山西省大同市燕子山矿中学2022年高三数学理测试题含解析

山西省大同市燕子山矿中学2022年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线的焦点到准线的距离是（）

A．2

B．4

C．

D．参考答案：C试题分析：由抛物线的方程可化为，知，所以焦点到准线的距离为，故正确答案为C.考点：抛物线的方程、焦点、准线.2.若x≥0，y≥0，且x+2y=1，则2x+3y2的最小值是（）A．2 B． C． D．0参考答案：B【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】由题设条件x≥0，y≥0，且x+2y=1，可得x=1﹣2y≥0，从而消去x，将2x+3y2表示成y的函数，由函数的性质求出最小值得出答案【解答】解：由题意x≥0，y≥0，且x+2y=1∴x=1﹣2y≥0，得y≤，即0≤y≤∴2x+3y2=3y2﹣4y+2=3（y﹣）2+，又0≤y≤，y越大函数取到的值越小，∴当y=时，函数取到最小值为故选B3.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位

B．向右平移个单位C．向右平移个单位

D．向左平移个单位参考答案：C因为，所以只需将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，故选择C。4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．

B．C． D．参考答案：B5.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到图象．若，且，则的最大值为A.π

B.2π

C.3π

D.4π参考答案：C将函数的图象向左平移个单位，得到，再向上平移1个单位，得到因为，g(x)的最大值为3，所以=3，因为，所以所以所以的最大值为故选C.

6.已知，，，则三者的大小关系是（

）.A、

B、

C、

D、参考答案：A7.函数的图象与函数的图象有三个不相同的交点，则实数的取值范围是（

）A．(-2,-1)

B．(-1,0)

C．(0,1)

D．(1,2)参考答案：B8.已知f（x）=3sin2x+acos2x，其中a为常数．f（x）的图象关于直线对称，则f（x）在以下区间上是单调函数的是(

)A．[﹣π，﹣π] B．[﹣π，﹣π] C．[﹣π，π] D．[0，π]参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】先将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得f（x）=2sin（2x+），根据正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由题意知：y=3sin2x+acos2x=sin（2x+φ），当x=时函数y=3sin2x+acos2x取到最值±，将x=代入可得：3sin（2×）+acos（2×）==±，解得：a=，故f（x）=3sin2x+cos2x=2sin（2x+），由于[﹣π，﹣π]∈[﹣，﹣]，根据正弦函数的图象可知函数在[﹣π，﹣π]上是单调递减的，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，考查了三角函数的单调性，属于中档题．9.已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.已知P、A、B、C是球面上四点，,则A、B两点间的球面距离是

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知展开式中第4项为常数项，则展开式的各项的系数和为

参考答案：答案：12.已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是．参考答案：13.已知数列{an}满足，，则

．参考答案：由，同时除以可得.即是以为首项，为公差的等差数列.所以，即.故答案为：.

14.△的三个内角、、所对边的长分别为、、，已知,

则的值为

.参考答案：略15.在直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是

．参考答案：线段的斜率，中点坐标为。所以线段的垂直平分线的斜率为，所以OA的垂直平分线的方程是y?，令y=0得到x=．所以该抛物线的准线方程为.16.①函数y=sin在[0，]上是减函数；

②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x－y=0的两侧；

③数列{an}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{an}的前n项和为Sn，则当n=4时，Sn取得最大值； ④定义运算，则函数f（x）=

的图象在点（1，）处的切线方程是6x－3y－5=0．

其中正确命题的序号是

（把所有正确命题的序号都写上）．参考答案：略17.设二项式的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为q，且p+q=272，则n的值为

。参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量,函数．（1）求函数的最小正周期;（2）已知分别为内角A，B，C的对边,其中Ａ为锐角,,且,求Ａ，和的面积Ｓ．参考答案：解:（Ⅰ）因为,所以（Ⅱ）因为，所以，则，所以，即则从而略19.心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选情况如下表：（单位：人）

几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5---7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（3）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式0.150.100.050.0250.0100，0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：（1）由表中数据得的观测值，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种，∴可能取值为0，1，2，，，的分布列为：012∴20.（14分）

设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为，长轴长为，设过右焦点F倾斜角为的直线交椭圆M于A，B两点。

（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）求证|AB|=；（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB|+|CD|的最小值。参考答案：解析：（Ⅰ）所求椭圆M的方程为…3分

（Ⅱ）当≠，设直线AB的斜率为k=tan，焦点F(3,0)，则直线AB的方程为 y=k(x–3)

有(1+2k2)x2–12k2x+18(k2–1)=0 设点A(x1,y1),B(x2,y2)

有x1+x2=,x1x2= |AB|=

**…6分 又因为

k=tan=

代入**式得 |AB|=

…………8分 当=时，直线AB的方程为x=3，此时|AB|=………………10分 而当=时，|AB|==

综上所述

所以|AB|=

（Ⅲ）过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D， 同理可得

|CD|==

………12分 有|AB|+|CD|=+= 因为sin2∈[0，1]，所以当且仅当sin2=1时，|AB|+|CD|有最小值是

…………14分21.参数方程表示什么曲线？参考答案：解析：显然，则

即得，即22.已知函数．（1）求函数的单调区间。（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？参考答案：解：（1）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；