电磁场与微波技术04(时变)

3.在导电媒质1(

)中有电流密度50A/m2，方向与界面的法线方向成。如果媒质2的电导率为10S/m、相对介电常数为4，求媒质2中的电流密度、以及交界面上的电荷密度。1.求图示同轴电缆单位长度电容。

2.对地电压为U、半径为a的长直传输线距离地面的高度为h。证明传输线周围的等位线为一组偏心圆。4.图示同轴电缆，内、外导体均为薄铜箔，导体间为理想介质。求单位长度电缆中存储的电磁场能量。22第4章时变电磁场4.1全电流定律4.2法拉第定律4.3麦克斯维方程组4.4时谐电磁场4.5时变场的能量4.6时变场的波动性4.7时变场的位函数4.8电磁波的辐射4.1全电流定律33交变电路用安培环路定律

作闭合曲线l与导线交链，根据安培环路定律经过S1面经过S2面4.1全电流定律4全电流定律

全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。麦克斯韦由此预言电磁波的。其中，-位移电流密度(DisplacementCurrentDensity)微分形式积分形式4.1全电流定律55位移电流密度位移电流例已知平板电容器的面积为S,相距为d,介质的介电常数，极板间电压为u(t)。试求位移电流Id、传导电流iC与iD

的关系是什么?电场解忽略极板的边缘效应和感应电场4.1全电流定律66例在无源的自由空间中，已知磁场强度求位移电流密度Jd。解无源的自由空间中J=0,可得4.2法拉第定律77

麦克斯韦假设，变化的磁场在其周围激发着一种电场，该电场对电荷有作用力（产生感应电流），称之为感应电场（ElectricFieldofInduction)。感应电动势与感应电场的关系为在静止媒质中

感应电场是非保守场，电力线呈闭合曲线，变化的磁场是产生的涡旋源。4.2法拉第定律88变化的磁场产生感应电场

若空间同时存在库仑电场,即则有变化的磁场产生电场

引起与闭合回路铰链的磁通发生变化的原因可以是磁感应强度B随时间的变化，也可以是闭合回路l自身的运动(大小、形状、位置的变化)。即4.2法拉第定律99(3)运动线圈，时变磁场iabcv4.3麦克斯维方程组1010综上所述,电磁场基本方程组

(Maxwell方程)为全电流定律电磁感应定律磁通连续性原理高斯定律(1)麦克斯维方程组4.3麦克斯维方程组1111

•

全电流定律-麦克斯韦第一方程,

表明传导电流和变化的电场都能产生磁场；•

电磁感应定律-麦克斯韦第二方程,表明电荷和变化的磁场都能产生电场；•

磁通连续性原理-表明磁场是无源场,磁力线总是闭合曲线；

•

高斯定律-表明电荷以发散的方式产生电场(变化的磁场以涡旋的形式产生电场)。•

麦克斯韦第一、二方程是独立方程，后面两个方程可以从中推得。•

静态场和恒定场是时变场的两种特殊形式。(2)物理意义4.3麦克斯维方程组1212例已知在无源的自由空间中，其中E0、β为常数，求H。解所谓无源，就是所研究区域内没有场源电流和电荷，即J=0,ρ=0。4.3麦克斯维方程组1313由上式可以写出1414例在无源的自由空间中，已知磁场强度求由此激发的电场。解无源的自由空间中J=0,可得4.3麦克斯维方程组15154.3麦克斯维方程组4.3麦克斯维方程组1616(3)分界面上的边界条件

