计算流体力学第7章 粘性流动数值计算

第七章网格设计GridDesign网格是流场计算的基础Itisthebasisofcalculatingflowfield7-1几何方法构筑叶栅通道网格Geometrymethodtoconstructgrids两种方法：TwoMethods:1.物理空间构筑曲线网格，变换到计算空间的正交网格，计算在正交网格中进行。Toconstructcurvemeshesinphysicspace，thentransfertoorthogonalgridtocomputeincomputationalspace2.直接在物理平面内构筑网格并求解，此方法比较容易变化网格密度以适应参数梯度。Directlyconstructgridsinphysicplaneandsolvetheequationsinphysicplane，thismethodmakesiteasytochangedensityofgrids.网格边界分别平行于求解域边界或与边界相适应。Thegridboundaryparalleltotheboundaryofflowfield.通道内X方向间隔相等∆X=constKeepconstantgridgapinsidechannel通道进口前Infrontofchannel通道出口后BehindthechannelY方向网格间距常数（Euler方程计算）ThegridgapsinYdirectionkeptconstant几何关系如下Geometryrelationship按指数规律伸展∆X∆Xchangesinpowerlaw变换关系导数Transformderivatives变换后的方程Transferredequation变换后在平面内的控制方程为Theequationintransformedplane二.局部加密的叶栅通道网格Themeshincascadetunnelwithlocalrefining翼型或叶栅头部附近加密Refiningatleadingedgeofairfoilandcascade叶栅通道出现激波时，在激波位置加密Refiningwhenshockappearsincascadechannel壁面附近边界层Refininginboundarylayerofthewall例：example通道内X方向均匀UniformgridsinXdirectionofcascadetunnel通道前与第一个网格宽度,其余采用Keepthewidthoffirstmeshassameasthatofinchannelmeshonothersgrids

i=2，3，4,I下游类似Thesamewayusedfordown-streammeshesY方向网格划分Gridsinydirection

即y方向按指数规律变化为ACG边（下）

为上边界

Thatispowerlawusedinydirection

一般要求第一个间隔<0.015，可调节J数来保证Thefirstgridgapis0.015,itcanbeensurebyadjustingthetotalnumberofgridJ在计算平面内，各个相邻网格点的间距

incomputationalplane,thegridgapisusedequal§7-2几何方法构造c形网格ConstructionofC-Typemeshusinggeometricmethod

对外流问题（如NACA-0012翼型绕流）通常可构筑C形网格

Foroutflowquestion,usuallyconstructctypegridsyLx将前缘至后缘流向划分50个点，按2次曲线（抛物线分布）Discretechordwiseinto50points,using2ndparaboliccurve将坐标向左平移0.00125，则NACA-0012的翼向y坐标Movingcoordinates0.00125in–direction,thentheycoordinatescanbedeterminedby用两组抛物线构筑c型网格Construct

themeshusingtwoserialofparaboliccurves§7-3保角变化法

Conformaltransformation一、基本概念basicconcept（一）在(x,y)平面内两族网线若存在

on(x,y)plane,theserialcarvesasfollows则两族网正交

thenthetwocurvesareorthorgal(二)：用复数代表(x,y)平面

Definethe(x,y)planewithacomplexvariety两族曲线用复函数表示为

twocurvescanbedenoteswithacomplexfunction(三)正交坐标系称为Theorthogonalitycoordinateexpressedas两平面的关系therelationshipbetweentwocoordinatescanbeexpressedas在平面内两线族inplanethecurvesare彼此关系可写成

Therelationshipbetweenphysicalplaneandcomputationalplaneisfollows在z平面和平面内，点与点相互对应inphysicplanezandcomputationalplanethepointsrespondseachother两平面内的正交曲线相互对应theorthorgalcurvesintwoplanesarecorresponding相应的交点也相互对应theintersectpointsarecorresponding二：保角变换方法生成网格

Gridgenerationwithconformaltransformation(isogonality)一、例一:复平面内正交直线族

Ex1,theorthogonalitycurvesincomplexdomain代表与坐标轴平行的正交网格的两个函数

Twofunctiondenotethegridsparallelwithcoordinates另一复平面，两平面之间的关系

Incomplexdomain,therelationshipbetweentwodomainsare

两平面间的网格族是Thegridsintwodomainsare双曲线Hyperboliccurves双曲线Hyperboliccurves取0，0.1，0.2，0.3……，1.0时对应的网格Whereisspecifiedas0，0.1，0.2，0.3……，1.0,thegridsare（二）例二：复平面内正交线族的函数

