测量学第二章-测量误差和数据分析

第1章

测试技术的基本知识第1篇：测试技术基础第2章

测量误差和数据处理2.1测量误差2.2测量误差的来源2.3误差的分类2.4随机误差分析2.5系统误差分析2.6间接测量的误差传递与分配2.7误差的合成2.8测量数据的处理2.9最小二乘法第2章：测量误差和数据处理授课时间：4学时主要内容：测量误差、来源及分类、随机误差和系统误差分析、间接测量的误差传递和分配、误差的合成、测量数据的处理重点与难点：误差分析、传递、分配、合成和测量数据的处理。第2章：测量误差和数据处理1.为什么测量结果都带有误差？2.为什么方差和标准差可以描述测量的重复性或被测量的稳定性？3.什么是真实值？应用中如何选择？4.误差的来源一般如何考虑？5.试验中为什么要进行多次测量？思考？§2.1：测量误差2.1.1误差2.1.2误差的表示方法真值A0一个物理量在一定的条件下所呈现的客观大小或真实数值。2.1.1误差理想的测量仪器?无误差测量？物理量的真值是无法测量指定值As(计量基准)一般由国家设立各种尽可能维持不变的实物标准（基准），以法定的形式指定其所体现出来的量值作为计量单位的指定值。指定值也叫约定真值，一般用来代替真值。2.1.1误差实际值A也叫相对真值，在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值。如果更高一级测量器具的误差为本级测量器具误差的1/3～1/10，就可以认为更高一级测量器具的测量值为真值。2.1.1误差标称值测量器具上标定的数值称为标称值。标称值并不一定等于它的真值或实际值。在标出测量器具的标称值时，通常还要标出它的误差范围或准确度等级。2.1.1误差示值也称测量器具的测得值或测量值，测量器具指示的被测量量值，包括数值和单位。与测量仪表的读数存在区别。比如：100分度表表示50mA的电流表，指针指在刻度盘的50处时，读数是50，而值是25mA。在记录测量数据时，需要记录仪表量程、读数和示值。数字显示仪表，示值和读数是统一的。2.1.1误差电流表电压表测量误差测量仪器仪表的测得值与被测量真值之间的差异，称之为测量误差。测量器具不准确测量手段不完善环境影响测量操作不熟练工作疏忽等2.1.1误差单次测量单次测量是用测量仪器对待测量进行一次测量的过程。单次测量不能反映测量结果的精密度。给出被测量的大致概念和规律。多次测量多次测量是用测量仪器对同一被测量进行多次重复测量的过程。依靠多次测量可以观察测量结果的一致性。通常要求较高的精密测量都须进行多次测量。2.1.1误差等精度测量在保持测量条件不变的情况下对同一被测量进行的多次测量过程称为等精度测量。等精度测量的测量结果具有同样的可靠性。非等精度测量如果在同一被测量的多次重复测量中，不是所有的测量条件都是维持不变的，称为非等精度测量。有时为了验证某些结果或结论，研究新的测量方法，检定不同的测量仪器也要进行非等精度测量。2.1.1误差绝对误差Δx2.1.2误差的表示方法绝对误差测量值实际值人体体温：37±2℃炉窑炉温：1400±2℃

特点：有量纲有符号有方向恒不为零测量仪表的绝对误差2.1.2误差的表示方法

修正值c与绝对误差的绝对值相等符号相反；由上级标准给出，可以是表格、曲线或函数表达式可以得到被测量的实际值A为实际值x为标称值某温度表测得温度示值为120.1℃，查温度表鉴定书得知该温度表在120.1℃及其附近的修正值为－0.1℃，则被测量的实际值？举例测量值：x＝120.1℃修正值：c＝－0.1℃实际值：A＝x+c＝120.0℃实际相对误差2.1.2误差的表示方法示值相对误差/标称相对误差满度相对误差/满度误差/引用误差2.1.2误差的表示方法

满度误差实际上给出了仪表量程内绝对误差的最大值。

仪表准确度等级S按照满度误差分级，0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5及5.0举例：某电压表S＝0.5，表明准确度等级为0.5，即满度误差不超过0.5级，即|γm|≤0.5% 或γm＝±0.5％例2.1.1某电压表S＝1.5，试算出它在0～100V量程中的最大绝对误差。解：由题知