时变电磁场中媒质分界面上的边界条件的推导方式与静态场类同，即电场磁场折射定律4.3麦克斯维方程组1717例试推导时变场中导理想导体与理想介质分界面上的边界条件。

•

在理想导体内部没有电磁场，即E=0，B=0；为此

媒质分界面•

分界面介质侧的边界条件为电磁波的全反射解理想导体中为有限值，当4.4时谐电磁场1818

时谐电磁场即正弦电磁场的复数形式与正弦稳态电路中的相量法类同，后者有三要素：振幅(标量，常数)、频率和相位。前者也有三要素：振幅（矢量、空间坐标的函数）,频率和相位。(1)时谐场的复数形式4.4时谐电磁场1919(2)时谐场基本方程组的复数形式4.4时谐电磁场2020例平板电容器如图所示，当两极板间加正弦工频交流电压u(t)时，试分析电容器中的电场和磁场。两圆电极的平板电容器解忽略边缘效应及感应电场,则电场满足无旋性质，可表示为根据全电流定律，由位移电流产生的磁场为4.4时谐电磁场2121例N匝长直螺线管，通有正弦交流电流。试分析螺线管储存的电场和磁场。长直螺线管解忽略边缘效应及位移电流，则时变磁场可用恒定磁场的方法计算。从安培环路定律，得从电磁感应定律，得4.4时谐电磁场2222例计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0sinωt，铜的电导率σ=5.8×107S/m,ε≈ε0。解铜中的传导电流密度和位移电流密度大小为则比值为23e±jx=cosx±jsinxsinx=(ejx-e-jx)/(2j)，cosx=(ejx+e-jx)/2欧拉公式24求下列各场量的相量表达式。25求下列各复场量的瞬时值表达式。4.5时变场的能量2626

•

电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律-坡印亭定理；•

坡印亭矢量是描述电磁场能量流动的物理量。(1)能量密度在时变场中，电、磁能量相互依存，总能量密度为体积V内存储的电磁场能量4.5时变场的能量2727取体积分，得(2)坡印亭定理设体积微元储存的能量随时间的变化率为利用矢量恒等式则4.5时变场的能量2828(2)坡印亭矢量和坡印亭定理整理得坡印亭定理物理意义：体积V内电源提供的功率，减去电阻消耗的热功率，减去电磁能量的增加率，等于穿出闭合面S的电磁功率。4.5时变场的能量2929在恒定场中，场量是动态平衡下的恒定量，能量守恒定律为恒定场中的坡印亭定理(3)坡印亭矢量

定义坡印亭矢量（PoyntingVector）W/m2

表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，即功率流密度，S的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。3030例用坡印亭矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设电缆为理想导体，内外半径分别为a和b。解理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。电场强度磁场强度3131•

穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。•

电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为坡印亭矢量3232

以导体表面为闭合面，则导体吸收的功率为例导线半径为a，长为，电导率为，试用坡印亭矢量计算导线损耗的能量。电场强度磁场强度导体内解3333表明，导体电阻所消耗的能量是由外部传递的。电源提供的能量一部分用于导线损耗另一部分传递给负载4.5时变场的能量3434(4)坡印亭定理的复数形式在正弦电磁场中，坡印亭矢量的瞬时形式为平均功率流密度4.5时变场的能量3535(4)坡印亭定理的复数形式同理其实部为平均功率流密度，虚部为无功功率流密度。定义坡印亭矢量的复数形式4.5时变场的能量3636(4)坡印亭定理的复数形式取散度，展开为取体积分，利用高斯散度定理，并将代入体积分项，有4.5时变场的能量3737(4)坡印亭定理的复数形式若体积V内无电源，闭合面S内吸收的功率为有功功率无功功率此项可用于求解电磁场问题的等效电路参数38例两无限大理想导体平板相距d,在平行板间存在时谐电磁场,其电场强度为(1)求磁场强度H(t);(2)求坡印廷矢量S(t)及平均功率流密度;(3)求导体表面的面电流分布。解(1)由,得39394040(2)4141(3)x=0板：x=d板：421在位于x=0、x=a的导电板限定的区域中的电场强度表达式为，(1)求磁场强度H(t);(2)求导体表面的面电流分布。2在位于x=0、x=a，以及y=0、y=b的无限长导电板限定的区域中的电场强度表达式为，(1)求区域中的位移电流密度和磁场强度;(2)计算穿过该区域任一横截面的平均功率。课堂练习4.6时变场的波动性43434.6.1波动方程4.6.2波动性4.6时变场的波动性44444.6.1波动方程·

媒质均匀,线性,各向同性。讨论前提：·

远离激励源；

从电磁场基本方程组推导电磁波动方程1）4.6时变场的波动性45454.6.1波动方程2）1）4.6时变场的波动性46464.6.1波动方程3）电磁场波动方程-达郎贝尔方程理想介质中4.6时变场的波动性47474.6.1波动方程在直角坐标系中4.6时变场的波动性48484.6.1波动方程3）电磁场波动方程-达郎贝尔方程对于时谐场理想介质中设4.6时变场的波动性49494.6.2波动性1)达郎贝尔方程的解对于达郎贝尔方程其解为4.6时变场的波动性50504.6.2波动性2)传播速度真空中波速4.6时变场的波动性51514.6.2波动性3)时谐场例一维时谐场，设，则解得4.7时变场的位函数52524.7.1标量位和矢量位4.7.2位函数的方程4.7.3位函数的解4.7时变场的位函数5353仍从电磁场基本方程组出发,-称为动态位（potentialofKineticState）。4.7.1标量位和矢量位由由4.7时变场的位函数54544.7.2位函数的方程由由4.7时变场的位函数5555经整理后，得洛仑兹条件（规范）定义A的散度4.7.2位函数的方程4.7时变场的位函数5656洛仑兹条件（规范）为非齐次波动方程达朗贝尔方程4.7.2位函数的方程4.7时变场的位函数57572)若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程•

