山西省忻州市深沟联校2023年高三数学文上学期期末试题含解析

山西省忻州市深沟联校2023年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义域是一切实数的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“—半随函数”.有下列关于“—半随函数”的结论：①是常数函数中唯一一个“—半随函数”；②“—半随函数”至少有一个零点；③是一个“—半随函数”；其中正确结论的个数是（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．0个参考答案：A2.若函数f（x）=的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的定义域为R，将条件转化为x2+ax+1≥0恒成立，利用判别式之间的关系即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=的定义域为实数集R，则x2+ax+1≥0恒成立，即△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，即实数a的取值范围是[﹣2，2]，故选：D．3.“”是“”的

（

）

A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既非充分也非必要条件参考答案：B4.不等式<1的解集是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B．(1，＋∞)

C．(－∞，－1)

D．(－1,1)参考答案：A∵<1，∴－1<0，即<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，∴x<－1或x>1.5.设函数，其中表示不超过的最大整数，如，，.若直线与函数的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：如图，作出函数的图象和直线，直线过定点，由题意，解得．故选D．考点：函数与方程．【名师点睛】本题考查函数与方程思想，考查方程解的个数问题，解决这类问题大多数是把它转化为函数图象交点个数问题，利用数形结合思想求解，本题中，作出函数与直线，特别是直线过定点，由此易知它们要有三个交点，直线的位置变化规律，易得出结论．6.如图，在三棱锥D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，E是DC的中点，则AC与BE所成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AB中点O，以O为原点，过O作BC的平行线为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与BE所成角的余弦值．【解答】解：取AB中点O，连结OD，∵在三棱锥D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，∴OD⊥平面ABC，以O为原点，过O作BC的平行线为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，设DA=AB=DB=BC=2，又E是DC的中点，∴A（0，﹣1，0），C（2，1，0），B（0，1，0），D（0，0，），E（1，，），=（2，2，0），=（1，﹣，），设AC与BE所成角为θ，则cosθ===．∴AC与BE所成角的余弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．7.已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A．N?M

B．M∪N＝MC．M∩N＝N

D．M∩N＝{2}参考答案：D8.若在的展开式中含有常数项，则正整数取得最小值时常数项为A.

B.

C.

D.参考答案：C9.函数f（x）=4lnx﹣x2的大致图象是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】先求导，从而可求得函数f（x）=4lnx﹣x2的单调区间与极值，问题即可解决．【解答】解：∵f（x）=4lnx﹣x2，其定义域为（0，+∞）∴f′（x）=﹣2x=由f′（x）＞0得，0＜x＜；f′（x）＜0得，x＞；∴f（x）=4lnx﹣x2，在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；∴x=时，f（x）取到极大值．又f（）=2（ln2﹣1）＜0，∴函数f（x）=4lnx﹣x2的图象在x轴下方，可排除A，C，D．故选：B．【点评】本题考查函数的图象，是以考查函数的图象为载体考查导数及其应用，注重考查学生分析转化解决问题的能力，属于基础题．10.老师给出问题：“设函数f（x）的定义域是（0，1），且满足：①对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；②对于任意的x1，x2∈（0，1），恒有≤2．请同学们对函数f（x）进行研究”．经观察，同学们提出以下几个猜想：甲同学说：f（x）在上递减，在上递增；乙同学说：f（x）在上递增，在上递减；丙同学说：f（x）的图象关于直线x=对称；丁同学说：f（x）肯定是常函数．你认为他们的猜想中正确的猜想个数有(

)A．3个 B．2个 C．1个 D．0个参考答案：C【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用赋值法，结合基本不等式的性质进行判断即可．【解答】解：令x1=1﹣x2，则不等式≤2等价为+≤2，由①知对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；则+≥2=2，故+=2当且仅当==1即f（x2）=f（1﹣x2）时成立．此时函数f（x）关于x=对称，故丙猜想正确．其他不一定正确，故选：C．【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合基本不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是

参考答案：1812.若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于．参考答案：5【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】二项式项的公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值【解答】解：由题意的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr令=0，得n=，当r=4时，n取到最小值5故答案为：5．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值．13.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则（?UA）∩B=．参考答案：{1，3，7}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，∴?UA={1，3，6，7}，又B={1，3，5，7}，∴（?UA）∩B={1，3，5，7}．故答案为：{1，3，7}14.如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.参考答案：15.函数f(x)＝sinx+sin(+x)的最大值是

.

