去分母去括号

3.3解一元一次方程（二）化简下列各式：（1）3a＋2b＋（6a－4b）（2）（－3a＋2b）＋3（a－b）（3）－5a＋4b－（－3a＋b）9a－2b－b－2a＋3b想一想去括号时符号变化规律．去括号法则

1．括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．2．括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．知识回顾解这个方程：3x＋5（138－x）=5403x＋690－5x＝5403x－5x＝540－690－2x＝－150x＝75解：去括号移项合并同类项系数化为1去括号法则

问题：王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用了1700元，种西红柿每亩用了1800元．问两蔬菜各种了多少亩？分析：设王大伯共种了x亩茄子，则他种西红柿__________亩．种茄子每亩用了1700元．那么种茄子一共用去了________元；种西红柿每亩用了1800元，则他种西红柿共用去了______________元．根据王大伯种这两种蔬菜共用去了44000元，可列方程（25－x）1700x1800（25－x）1700x＋1800（25－x）＝44000．怎样解这个方程？1700x＋1800（25－x）＝44000．x＝10－100x＝－10001700x＋45000－1800x＝440001700x－1800x＝44000－45000去括号移项合并同类项系数化为1去括号是解方程时常用的变形．解：由上可知，种茄子10亩．所以种西红柿：25－10＝15（亩）．答：种茄子10亩，种西红柿15亩．

例1解方程

（1）x＋5（2x－1）=3－2（－x－5）解：去括号，得x＋10x－5＝3＋2x＋10移项，得x＋10x－2x＝3＋10＋5合并同类项，得9x＝18系数化为1,得x＝2．（2）4x－3（15－x）＝6x－7（11－x）解：去括号，得4x－45＋3x＝6x－77＋7x移项，得4x＋3x－6x－7x＝－77＋45合并同类项，得－6x＝－32系数化成1，得讨论：解一元一次方程的步骤是什么？（1）去括号（2）移项（3）合并同类项（4）系数化成１（1）3x－5（x－3）=9－（x+4）（2）6x＝－2（3x－5）＋10（3）－2（x＋5）=3（x－5）－6解下列方程．x＝10x＝14练一练

1．某校准备将2000元奖金全部发给20名三好生，其中市级三好生每人得奖金200元，校级三好生每人得奖金50元，请问全校市级三好生、校级三好生各有多少人？解：高全校市级三好生x人，列方程200x＋50（20－x）＝2000解，得x＝5．所以校级三好生：20－x＝15（人）答：市级三好生5人；校级三好生15人．练一练

2．一个笼中装有鸡、兔若干只，从上面看，共有21个头；从下面看，共有66只脚，问鸡、兔各有多少只．解：设鸡x只，列方程2x＋4（21-x）＝66解，得x＝9所以兔的个数为：21－x＝12（只）答：笼中有鸡9只，兔12只．

（3）李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗;三遇店和花，喝光壶中酒，试问酒壶中原有多少酒?斗：古代的一个计量单位；1斗=10升．解：设：设酒壶中原有x斗酒．第一次遇店：第一次遇花：第二次遇店：第二次遇花：第三次遇店：第三次遇花：2x2x－1＝2x－12（2x－1）＝4x－24x－2－1＝4x－32（4x－3）＝8x－68x－6－1＝8x－7列方程，得8x－7＝0解，得x＝0.875答：酒壶中原有0.875斗酒．

例2：一艘轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水行驶需要5小时，水流的速度是2千米/时，求轮船在静水中的行驶速度．分析：已知两个码头之间的距离相等所以：顺流速度×顺流时间＝逆流速度×逆流时间去括号，得4x＋8＝5x－10移项及合并同类项，得－x＝－18系数化为1，得x＝18．答：船在静水中的行驶速度为18千米/时．解：设轮船在静水中的行驶速度为x千米/时，则顺流速度为（x＋2）千米/时，逆流速度为（x－2）千米/时．可列方程4×（x＋2）＝5×（x－2）

