山西省忻州市五寨县孙家坪乡中学2022年高二数学理模拟试题含解析

山西省忻州市五寨县孙家坪乡中学2022年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某市高三数学调研考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为90，那么90～100分数段的人数为（

）A．630

B．720

C．810

D．900

参考答案：C略2.已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是

（

）A． B． C． D．参考答案：A略3.x=0是x（2x﹣1）=0的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；方程思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由x（2x﹣1）=0得x=0或x=，则x=0是x（2x﹣1）=0的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．4.当变化时，直线和圆的位置关系是（

）相交

相切

相离

不确定参考答案：A略5.若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（

）A. B.1 C.2 D.参考答案：A【分析】作出不等式的可行域，的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数，由图象知的斜率最大，由得，所以，此时.故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：的几何意义为可行域内的点到直线的距离的倍的几何意义为可行域内的点到点的距离的平方。几何意义为可行域内的点到点的直线的斜率.6.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.68，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.544 B．0.68 C．0.8 D．0.85参考答案：D【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率是p，则0.8p=0.68，解得p=0.85．故选：D．7.函数的最大值是(

)A.1

B. C. D.参考答案：C略8.已知为锐角，且，则A．

B．

C．

D．参考答案：C9.定积分（

）A．ln2－1

B．ln2

C．

D．参考答案：B由题意结合微积分基本定理有：.本题选择B选项.

10.命题“存在R，0”的否定是（

）.

A.不存在R,>0

B.存在R,0

C.对任意的R,0

D.对任意的R,>0参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为

．参考答案：x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0【考点】直线的截距式方程．【专题】计算题．【分析】分直线的截距不为0和为0两种情况，用待定系数法求直线方程即可．【解答】解：若直线的截距不为0，可设为，把P（2，3）代入，得，，a=5，直线方程为x+y﹣5=0若直线的截距为0，可设为y=kx，把P（2，3）代入，得3=2k，k=，直线方程为3x﹣2y=0∴所求直线方程为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0故答案为x+y﹣5=0，或3x﹣2y=0【点评】本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．12.关于图中的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列说法正确的有：

．①P点在线段BD上运动，棱锥P﹣AB1D1体积不变；②P点在线段BD上运动，直线AP与平面A1B1C1D1平行；③一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形；④一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形；⑤平面α截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长先增大，后减小．参考答案：①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．【解答】解：①中，BD∥B1D1，B1D1?平面AB1D1，BD?平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1，又P∈BD，∴棱锥P﹣AB1D1体积不变是正确的，故①正确；②中，P点在线段BD上运动，∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，直线AP?平面ABCD，∴直线AP与平面A1B1C1D1平行，故②正确；③中，一个平面α截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形，故③正确；④中，一个平面α截此正方体，如果截面是四边形，则可能是平行四边形，或梯形，故④错误；⑤中，截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长不变，故⑤错误．故答案为：①②③．13.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO=120°（O为坐标原点），AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定抛物线的焦点坐标，准线方程，求出直线AF的方程，进而可求点A的坐标，由此可求△AKF的面积【解答】解：由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1∵∠AFO=120°（O为坐标原点），∴∴直线AF的方程为：代入抛物线方程可得：3（x﹣1）2=4x∴3x2﹣10x+3=0∴x=3或∵∠AFO=120°（O为坐标原点），∴A（3）∴△AKF的面积是故答案为：【点评】本题以抛物线的性质为载体，考查三角形面积的计算，求出点A的坐标是关键．14.在ΔABC中，A、B、C是三个内角，C=30°，那么的值是_____________。.参考答案：略15.已知平面α∥β，，有下列说法：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直.其中正确的序号为

参考答案：②16.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0(k≠0)的解，则k的取值范围是________．参考答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)略17.如图，设是正方形外一点，且平面，其它线面垂直还有

个；若，则直线与平面所成角的大小为

．

参考答案：4

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，侧棱AA1⊥平面ABC，E，F分别为A1B1，A1C1的中点．（Ⅰ）求证：B1C1∥面BEF；（Ⅱ）过点A存在一条直线与平面BEF垂直，请你在图中画出这条直线（保留作图痕迹，不必说明理由）．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用已知及三角形的中位线定理可证EF∥B1C1，进而利用线面平行的判定定理即可得证．（Ⅱ）利用线面垂直的性质及判定定理即可作图得解．【解答】（本题满分8分）证明：（Ⅰ）∵E，F分别为A1B1，A1C1的中点，∴EF∥B1C1．又∵EF?面BEF，B1C1?面BEF，∴B1C1∥面BEF．

…（Ⅱ）作图如下：…（8分）【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理，线面平行的判定定理，线面垂直的性质及判定定理的综合应用，考查了数形结合思想，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19.如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，且，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、．①求证：直线经过一定点；②试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：（Ⅰ）依题意，，则，∴，又，∴，则，∴椭圆方程为．（Ⅱ）①由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，由得或∴，用去代，得，方法1：，∴：，即，∴直线经过定点．方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，当时，，，此时直线经过轴上的点，∵∴，∴、、三点共线，即直线经过点，综上所述，直线经过定点．②由得或∴，则直线：，设，则，直线：，直线：，假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，则由（）得对恒成立，则，由（）得，对恒成立，当时，不合题意；当时，，得，即，∴存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为．解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得．略20.直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】直线的一般式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）通过讨论2﹣a是否为0，求出a的值即可；（2）根据一次函数的性质判断a的范围即可．【解答】解：（1）当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等，∴a=2，方程即3x+y=0；若a≠2，则=a﹣2，即a+1=1，∴a=0即方程为x+y+2=0，∴a的值为0或2．（2）∵过原点时，y=﹣3x经过第二象限不合题意，∴直线不过原点∴a≤﹣1．【点评】本题考查了直线方程问题，考查分类讨论，是一道基础题．21.在平面直角坐标系xOy中，已知圆的圆心为M，过点P（0，2）的斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点A、B．（1）求k的取值范围；（2）是否存在常数k，使得向量与平行？若存在，求k值，若不存在，请说明理由．参考答案：解析：（1）圆的方程可化为，直线可设为，方法一：代入圆的方程，整理得，因为直线与圆M相交于不同的两点A、B，得

；方法二：求过点P的圆的切线，由点M到直线的距离=2，求得，结合图形，可知．（2）设，，因P（0，2），M（6，0），=，，向量与平行，即 ①．由，，，代入①式，得，由，所以不存在满足要求的k值．22.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】应用题．【分析】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，（I）A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，代入古典概率的求解公式可求（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，代入古典概率的求解公式可求【解答】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．

（Ⅰ）设“取出的两个