洛仑兹条件是电流连续性原理的体现。1）洛仑兹条件（LuolunciCondition)的重要意义•

确定了的值，与共同唯一确定A；说明4.7.2位函数的方程4.7时变场的位函数58584.7.3位函数的解以位于坐标原点时变点电荷为例式中具有速度的量纲，f1，f2

是具有二阶连续偏导数的任意函数。（除q点外）球坐标系4.7时变场的位函数59594.7.3位函数的解的物理意义f1

在时间内经过距离后不变,说明它是以有限速度

v

向

r

方向传播，称之为入射波。有信号从r→r+Δr当时间从t→t+Δt，4.7时变场的位函数60604.7.3位函数的解当点电荷不随时间发生变化时，波动方程为，在无限大均匀媒质中,其特解为由此，时变点电荷的动态标量位为连续分布电荷产生的标量位可利用迭加原理获得无反射4.7时变场的位函数61614.7.3位函数的解无反射若激励源是时变电流源时，可得到A的表达式无反射当场源不随时间变化时，蜕变为恒定磁场中的磁矢位。4.7时变场的位函数62624.7.3位函数的解波的入射、反射与透射4.7时变场的位函数63634.7.3位函数的解•

达朗贝尔方程解的形式表明t时刻的响应取决于时刻激励源的情况。故又称A、φ为滞后位（RetardedPotential）。•

电磁波是以有限速度传播的，称为波速4.7时变场的位函数6464•

它具有速度的量纲；且通解中的经过后得以保持不变，必有自变量不变，即4.7.3位函数的解•

电磁波在真空中的波速与光速相等。光也是一种电磁波。表明：

f1是一个以速度v沿

r方向前进的波。4.8电磁波的辐射6565•

电磁波从波源出发，以有限速度在媒质中向四面八方传播，一部分电磁波能量脱离波源而单独在空间波动，不再返回波源，这种现象称为辐射。

•

辐射是有方向性的，在给定的方向产生指定的场。

•

辐射过程是能量的传播过程，要考虑天线发射和接收信号能力。

•

研究辐射的方向性和能量传播的前提是掌握辐射电磁场的特性。•

辐射的波源是天线、天线阵。发射天线和接收天线是互易的。天线的几何形状、尺寸是多样的，单元偶极子天线（电偶极子天线和磁偶极子天线）是天线的基本单元，也是最简单的天线。4.8电磁波的辐射6666以平行板电容器和长直载流螺线管为例可知

即增加电容器极板间距d，缩小极板面积S，减少线圈数n，就可达到上述目的，具体方式如图所示。

从LC电路的振荡频率

式可知，要提高振荡频率、开放电路，就必须降低电路中的电容值和电感值。4.8.1电流元4.8电磁波的辐射6767开放的LC电路就是天线！当有电荷（或电流）在天线中振荡时，就激发出变化的电磁场在空中传播。

当电流元或电偶极子p=qd

以简谐方式振荡时向外辐射电磁波。4.8.2电流元辐射的电磁场4.8电磁波的辐射6868设天线几何尺寸远小于电磁波波长，天线上不计推迟效应；研究场点远离天线；正弦电磁波。4.8.3电流元辐射的电磁场远离天线P点的动态位为4.8电磁波的辐射6969在球坐标系中，的三个变量4.8.3电流元辐射的电磁场4.8电磁波的辐射70704.8.3电流元辐射的电磁场根据式中忽略的低次项，得（1）近区4.8电磁波的辐射71714.8.3电流元辐射的电磁场特点：•

无推迟效应；

•

电场与静电场中电偶极子的场相同，磁场与恒定磁场中元电流的场相同，因此有结论：任一时刻，电、磁场的分布规律分别与静态场中电、磁场相同，称之为似稳场。

•

近区内电场与磁场相位差为90°，只有电磁能量交换，没有波的传播（辐射）。4.8电磁波的辐射72724.8.3电流元辐射的电磁场（