高中数学高考一轮复习一轮复习 二次函数与一元二次方程不等式

课时作业(五)二次函数与一元二次方程、不等式一、单项选择题1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B等于()A．(0，2) B．(－1，0)C．(－3，2) D．(－1，3)B[A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－3<x<0}，∴A∩B＝(－1，0).故选B.]2．不等式eq\f(2,x＋1)<1的解集是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－1，1)A[因为eq\f(2,x＋1)<1，所以eq\f(2,x＋1)－1<0，即eq\f(1－x,x＋1)<0，该不等式可化为(x＋1)(x－1)>0，所以x<－1或x>1.]3．不等式(2x－1)(1－|x|)<0成立的充要条件是()A．x>1或x<eq\f(1,2) B．x>1或－1<x<eq\f(1,2)C．－1<x<eq\f(1,2) D．x<－1或x>eq\f(1,2)B[原不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1>0，,1－|x|<0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1<0，,1－|x|>0.))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)，,x>1或x<－1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)，,－1<x<1.))所以x>1或－1<x<eq\f(1,2).故选B.]4．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A．[2，－∞) B．(－∞，－6]C．[－6，2] D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)D[由关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，得对应方程x2－ax－a＋3＝0有实数根，即Δ＝a2＋4(a－3)≥0，解得a≥2或a≤－6，所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).故选D.]5．在R上定义运算⊗：a⊗b＝ab＋2a＋b，则满足x⊗(x－2)<0的实数x的取值范围为()A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2}B[∵x⊗(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，∴x2＋x－2<0，即(x－1)(x＋2)<0，解得－2<x<1，故选B.]6．已知命题p：eq\f(1,a)>eq\f(1,4)，命题q：∀x∈R，均有ax2＋ax＋1>0，则p成立是q成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[若命题p成立，则由eq\f(1,a)>eq\f(1,4)，得0<a<4.若命题q成立，则当a＝0时，1>0，显然成立；当a≠0时，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－4a<0，))解得0<a<4.所以若命题q成立，则0≤a<4.所以命题p成立是命题q成立的充分不必要条件．故选A.]7．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价p(元)之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本为c(元)，其中c＝500＋30x(元)，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是()A．{x|20≤x≤30，x∈N} B．{x|20≤x≤45，x∈N}C．{x|15≤x≤30，x∈N} D．{x|15≤x≤45，x∈N}B[设该厂每天获得的利润为y元，则y＝Px－c＝(160－2x)·x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，0<x<80，x∈N.根据题意知，－2x2＋130x－500≥1300，解得20≤x≤45，x∈N.所以当20≤x≤45，x∈N时，每天获得的利润不少于1300元，故选B.]8．若不等式x2－(a－1)x＋a≤0的解集是[－4，3]的子集，则a的取值范围是()A．[－4，1] B．[－4，3]C．[1，3] D．[－1，3]B[原不等式为(x－a)(x＋1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解集为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3，综上可得－4≤a≤3.]二、多项选择题9．下列四个不等式中，解集为∅的是()A．－x2＋x＋1≤0B．2x2－3x＋4<0C．x2＋3x＋10≤0D．－x2＋4x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(4,a)))>0(a>0)BCD[对于A，－x2＋x＋1≤0对应函数y＝－x2＋x＋1开口向下，显然解集不为∅；对于B，2x2－3x＋4<0，对应的函数开口向上，Δ＝9－32<0，a其解集为∅；对于C，x2＋3x＋10≤0，对应的函数开口向上，Δ＝9－40<0，a其解集为∅；对于D，－x2＋4x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(4,a)))>0(a>0)对应的函数开口向下，Δ＝16－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(4,a)))≤16－4×2eq\r(a×\f(4,a))＝0，其解集为∅.故选BCD.]10．解关于x的不等式：ax2＋(2－4a)x－8>0，下列说法正确的是()A．当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}B．当a>0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>4或x<－\f(2,a)))C．当a＝－eq\f(1,2)时，不等式的解集为RD．当a＝－1时，不等式的解集为{x|2<x<4}ABD[不等式ax2＋(2－4a)x－8>0可化为(ax＋2)(x－4)>0，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>4}，故A正确；当a>0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>4或x<－\f(2,a)))，故B正确；当a＝－eq\f(1,2)时，不等式为eq\f(1,2)x2－4x＋8<0，Δ＝(－4)2－4×eq\f(1,2)×8＝0，不等式的解集为空集，故C错误；当a＝－1时，不等式为x2－6x＋8<0，不等式的解集为{x|2<x<4}，故D正确．]11．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)()A．若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，则k＝－eq\f(2,5)B．若不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R，x≠\f(1,k)))，则k＝eq\f(\r(6),6)C．若不等式的解集为R，则k<－eq\f(\r(6),6)D．若不等式的解集为∅，则k≥eq\f(\r(6),6)ACD[对于A，因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝eq\f(2,k)，解得k＝－eq\f(2,5)，故A正确；对于B，因为不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，x≠\f(1,k)))))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2＝0，))解得k＝－eq\f(\r(6),6)，故B错误；对于C，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝4－24k2<0，))解得k<－eq\f(\r(6),6)，故C正确；对于D，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝4－24k2≤0，))解得k≥eq\f(\r(6),6)，故D正确．故选ACD.]12．若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是()A．b<0且c>0B．a－b＋c>0C．a＋b＋c>0D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)ABD[对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝eq\f(b,a)，－1×2＝eq\f(c,a)，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确。令f(x)＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知f(1)＝a－b＋c>0，所以B正确；对于C，f(－1)＝a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，所以x1＋x2＝－eq\f(b,a)＝－1，x1x2＝eq\f(c,a)＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)，所以D正确．]三、填空题13．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________．解析：由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1.答案：{m|m≥9或m≤1}14．若a<0，则关于x的不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－a2<0，,x2－ax－2a2<0))的解集为________________．解析：因为a<0，所以由ax－a2＝a(x－a)<0，得x>a.由x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)<0，得2a<x<－a.所以原不等式组的解集为(a，－a).答案：(a，－a)15．设函数f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(1，5)，则f(x)＝____________；若对于任意x∈[1，3]，不等式f(x)≤2＋t有解，则实数t的取值范围为____________．解析：由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－eq\f(b,2)＝6，eq\f(c,2)＝5，解得b＝－12，c＝10，所以f(x)＝2x2－12x＋10.不等式f(x)≤2＋t在x∈[1，3]时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在x∈[1，3]时有解，只要t≥(2x2－12x＋8)min即可，不妨设g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1，3]，则g(x)在[1，3]上单调递减，所以g(x)≥g(3)＝－10，所以t≥－10.答案：2x2－12x＋10[－10，＋∞)16.某单位在对一个长800m，宽600m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示