参考答案：【解析】由.答案：16.（几何证明选做题）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，BE=1，BF=2，若CE与圆相切，则线段CE的长为

。参考答案：略17.设的内角所对的边为；则下列命题正确的是

①若；则

②若；则

③若；则

④若；则

⑤若；则参考答案：①②③①

②

③当时，与矛盾

④取满足得：

⑤取满足得：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图直三棱柱的侧棱长为，，且，点分别是棱上的动点，且．(1)求证：无论在何处，总有；(2)当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）∵BB′C′C是正方形，∴B′C⊥BC′。又∵AB⊥BC，BB′⊥AB，∴AB⊥平面BB′C′C。∴B′C⊥AB，∴B′C⊥平面ABC′，又∵C′E平面ABC′，∴B′C⊥C′E。（Ⅱ）设三棱锥B′—EBF的体积为。当时取等号。故当即点E，F分别是棱AB，BC上的中点时，体积最大，则|cos∠A′FE|为所求；。略19.已知两定点F1（﹣2，0），F2（2，0），曲线C上的动点M满足|MF1|+|MF2|=8，直线MF2与曲线C的另一个交点为P．（Ⅰ）求曲线C的标准方程；（Ⅱ）设点N（﹣4，0），若=3：2，求直线MN的方程．参考答案：见解析【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意知|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=8＞4，所以曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆．由此可知曲线C的方程；（Ⅱ）设M（xM，yM），P（xP，yP），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．由，得（3+4k2）y2﹣24ky=0，由此利用韦达定理、椭圆性质，结合已知条件能fiybm直线MN的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵F1（﹣2，0），F2（2，0），∴|F1F2|=4，∵|MF1|+|MF2|=8＞4，∴曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆．曲线C的方程为+=1．（Ⅱ）由题意知直线MN不垂直于x轴，也不与x轴重合或平行．设M（xM，yM），P（xP，yP），直线MN方程为y=k（x+4），其中k≠0．由，得（3+4k2）y2﹣24ky=0．解得y=0或y=．依题意，xM=yM﹣4=．因为S△MNF2：S△PNF2=3：2，所以=，则=．于是，所以，因为点P在椭圆上，所以3（）2+4（）=48．整理得48k4+8k2﹣21=0，解得或k2=﹣（舍去），从而k=．（）所以直线MN的方程为y=（x+4）．20.设二次函数满足条件：①；②函数的图像与直线相切．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）由①可知，二次函数图像对称轴方程是，；又因为函数的图像与直线相切，所以方程组有且只有一解，即方程有两个相等的实根，所以，函数的解析式是．（Ⅱ），等价于，即不等式在时恒成立，…………6分问题等价于一次函数在时恒成立，即解得：或，故所求实数的取值范围是略21.已知是奇函数.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若关于的方程有实解,求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）由得：…………2分为奇函数，经验证可知：时，是奇函数，为所求…………5分（Ⅱ）…………8分法一：由得：

当且仅当时，所以的取值范围是…………12分法二：原方程即设，则原方程有实解，等价于方程有正实解…………6分令则或或

…………10分或或所以的取值范围是…………12分22.如图，某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．（1）若围墙AP、AQ总长度为200米，如何可使得三角形地块APQ面积最大？（2）已知竹篱笆长为50米，AP段围墙高1米，AQ段围墙高2米，造价均为每平方米100元，若AP≥AQ，求围墙总造价的取值范围．参考答案：【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）设AP=x米，则AQ=200﹣x，△APQ的面积S=x（200﹣x）sin120°，利用基本不等式，可得结论；（2）围墙总造价y=100（AP+2AQ）=10000（sin∠AQP+2sin∠APQ）=10000cos∠AQP，即可得出结论．【解答】解：（1）设AP=x（米），则AQ=200﹣x，所以三角形地块AP