过程中至少要做多少功？（g取10ｍ／S2

）【练】2、如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。1116【练】3、某人从井口匀速提水，水面距井口10m，水和桶共重200N，提桶的绳子长10m，重20N，求提上一桶水人做多少功？

【练】4、有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图5所示，人至少做多少功？【练】

5、一质量为m的重物放在地面上，用一根劲度系数为K的轻弹簧连接它，现用力F拉弹簧的上端使其缓慢上移，最后重物上升了高度h求：F力做功Fm【练】6、挂在竖直墙上的画长1.8m,画面质量为100g,下面画轴质量为200g,今将它沿墙缓慢卷起，g=10m/s2.需做_________J的功.【练】7、一个人从10m深的井中，用一质量为1kg的桶盛装10kg的水匀速地往上提，（绳子重力不计），由于水桶不断地漏水，每升高1m漏水0.2kg，则把这桶水提上来需要做多少功？答案：1000J图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于对物体做的功Ｗ＝Ｆｓ，s轴上方的面积表示对物体做的正功，S轴下方的面积表示力对物体做负功（如图4（b）所示）。即使力的大小与位移大小不成线性函数关系，只要能画出F-x图或已知F-x图，就可以通过画格子，数格子的方法算面积，从而算出变力做的功。方法四：图像法适用力的方向不变

在F与x共线的前提下，即使F的方向由与x的方向一致变成相反，也可以这样来计算。若已知力对时间的函数关系，因为此时的F-t图与横轴围成的面积意义不再是变力做的功，而是变力的冲量，所以这种情况下不能用这种方法计算变力做的功。静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动（如图2甲所示），拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x0的过程中拉力F做的功为（）例题分析Fxx0OFmxFOx0图2－甲图2乙A0BCD答案：C【练】1、用铁锤将一铁钉击入木块,设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一次时,能把铁钉击入木块内深度为d.问击第二次时,能击入多少深度?(设铁锤每次做功相等)Δx=x2-x1=0.41cm应用此法,关键一是正确画出力随位移变化的图象,再是正确理解图象“面积”的物理意义.【练】2、如图所示,图线表示作用在做直线运动的物体上的合外力与物体运动位移的对应关系,物体开始时处于静止状态,则当物体在外力的作用下,运动30m的过程中,合外力对物体做的功为

J.S/mF/N48102030200【练】3、跳水运动员从高于水面H=10m的跳台自由落下，假设运动员的质量m=60kg，其体形可等效为长度L=1.0m、直径d=0.30m的圆柱体，不计空气的阻力。运动员入水后，水的等效阻力f作用于圆柱体的下端面，f的量值随入水深度y变化的函数曲线如图。该曲线可近似看作椭圆的一部分，椭圆的长、短半轴分别与坐标轴Oy和Of重合。椭圆与y轴相交于y=h处，与f轴相交于f=5mg/2处，为了确保运动员的安全，试计算池中水的深度h至少应该为多少？(水的密度ρ=1.0x103kg/m3，椭圆的面积公式s=πab/4其中a、b分别为椭圆的长轴、短轴)【练】4、放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态.现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1=0.2m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2=0.4m的位移，其F-x图象如图所示，求上述过程中拉力所做的功.【练】

5、某物体同时受到F1、F2两个力的作用,F1、F2跟位移x的关系如图所示,物体从静止开始运动,求物体合外力功的最大值.【解析】由题图可知,力F1、F2都是变力,且前5m位移中,F1＞F2,物体做加速运动,所以x=5m时物体动能最大,设为Ekm,由动能定理得:Ekm-0=W1+W2.其中W1为力F1做的功,数值等于F1图线跟坐标轴及x=5m所围面积,即W2为F2做的功,数值等于F2图线跟坐标轴及x=5m所围面积,即所以Wm=37.5J-12.5J=25J.答案:25J二、应用平均功率求变力做功例题5.正执行巡逻任务的我海军舰艇“猎鹰”号,突然接到命令:前往某海域拦截一走私渔船,该舰艇接到命令后,立即调转船头加速前进.经过5min前进了6km,提前到达目的地.若在这段时间内舰艇发动机的功率恒为10MW,舰艇所受的阻力恒为5kN.则在这段时间内舰艇牵引力做的功是多少?分析与解:在这段时间内,由P=FV知牵引力是变力,但由题意又知牵引力的功率恒定,所以可根据W=Pt来计算牵引力的功:W=Pt=10×106×5×60=3×109J当变具有功率恒定特点时,可选用平均功率法求解.练习:一列火车由机车牵引沿水平轨道行使,经过时间t,其速度由0增大到v.已知列车总质量为M,机车功率P保持不变，列车所受阻力f为恒力.求:这段时间内列车通过的路程.分析解答:以列车为研究对象,列车水平方向受牵引力和阻力.设列车通过路程为s.据动能定理三、用动能定理求变力做功