常用的关系式

顺流时的速度=静水中的速度+水流的速度逆流时的速度=静水中的速度-水流的速度归纳

（1）一艘轮船从一码头逆流而上，再顺流而下．如果轮船在静水中的速度为每小时15千米，水流速度为每小时3千米，那么这艘轮船最多开出多远然后返回才能保证在7．5小时内回到原码头？解：设这艘轮船开出x小时后多返回，才能保证在7.5小时内回到原码头．列方程（15－3）x＝（15＋3）×（7.5－x）解，得：x＝4.5即轮船开出后：（15－3）x＝54（千米）后，返回才能保证在7.5小时内回到原码头．练一练

（2）甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步．甲的速度是360米/分，乙的速度是240米/分．1.两人同时同地同向跑，多长时间两人第一次相遇，此时两人一共跑了几圈？2.两人同时同地反向跑，几秒后两人第一次相遇？3.两人同时同向跑，甲先跑30秒，问还要多长时间两人第一次相遇？4.两人同时同向跑，乙先跑30秒，问还要多长时间两人第一次相遇？54011秒26秒

（3）一小船由A港到B港顺流行驶航行需6h，由B港到A港逆流航行需要8h，一天,小船从早晨6时由A港出发顺流到达B港时，发现救生圈在途中掉落了水中，立即返回,1h后找到救生圈．

1.若小船按水流速度由A港漂流到B港,需要多长时间?2.救生圈是在什么时候掉入水中的?48小时11时

例3：（1）某工厂计划用26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时不但完成了任务，而且比原计划多生产了60件，问原计划生产多少件零件？分析：原计划生产x件零件，所以计划每小时生产零件数×26＝实际每小时生产零件数×24－60．解：设原计划每小时生产x件零件，列方程

24x×（x+5）－60＝26x去括号，得

24x+120-60＝26x移项及合并同类项，得

2x＝60系数化成1,得

x＝30

所以原计划26×30＝780（件）答：原计划生产780件零件．

（2）一个服装车间，共有90人，每人每小时加工1件衣服或2条裤子，问怎样安排工作才能使衣服和裤子正好配套？（一件衣服配一条裤子）分析：为了使每天生产的衣服和裤子正好配套，应使生产的衣服和裤子数量相等．解：设做衣服人数为x人，则做裤子的人数为（90－x）人．列方程x=2（90－x）去括号，得x＝180－2x

移项及合并同类项，得3x＝180系数化为1,得x＝60．所以做裤子的人数为：60－x＝20（人）．答：做衣服人的人数为40人，做裤子的人为20人．

（1）某车间每天能生产甲种零件100个，或者乙种零件100个．甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套．要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？解：设生产甲种零件x天，列方程：2×100x＝3×100（30－x）解，得：x＝18则生产乙种零件的天数为：30－x＝12（天）答：应安排生产甲种零件18天，乙种零件12天．练一练

（2）某水利工地派40人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？解：设每天派x人挖土，列方程5x＝3（40－x）解，得x＝15所以每天运土人数为:40－x＝25（人）答：每天派15人挖土，25人运土，正好能使挖出的土及时运走．

（3）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底45个一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？解：设x张白铁皮做盒身,列方程2×16x＝45×（100－x）解，得x＝60则做盒底的铁皮为：100－x＝40（张）答：用60张白铁皮做盒身，40张白铁皮做盒底．

目前初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引人了未知数，建立方程，对未知数加以运算．而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学家一“代数学之父”丢番图．

丢番图是希腊数学家，他的13卷巨著《算术》在代数符号、数论、代数方程解法等方面均有重要贡献，其不定方程理论对后世产生了巨大影响，以至后人把整系数不定方程称为“丢番图方程”．关于丢番图的生平，我们仅能从其墓志铭中略知梗概，这篇墓志铭本身就是一个有趣的数学问题，因为被4世纪数学家麦特劳德尔收入一部数学问题集中，得以流传至今：丢番图的生平读一读

这是一座石墓，里面安葬着丢番图．请你告诉我，丢番图寿数几何？他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年．再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭．五年之后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲一半的年龄．晚年丧子老人真可怜，悲痛之中渡过风烛残年．请你告诉我，丢番图寿数几何？

