山西省忻州市原平知源高级中学2021年高三数学文月考试卷含解析

山西省忻州市原平知源高级中学2021年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量（单位：m3）的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15m3的住户的户数为（）A．10B．50C．60D．140参考答案：C考点：茎叶图．专题：计算题．分析：由题意及所给样本的频率分布直方图，可知：用水量在[15，20）的频率，用水量在[20，25）的频率，再利用分层抽样的定义即可求解．解答：解：由图可知，用水量在[15，20）的频率是0.05×5=0.25，故应在用水量在[15，20）中抽取200×0.25=50人；用水量在[20，25）的频率是0.01×5=0.05，故应在用水量在[20，25）中抽取200×0.05=10人；则小区内用水量超过15m3的住户的户数为60．故选C；点评：此题考查了学生识图及计算能力，还考查了分层抽样及频率分布直方图，是一道基础题；2.已知函数若关于的方程有且只有两个不同的实根，则实数的取值范围为 （A） （B）（C） （D）参考答案：A略3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.已知函数的定义域为,则函数的定义域为(

)A

B

C

D参考答案：D5.已知向量，其中，且，则向量与的夹角是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：【知识点】向量的定义F1B，，即，，，所以，故选B.【思路点拨】，，即，即可求.6.已知△中，以为直径的圆交于，则的长为（）A．B．C．D．

参考答案：D略7.函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A

B

C

D参考答案：D略8.若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A，B)与（B，A）可看作一个“姊妹点对”).已知函数f(x)=，则f(x)的“姊妹点对”有（

）个A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B9.已知偶函数在区间上递增，则满足的取值范围是()

参考答案：A略10.已知椭圆，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.掷均匀硬币5次，则总共掷出3次正面且在整个投掷过程中掷出反面的次数总是小于正面次数的概率是

．参考答案：略12.参考答案：1或略13.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．参考答案：60【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．【解答】解：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．故答案为60．14.已知向量且

则的最小值为

参考答案：6;15.若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示（单位cm），则它的侧视图的面积为

;参考答案：略16.已知，，则_____________.参考答案：略17.已知定义域为R的函数满足，且，

则=

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l2：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB的面积S的最大值．（其中O为坐标原点）．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得，得c值，由离心率可得a值，再由b2=a2﹣c2可得b值；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程得到：（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用韦达定理及中点坐标公式可得AB中点横坐标，代入l2得纵坐标，由中点在直线l1上可求得k值，用点到直线的距离公式求得原点O到AB的距离为d，弦长公式求得|AB|，由三角形面积公式可表示出S△OAB，变形后用不等式即可求得其最大值；【解答】解：（Ⅰ）由右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为，得，解得c=1，又e=，所以a=2，b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程得到：（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，因此，，所以AB中点M（，），又M在直线l1上，得3×+=0，因为m≠0，所以k=1，故，，所以|AB|==?=，原点O到AB的距离为d=，得到S=≤，当且仅当m2=取到等号，检验△＞0成立．所以△OAB的面积S的最大值为．19.已知函数，数列满足

（I）求证：数列是等差数列；

（II）令，若对一切成立，求最小正整数.

参考答案：（1）证明：由题意可得

又数列是以为首项，以为公差的等差数列.（2）由（1）可得

当时，

当时，上式同样成立。

即对一切成立，

又随递增，且

20.在△ABC中，，，△ABC的面积等于，且．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．参考答案：（Ⅰ）1；（Ⅱ）.【分析】（I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得的值.（II）利用正弦定理求得的的值，利用二倍角公式求得的值.【详解】解：（Ⅰ）由已知得整理得解得或因为，所以．（Ⅱ）由正弦定理，即．所以【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.21.选修4—4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系.在直角坐标系下，曲线的参数方程为（为参数），把曲线上所有点的横坐标压缩到原来的（纵坐标不变）得到曲线．(1)写出直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；(2)若点是 曲线上任意一点，求点到直线的最大值．参考答案：.解（1）将直线的极坐标方程为化为直角坐标方程为；将曲线的参数方程为（为参数）化为普通方程为，把曲线上所有点的横坐标压缩到原来的（纵坐标不变）得到曲线：（2）将：参数方程为（为参数）因为点是曲线上任意一点，故设所以到直线的距离（其中）故当=1时，取得最大值，最大值为

略22.(本小题