仪器满度值xm＝100V

准确度等级S＝1.5

即满度误差γm＝±1.5％

则最大绝对误差Δxm＝±1.5%×100＝±1.5V例题误差整量化处理：认为仪器在同一量程各处的绝对误差为常数且等于最大绝对误差Δxm。例2.1.2某1.0级压力表，满度值xm＝1.00MPa，求测量值分别为x1＝1.00MPa，x2＝0.80MPa，x3＝0.20MPa时的绝对误差和示值相对误差。

例题绝对误差示值相对误差例2.1.3要测量100℃的温度，限于现有0.5级、测量范围为0～300℃和1.0级、测量范围为0～100℃的两种温度计，试选择合适的温度计。

例题0～300℃0～100℃为了减小测量误差，尽量选择使示值接近量程的仪表，一般以示值不小于满度值的2/3为宜；同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大；仪表的准确度并不是测量结果的准确度，只有在示值与满度值相同时，二者才相等，否则测得值的准确度要低于仪表的准确度等级；实际中需要选择合适量程的仪表，以减小示值相对误差。

结论练习题某台温度仪表的标尺范围为0-500℃，精度等级为1.0级，已知其绝对误差最大值为6℃，问该仪表是否合格？某台0-1000℃的温度显示仪表，工艺上要求指示误差不超过7℃，问如何确定该仪表的精度？现有2.5级、2.0级、1,