解：设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程怎样使这个方程转化为x=a的形式？

请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？

分析：

为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？各分母的最小公倍数84.去分母（方程两边同乘各分母的最小分倍数）移项系数化为1答：丢番图去世时的年龄为84岁．合并同类项14x＋7x＋12x＋420＋42x＋336＝84x14x＋7x＋12x＋42x－84x＝－420－336－21x＝－756x＝84．解：

这件珍贵的文物是纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有3700多年的历史了，在文书中记载了许多有关数学的问题．

问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．解：设这个数为x，可得方程：

为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？各分母的最小公倍数42．解：去分母，得28x＋21x＋6x＋42x＝1386．合并同类项，得97x＝1386．系数化为1，得归纳去分母时须注意

1.确定各分母的最小公倍数；2.不要漏乘没有分母的项；3.去掉分母后，若分子是多项式，要加括号，视多项式为一整体．

解有分数系数的一元一次方程的步骤：1．去分母；2．去括号；3．移项；4．合并同类项；5．系数化为1．主要依据：等式的性质和运算律等．归纳以上步骤是不是一定要顺序进行，缺一不可？

（1）碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞来一只小灰雁，它对群雁说：“你们好，百只雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我是孤雁独飞．”群雁中一只领头的老雁说：“不对！小朋友，我们远远不足100只．将我们这一群加倍，再加上半群，又加上四分之一群，最后还得请你也凑上，那才一共是100只呢，请问这群大雁有多少只？解：设这群大雁有x只，列方程解方程，得x＝36提示：练一练

（2）火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求火车的长度．解：设火车长度为x米，列方程解，得x＝160答：火车的长度为160米．例4：解方程解：去分母（方程两边同乘12），得3（x－1）－4（2x＋5）＝－3×12去括号，得3x－3－8x－20＝－36移项，得3x－8x＝－36＋3＋20合并同类项，得－5x＝－13系数化为1,得解：去分母（方程两边同乘12），得4（－x＋4）－12x＋5×12＝4（x－3）－3（x－1）去括号，得－4x－16－12x＋60＝4x－12－3x＋3移项，得－4x－12x－4x＋3x＝－12＋3＋16－60合并同类项，得－17x＝－53系数化为1,得解：去分母（两边同乘12），得8（x－6）＝3（－2x－3）－2去括号，得8x－48＝－6x－9－2移项，得8x＋6x＝－9－2＋48合并同类项，得14x＝37系数化为1,得解下列方程：练一练

例5：（1）一件工作，甲单独做25小时完成，乙单独做12小时完成．那么两人合作多少小时完成？分析：本题是一个典型的工程类应用题．甲单独做20小时完成的工作量+乙单独做12小时完成的工作量=完成的工作总量1解：设两人合作x小时完成此工作，可列方程

答：两人合作6小时完成．

去分母，得4x＋6x＝60合并同类项，得x＝6

（2）一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做12小时完成．甲先单独做6小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成？

分析：把总工作量看作是1．设还要x小时才能完成工作．甲的工作总量＋乙的工作总量＝总工作量1．答：两人合作还要4小时完成．解：设两人合作还需x小时完成此工作，列方程去分母，得4x＋24＋5x＝60移项及合并同类项，得9x＝36系数化为1,得x＝4

（3）一件工作，甲单独做15小时完成，甲、乙合做6小时完成．甲先单独做6小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？分析：把总工作量看作是1．设乙还要x小时才能完成工作．甲的工作总量＋乙的工作总量＝总工作量1．答：乙还要6小时完成．解：设乙还需x小时完成此工作，依题意可得：去分母，得24＋（10－4）x＝60去括号，得24＋6x＝60移项，得6x＝36系数化为1,得x＝6工程问题

1．工作量、工作时间、工作效率；2．这三个基本量的关系是：

工作量=工作时间×工作效率工作效率=工作量÷工作时间工作时间=工作量÷工作效率

3．工作总量通常看作单位“1”归纳

小明预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷．在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站，便随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达火车站．已知公共汽车的平均速度