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山西省忻州市驻下鹿角村中学2022年高二数学文联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.曲线在点P(1,1)处的切线方程是(
)A. B.C. D.参考答案:B【分析】先求得函数在处的导数,也即切线的斜率,由此求得切线方程.【详解】依题意,当时,,即切线的斜率为,故切线方程为,即,故选B.【点睛】本小题主要考查函数的导数的求法,考查函数在某点处切线方程的求法,考查直线方程点斜式和一般式,属于基础题.2.已知圆C的方程为,为定点,过A的两条弦互相垂直,记四边形面积的最大值与最小值分别为,则是(
)A.200 B.100 C.64 D.36参考答案:B3.已知不同的直线m,n,l,不重合的平面,则下列命题正确的是
A.m//,n∥,则m∥n
B.m//,m//,则//
C.m⊥,n⊥,则m∥n
D.m⊥,m⊥,则//参考答案:D4.如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值为()A. B. C.4 D.参考答案:B【考点】简单线性规划.【分析】化目标函数为直线方程的斜截式,结合使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,可知直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合,由斜率相等求得a值.【解答】解:如图,化目标函数z=ax+y(a>0)为y=﹣ax+z,要使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合,即﹣a=,∴a=.故选:B.5.已知函数的定义域为M,集合,则M∩N=(
)A.[0,2) B.(0,2) C.[1,2) D.(1,2]参考答案:D,解得,即,,所以,故选D.6.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为的正方形,俯视图是一个直径为的圆,那么这个几何体的全面积为(*).A. B. C. D.参考答案:A略7.函数f(x)=2xlog2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)参考答案:C【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求导f′(x)=2x﹣2﹣a,注意到其在(1,2)上是增函数,故可得f′(1)f′(2)<0,从而解得.【解答】解:∵f′(x)=2x﹣2﹣a在(1,2)上是增函数,∴若使函数f(x)=2xlog2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间(1,2)内,则f′(1)f′(2)<0,即(﹣a)(3﹣a)<0,解得,0<a<3,故选C.8.在等差数列{an}中,若a2+2a6+a10=120,则a3+a9等于()A.30 B.40 C.60 D.80参考答案:C【考点】等差数列的性质.【分析】由等差数列的性质可得a2+2a6+a10=4a6,从而可求a6,而a3+a9=2a6代入可求【解答】解:由等差数列的性质可得a2+2a6+a10=4a6=120,∴a6=30∵a3+a9=2a6=60故选C9.曲线与曲线的(
)A.实轴长相等
B.虚轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等参考答案:D10.已知的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足:,若实数满足:,则的值为(
)A.3
B.
C.2
D.8参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.要使不等式对于的任意值都成立,则的取值范围是________参考答案:12.某算法的程序框图如图3所示,则输出量y与输入量x满足的关系式是____________.参考答案:13.已知双曲线=1(a>b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的离心率为.参考答案:【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求出双曲线的右顶点A(a,0),拋物线x2=2py(p>0)的焦点及准线方程,根据已知条件得出①及=2c②,求出a=b,即可得双曲线的离心率.【解答】解:∵右顶点为A,∴A(a,0),∵F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点,∴F(0,),∵|FA|=c,∴①抛物线的准线方程为y=﹣,代入双曲线的方程得x=±,∴=2c②,由①②,得=2c,即c2=2a2,∵c2=a2+b2,∴a=b,∴双曲线的离心率为.故答案为:.【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键.14.已知都是正实数,函数的图象过点,则的最小值是
.
参考答案:略15.已知点P在曲线上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是__________.参考答案:.∵,∴.∵ex>0,∴,当且仅当,即x=0时等号成立.∴y′∈[?1,0),∴tanα∈[?1,0).又α∈[0,π),∴α∈.16.已知复数z满足,则等于______.参考答案:【分析】先求出复数z,再求|z|.【详解】由题得.故答案为:【点睛】(1)本题主要考查复数的计算和复数的模的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)复数的模.17.在各棱长都等于1的正四面体中,若点P满足,则的最小值为_____________.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.把“五进制”数转化为“十进制”数,再把它转化为“八进制”数。参考答案:
19.已知(1)求f(x)的单调区间;(2)当时,是否存在实数m,使得成立,若存在求出m,若不存在说明理由.参考答案:(1)当时,在上单调递增;当时,在上单调递减;在上单调递增;(2)【分析】(1)分别在和两种情况下判断的正负,根据导函数与函数单调性的关系可得到单调性;(2)令,,只需即可;分成和两种情况来进行讨论;当时,可证得当时,,当时存在的情况;当时,可证得当时,,当时存在的情况,从而可求得.【详解】(1)由题意知:①当时,,则在上单调递增②当时,令,解得:当时,;当时,在上单调递减;在上单调递增综上所述:当时,在上单调递增;当时,在上单调递减;在上单调递增(2)当时,则等价于:设,则令则,,①当时,
单调递增即⑴当时,,此时
单调递减
单调递增,即
在上单调递减此时恒成立⑵当时,,若,则
单调递增
单调递减
即
在上单调递增
此时,不满足题意若,则
,使得当时,,此时单调递增即当时,,单调递减
即
在上单调递增
此时,不满足题意②当时,
单调递增⑴当时,
单调递增
单调递增,即
在上单调递增,此时恒成立⑵当时,,,使得当时,,此时单调递减即当时,,单调递减
即
在上单调递减
此时,不满足题意当时,;当时,存在实数,使得成立,则:【点睛】本题考查导数在函数问题中的综合应用问题,涉及到讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解.解决本题中的恒成立问题,采用构造函数的方式,根据可将问题转化为函数单调性的确定问题,计算量和难度较大,对学生分析问题的能力要求较高,属于难题.20.已知函数.(1)求函数的定义域并判断奇偶性;(2)若,求实数m的取值范围.参考答案:(1)见解析;(2)或.【分析】(1)由,求得x的范围,可得函数y=f(x)定义域,由函数y=f(x)的定义域关于原点对称,且满足f(﹣x)=f(x),可得函数y=f(x)为偶函数;(2)化简函数f(x)的解析式为所,结合函数的单调性可得,不等式等价于,由此求得m的范围.【详解】(1)由得,所以的定义域为,又因为,所以偶函数.(2)因为所以是[0,3)上减函数,又是偶函数.故解得或.【点睛】本题主要考查求函数的定义域,函数的奇偶性的判断,复合函数的单调性,属于中档题.21.设椭圆的焦点在轴上(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上。
(1)
参考答案:(Ⅰ)因为焦距为1,所以,解得,故椭圆E的方程为。(Ⅱ)设,其中,由题设知,则直线的斜率,直线的斜率,故直线的方程为,当时,即点的坐标为,因此直线的斜率为,由于,所以化简得将上式代入椭圆E的方程,由于在第一象限,解得,即点在直线上。
略22.(本小题满分14分)
已知椭圆C:的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆上一点,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足(O为坐标原点),求实数的取值范围.参考答案:(1)由题意:以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为,∴圆心到直线的距离∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,代入*式得b=c=1∴
故所求椭圆方程为
5分
(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设将直线方程代入椭圆方程得:…………6分∴∴
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