5级三块测温仪表，测量范围分别为-100~500℃、-50~550℃、0~1000℃，现要测量500℃的温度，其测量值的相对误差不超过2.5%，问选哪块仪表最合适？§2.2：测量误差的来源2.2.1仪器误差2.2.2人身误差2.2.3影响误差2.2.4方法误差仪器误差又称设备误差，是由于设计、制造、装配、检定等的不完善以及仪器使用过程中元器件老化、机械部件磨损、疲劳等因素而使测量仪器带有的误差。细分读数误差内部噪声误差稳定误差动态误差等2.2.1仪器误差减小仪器误差的主要途径：根据测量任务，正确的选用合适的测量方法和使用测量仪器，在额定的使用工作条件下按照使用要求进行操作。对于数字式仪器，尽量使显示设备显示尽可能多的有效数字。人身误差主要指测量者感官的分辨能力、视觉疲劳、固有习惯等而对测量实验中的现象与结果判断不准确而造成的误差。减小人身误差的主要途径提高测量者的操作技能和工作责任心，采用更合适的测量办法，采用数字式仪表避免读数视差。2.2.2人身误差影响误差指各种环境与要求条件不一致造成的误差；当环境条件符合要求时，影响误差通常可以忽略不计；当对于精密测量和计量而言，需要根据现场的温度、压力、湿度、电源电压等影响值求出各项影响误差。2.2.3影响误差方法误差测量方法不当测量设备操作使用不当测量所依据的理论不严格测量计算公式不适当简化方法误差修正方法误差通常以系统误差（恒值系统误差）形式表现出来，原则上是可以通过理论分析和计算或改变测量方法加以消除或修正。2.2.4方法误差§2.3误差的分类2.3.1系统误差2.3.2随机误差2.3.3粗大误差系差在多次等精度测量同一恒定量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或当条件改变时按照某种规律变化的误差。分类恒定系差：大小和符号保持不变变值系差累进性系差周期性系差按复杂规律变化系差2.3.1系统误差系差ε时间/tabcd体现了测量的正确度系差特点测量条件不变，系差为确切数值；多次测量取平均值的办法不能改变或消除系差；条件改变时，系差也随之改变，具有重复性。产生系差原因测量仪器设计原理及制作缺陷；测量时的环境条件与仪器仪表使用要求不一致等；采用近似的测量方法或近似的计算公式；测量人员估计读数时习惯等。2.3.1系统误差随机误差又称偶然误差，是指对同一恒定量值进行多次等精度测量时，其绝对值和符号无规则变化的误差。随机误差特点有界性：多次测量中误差绝对值的波动有一定的界限；对称性：测量次数足够多时，正负误差出现的机会几乎相等；抵偿性：正负误差的算术平均值趋于零。2.3.2随机误差基于随机误差特点，可以对多次测量取平均值的办法减小随机误差的影响。体现了测量的精密度2.3.2随机误差随机误差产生原因测量仪器元件产生噪声，零部件配合的不稳定、摩擦、接触不良等；温度即电源电压的无规格波动，电磁干扰，地基震动等；测量人员感官器官的无规则变化而造成的读数不稳定。2.3.2随机误差2.3.3粗大误差粗大误差也称疏失误差，在一定的测量条件下，测量值明显地偏于实际值所形成的误差。产生粗大误差原因测量方法不当或错误；测量操作疏忽和失误；测量条件的突然变化。三种误差之间误差三种误差之间关系粗大误差随机误差系统误差测量结果系差和随机误差关系系差和随机误差关系同时存在，具体问题，具体分析；系统误差远大于随机误差，按照纯粹系差处理；系统误差极小或已得到修正，此时可以按照纯粹随机误差处理；系统误差和随机误差相差不远，两者均不可忽略，则应按照不同的办法处理。§2.4随机误差分析2.4.1随机误差定义2.4.2测量值的数学期望和标准差2.4.3误差正态分布规律2.4.4随机误差的表达形式2.4.5标准偏差的计算2.4.6算术平均值的标准差和标准差的标准差2.4.7有限次测量结果的表达2.4.1随机误差的定义定义在相同条件下，多次重复测量同一个物理量，以不可预定的方式变化的测量误差的分量称为随机误差。特点随机性不能修正不能完全消除，只能加以减小或限制。因此，要想得到正确的测量结果，必须经过多次重复测量。理论基础：概率论和数理统计2.4.2测量值的数学期望和标准差样本平均值n个测量值的算术平均值（n次等精度测量）数学期望测量次数n趋于无穷大时，样本平均值的极限定义为测量值的数学期望。2.4.2测量值的数学期望和标准差随机误差假设上述测量不含系统误差和粗大误差，则测量值与真值之间的绝对误差即为随机误差。随机误差的算术平均值由于随机误差的补偿性，随机误差的数学期望值为零。测量值的数学期望等于被测量真值2.4.2测量值的数学期望和标准差随机误差有限次测量，当测量次数足够多时近似认为实际测量工作中，将多次测得值的算术平均值称之为被测量的最佳估值或最可信赖值！2.4.2测量值的数学期望和标准差剩余误差/残差当进行有限次测量时，各次测量值与算术平均值之差，定义为剩余误差或残差。残差的代数和为零，可以用来检验计算的算术平均值是否正确，当进行无穷多次测量时，残差即为随机误差！两边分别求和2.4.2测量值的数学期望和标准差样本方差方差定义为测量次数无穷大时测量值与期望值之差的平方的统计平均值，即标准差为了与随机误差单位一致，上式两边开方得到测量值的标准误差或均方根误差，也称标准偏差。2.4.3误差正态分布规律正态分布规律－高斯分布Exφ(x)φ(δ)δ测量值在数学期望值上出现的概率最大等于零的随机误差出现的概率最大2.4.3误差正态分布规律测量值的概率密度函数随机误差的概率分布函数概率密度函数正态分布概率密度函数2.4.3误差正态分布规律随机误差特征绝对值小的误差出现的概率大，反之则小——有界性；大小相等，符号相反的误差出现的概率相等——对称性和抵偿性；正态分布曲线愈尖锐，表明测量值越集中，精密度高，反之则低；2.4.4随机误差的表达形式剩余误差v最大绝对误差U标准偏差σ2.4.4随机误差的表达形式算术平均误差θ算术平均误差θ与标准差之间关系2.4.4随机误差的表达形式算术平均误差θ与标准差之间关系（续）θ＝0.7979σ＝4σ/5对应置信区间为57.62%2.4.4随机误差的表达形式或然误差(中值误差)