Ex2,orthogoralcurvesincomplexplane变换关系：Transformationrelationship网格线族为

Thegridsare取0，0.1，0.2，0.3……，1.0时对应的网格线如下图Whenaregivenas0，0.1，0.2，0.3…thegridsin(x,y)andplaneisfollow

利用保角变换可以生成任意封闭曲体外部的网格Thegridsaroundanarbitraryclosebody通常用于变换的方程可以写成Therelationusedforconformaltransformationcanbewrittenas

7-4生成网格的微分方程

Thepartialdifferentialequationmethodformeshgeneration适/贴体网格生成可以用一个微分方程边值问题实现

BodyfittedgridscanbegainedusingthesolutionofapartialdifferenceEQTTM方法（Thompson,ThamesandMartin）方法:利用求解微分方程方法生成空间区域网格的方法

TTMmethodisthemethodtogenerategridsusingPDE

要求requirements边界形状已知，可以正确描述

Boundaryasknown,canbedescribed,correct

网格密度可调，有伸展性（可变网格密度）thedensityofgridscanbeadjustedandextended附面层：尺度为~Boundarylayer:size分离流：尺度为弦长CSeparatedflow:sizeC尾迹区：尺度为，弦长CWakeflow:sizeC无粘区（势流）：尺度为

Inviscousflow:size正交性：可以减少差分方程所依赖的网格点数

Orthorgality:maydecreasedependentgridofFDE保形性：物理平面与计算平面方程相同

Conformality:theEQinphysicplaneandcomputationalplaaresame(一)TTM方法建立物理平面与计算平面的关系TTMmethodisusedtofoundtherelationshipbetweenphysicplaneandcomputationalplane可用微分方程表示上述变换Thetransformationcanbeexpressedasfollow正确表述外边界Definetheboundarycorrectly在计算平面内，为了差分方程简便，一般用等间隔网格TobeconvenientforFD，thegridsincomputationaldomainisequalgap在平面内构造正交网格，再在平面内生成相应的点坐标，即求逆变换方程的解Normally,constructtheorthogonalgridsinplanefirst,andthencreatethecorrespondingpointsinplane,thatistofindtheinversetransformation变换关系

导数关系：导数关系：且有andthen同理可得

canbeobtainedinthesameway最后可得逆变换方程Finallytheinversetransformationequationobtained求解此方程组可得离散表达形式Tosolveaboveequationandobtaintransformationrelationshipindiscretedform在平面代表和代表和Inplane,denotelineand在平面对应点,边界点给出后就可以得到内点上的各点正交性和保形性（采用Laplace变换）Orthogonalityandconfor由坐标变换关系可知Fromcoordinatetransformation采用Laplace变换，则UsingLaplacetransformation,then反变换为inversetransformationis没有混合导数项，具有保形性和正交性Nomixderivativesexisted采用正交，保形变换后，全速势方程的形式不变

Usingorthogonal,conformaltransformation,thefullypotentialequationunchanged.拉普拉斯和泊松方程的变换关系式Laplacevs.poissontransformation拉普拉斯变换Laplacetransformation

Laplace变换是单值变换，变换前后的点一一对应

TheLaplacetransformationisauniquevaluetransformation物理平面是单连域，则计算平面也是Thesingleconnectedfieldphysicalplaneisstillasingleconnectedfieldincomputationalplane例：机翼（翼型）

Wingasanexample极值原理：参变量的极大、极小值必定在边界上

Extremumprinciple:Themaximumandminimumisonboudary(a,b)ba02134＞（二）泊松方程

poissonequation

可以控制网格密度thegriddensitycanbecontrolled

解为Thesolutionis

uu10xP=0均匀uniform0xP=2>0向下加密densedtolowersurface0xuP=-2<0向上加密densedtoupsurface用于网格生成的poisson方程

Poissonequationusingformeshgeneration反变换方程

Theinversetransformation

P（ξ，η）和Q（ξ，η）可以调整网格密度

P（ξ，η）andQ（ξ，η）mayadjustthegriddensity其中表示要求网格向点靠拢，是调整量。n，m表示要向靠拢的网格数量

Wheredenotesthegridswillapproachto，areadjustparameters.

n，mdenotesthenumbergridstobeclosedtopoint.另一种网格加密办法是由Thomas和Middlecoff

提出的OthermethodforrefininggridsisgainedbyThomasandMiddlecoff

7-5代数法和混合法一、代数法采用几何剖分方法，利用代数运算生成计算区域网格，无需求解微分方程。等比网格：等差网格：指数网格：二、混合法先利用方法生成一个方向（平面内的代数网格），再利用TTM方法生成另一个方向（平面）内的网格，最后将所生成的网格联接成一个整体网格对收扩喷管：横截面用TTM方法，而轴向横截面用代数法。7-6动网格设计非定