例题6.某人用力将质量为m的小球,在高度为H处抛出,已知当小球刚要落地时的速度为V,则该人在抛球过程中对小球做的功为多少?分析与解:人抛球时对球的作用力是变力,且不具备应用以上方法的特点,但我们可应用动能定理利用球动能的变化求出此功.在整个过程中,人及球的重力对球做功,根据动能定理得:W+mgH=mv2/2解得:W=mV2/2-mgH练习:如图所示,AB为1/4圆弧轨道,半径为0.8m,BC是水平轨道,长L=3m,BC处的摩擦系数为1/15,今有质量m=1kg的物体,自A点从静止起下滑到C点刚好停止.求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功.分析与解:物体在从A滑到C的过程中,有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功,根据动能定理可知:W外=0,

所以mgR-umgL-WAB=0即WAB=mgR-umgL=6(J)例5.如图所示，质量为m的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以的速度开始下滑，到达B点时的速度变为，求物体从A运动到B的过程中，摩擦力所做的功是多少？3、如图，质量为m的小车以恒定的速率v沿半径为R的竖直圆环轨道运动。已知摩擦因数μ。试求小车从轨道最低点到最高点过程中摩擦力做的功。△s1VR△s2θθ3.如图示，板长为L，板的B端放有质量为m的小物体，物体与板的动摩擦因素为μ，开始时板水平，若缓慢转过一个小角度α的过程中，物体与板保持相对静止，则这个过程中（）A.摩擦力对P做功为μmgLcosα(1-cosα)B.摩擦力对P做功为mgLsinα(1-cosα)C.弹力对P做功为mgLcosαsinαD.板对P做功为mgLsinαPBAPLαDmgfN3、如图所示,质量为2kg的木块套在光滑的竖直杆上,用60N的恒力F通过轻绳拉木块,木块在A点的速度vA=3m/s,则木块运动到B点的速度vB是多少?(木块可视为质点,g取10m/s2)答案一学生用100Ｎ的力将质量为0.5kg的球迅速踢出，在水平路面上滚动20m远,则该学生对球做的功是()A.2000JB.1000JC.16JD.无法确定下一问D答案一学生用100Ｎ的力将质量为0.5kg的球迅速踢出，在水平路面上滚动20m远,则该学生对球做的功是()A.2000JB.1000JC.16JD.无法确定若踢球获得的速度为10m/s，则学生做功？下一题下一问D25J例题7.如图所示，质量为的m物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的K倍，它与转轴相距R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块开始在转台上滑动，在物块由静止到开始滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为多少？

例题分析四、用机械能守恒定律求变力做功

例题7.如图所示,质量m=2kg的物体,从光滑斜面的顶端A点以V0=5m/s的初速度滑下,在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零,已知从A到B的竖直高度h=5m,求弹簧的弹力对物体所做的功.分析与解:由于斜面光滑故机械能守恒,但弹簧的弹力是变力,弹力对物体做负功,弹簧的弹性势能增加,且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等.取B所在水平面为零参考面,弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点,则状态A:EA=mgh+mV02/2对状态B:EB=－W弹簧+0由机械能守恒定律得:W弹簧=－(mgh+mv02/2)=－125(J)。五、用功能原理求变力做功

例题8.两个底面积都是S的圆筒,放在同一水平面上,桶内装水,水面高度分别为h1和h2,如图所示,已知水的密度为ρ.现把连接两桶的阀门打开,最后两桶水面高度相等,则这过程中重力所做的功等于

.h1h2分析与解:由于水是不可压缩的,把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过程中,利用等效法把左管高以上部分的水等效地移至右管,如图中的斜线所示.最后用功能关系,重力所做的功等于重力势能的减少量,选用AB所在的平面为零重力势能平面,则画斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为:所以重力做的功h1h2AB练习:如图所示,在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球,杆可绕无摩擦的轴O转动,使杆从水平位置无初速释放摆下.求当杆转到竖直位置时,轻杆对A、B两球分别做了多少功?OABVAVB分析与解:设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为VA和VB.如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象,那么由于杆和小球的相互作用力做功总和等于零,故系统机械能守恒.若取B的最低点为零重力势能参考平面,可得:又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同,故VB＝2VA

由以上二式得：

根据功能关系可解出杆对A、B做的功.对于A有对于B有

1.如图所示,跨过定滑轮的轻绳两端的物体A和B的质量分别为M和m,物体A在水平面上.A由静止释放,当B沿竖直方向下落h时,测得A沿水平面运动的速度为V,这时细绳与水平面的夹角为θ,试求B下降h的过程中,地面对A的摩擦力做的功为多少?(滑轮质量和摩擦力不计)hBAθV答案:W=mgh-gv2cos2θ(M+m)/22.如图所示,一劲度系数为800N/m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为12kg的物体A和B,竖直静止在水平地面上.现要在物体A上加一竖直向上的拉力F,使A开始向上做匀加速运动,经0.4sB刚要离开地面设整个过程弹簧都处于弹性限度内