ρ或或然误差ρ与标准差关系ρ＝0.674489σ＝2σ/3对应置信区间为50%2.4.4随机误差的表达形式极限误差δlim[-σ,+σ][-2σ,+

2σ][-3σ,+3σ]即：即测得值xi的置信区间为[Ex－3σ，Ex＋3σ]时的置信概率分别为0.997，因此定义Δ＝3σ为极限误差，或称最大误差。2.4.4随机误差的表达形式2.4.4随机误差的表达形式莱特准则δlim按照|δi|>3σ来判断坏值的前提：大量等精度测量测量数据满足正态分布极限误差和最大误差区别最大绝对误差的定义是不超过，极限误差定义说明测量误差有可能超过，只是概率很小。2.4.4随机误差的表达形式极差R测量序列中测量值的最大值和最小值之差的绝度值：评价测量序列的精度极限误差、标准偏差、算术平均偏差、或然误差置信限大小置信概率2.4.5标准偏差的计算极差法n2345678910d1.141.912.242.482.672.832.963.083.19d：转换因子，随测量次数n不同而异2.4.5标准偏差的计算标准偏差的极大似然估计标准偏差的极大似然估计是有偏估计2.4.5标准偏差的计算贝塞尔公式计算n>1，计算标准偏差时常用的公式2.4.5标准偏差的计算标准偏差的无偏估计即根据贝塞尔公式求得标准差的估计值，乘以修正系数，得到标准偏差的无偏估计！2.4.6算术平均值和标准差的标准差算术平均值的标准差2.4.6算术平均值和标准差的标准差相关结论在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的倍，测量次数越大，算术平均值越接近被测量的真值，测量精度也越高；N次重复测量的算术平均值服从以真值为中心，以为方差的正态分布；算术平均值的分布范围是单次测量值的分布范围的，即其测量精度提高了倍。2.4.6算术平均值和标准差的标准差标准差的标准差或当n＝8时当n＝100时2.4.6算术平均值和标准差的标准差相关结论当n较大时，所求出的标准差比n较小时求出的更可靠，说明估计值密集在标准差周围的比较多；总的来说，估计值并不精密，用贝塞尔公式求出的标准差的有效数字最多取两位。2.4.7有限次测量的表达算术平均值的标准差算术平均值的极限误差测量结果表示2.4.7有限次测量的表达有限次测量时测量值的标准差测量平均值的标准差算术平均值标准差的最佳估计2.4.7有限次测量的表达测量结果的处理举例例2.4.1用温度表对某一温度测量10次，设已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下表，试给出最终测量结果表达式§2.5系统误差分析2.5.1系统误差的特性2.5.2系统误差的判断2.5.3消除系统误差产生的根源2.5.4消除系统误差的典型测量技术2.5.5消除系统误差的其他方法2.5.1系统误差的特性

排除粗差后设系差为恒值随机误差抵偿性由此可见：系差与随机误差同时存在，若测量次数足够多，则各次测量绝对误差的算术平均值等于系差。2.5.2系统误差的判断理论分析法凡属于测量方法或测量原理引入的误差，可通过对测量方法的定性定量分析发现系统误差，甚至计算出系统误差的大小。校准和比对法可用准确度更高的测量仪表进行重复测量以发现系统误差。用多台同型号仪器进行比对，观察比对结果以发现系差，但通常不能察觉和衡量理论误差。2.5.2系统误差的判断改变测量条件法系差常与测量条件有关，改变测量条件，根据对分组测量数据的比较，有可能发现系差。剩余误差观察法根据测量数据数列出各个剩余误差的大小、符号和变化规律，以判断有误系差及类型。2.5.3消除系差产生的根源消除系差产生的根源采用的测量方法和测量原理正确；选用的仪器仪表类型正确，准确度满足测量要求；测量仪器定期检定、校准，测量前正确调零，按照操作规范正确使用仪表；条件允许时，可尽量用数字显示仪器代替指针式仪器；提高测量人员的学识水平，操作技能，去除不良习惯。2.5.4消除系差的典型测量技术零示法XPSPEsRsR1R2UxUsIp被测量仅与标准量有关2.5.4消除系差的典型测量技术替代法PER1R2RxR3Rs可见，测量误差仅取决于标准电阻Rs的误差2.5.5消除系差的其他方法利用修正值或修正因数加以消除利用测量仪器检定书中给出的校正曲线、校正数据或校正公式进行修正。随机化处理同一被测量用多台测量仪器测量，取测量值的平均值作为测量结果。2.5.5消除系差的其他方法智能仪器中系统误差的消除直流零位校准（万用表校准）自动校准2.5.5消除系差的其他方法课后习题4，6，7，9，17，182.1测量误差2.2测量误差的来源2.3误差的分类2.4随机误差分析2.5系统误差分析2.6间接测量的误差传递与分配2.7误差的合成2.8测量数据的处理2.9最小二乘法第2章：测量误差和数据处理1.误差合成和误差分配有何区别？2.在测试技术中，什么情况下用到误差分配？3.对含有粗大误差的异常值如何处理和判别？思考？§2.6：

间接测量的误差传递与分配2.6.1间接测量的误差传递2.6.2常用函数的误差传递2.6.3间接测量的误差分配2.6.1间接测量的误差传递误差传递已知每一个直接测量误差，求间接测量量的误差，即为误差传递。R——直接测量量l——直接测量量d——直接测量量ρ——间接测量量G——直接测量量T1——直接测量量T2——直接测量量Q——间接测量量2.6.1间接测量的误差传递间接测量的绝对误差2.6.1间接测量的误差传递间接测量的绝对误差（续）误差传递系数2.6.1间接测量的误差传递间接测量的相对误差两边同时除以y2.6.1间接测量的误差传递间接测量的标准差前提是测量列只含随机误差2.6.1间接测量的误差传递间接测量的标准差（续）2.6.1间接测量的误差传递间接测量的标准差（续）2.6.1间接测量的误差传递间接测量的标准差（续）2.6.1间接测量的误差传递间接测量的标准差（续）2.6.1间接测量的误差传递间接测量的标准差（续）定义相关系数2.6.1间接测量的误差传递间接测量的标准差（续）测量次数足够多随机误差相互独立相关系数＝02.6.1间接测量的误差传递间接测量的误差传递公式取y的极限误差Δy2.6.1间接测量的误差传递等精度多次测量的间接测量量的误差传递公式绝对误差形式相对误差形式2.6.2常用函数的误差传递和差函数的误差传递误差符号不能确定2.6.2常用函数的误差传递和差函数的误差传递（续）2.6.2常用函数的误差传递和差函数的误差传递（续）对于差函数，当测得值非常接近时，可能造成很大误差！例题例2.6.1已知电阻R1＝1KΩ，R2＝2KΩ，相对误差均为5％，求串联后的相对误差。解：串联后电阻R＝R1＋R2由和函数误差传递可知相对误差相同的电阻串联后总电阻的相对误差与单个电阻相等例题例2.6.2用温度表测量散热器进出口水温差，温度表满量程为100℃，准确度为±1％，测得进口水温T1为65℃，出口水温T2为60℃，试计算温差T＝T1－T2的相对误差。解：温度表最大绝对误差为±1%×100℃＝±1℃

进口水温T1的最大相对误差为±1℃/65℃≈±1.5%出口水温T1的最大相对误差为±1℃/60℃≈±1.7%虽然所用温度表相对误差小，但测量结果误差大2.6.2常用函数的误差传递积函数误差传递2.6.2常用函数的误差传递商函数误差传递2.6.2常用函数的误差传递幂函数误差传递例题2.6.3电流流过电阻产生的热量Q=0.24I2Rt，若已知γi＝±2％，γR＝±1％，γt＝±0.5％，求γQ？解：直接由积函数的误差传递公式得：2.6.3间接测量的误差分配已知要求总误差的前提，合理分配各误差分量。总误差误差分量误差分量误差分量选择合适仪表选择合适仪表选择合适仪表2.6.3间接测量的误差分配等作用原则分配误差2.6.3间接测量的误差分配极限误差表示形式例题例2.6.4设计一个简单的散热器热工性能实验装置，利用下式计算散热量，Q＝Lρc(t1-t2),设计工况为t1－t2＝25℃，L＝50L/h。最高不超过100℃，要求散热量的测量误差不超过10％，需要如何进行误差分配及选择测量仪表。依正态分布可写成误差限ΔQ的传递公式，两边同时除以Q2，1)根据标准误差传递公式，写出相对误差关系式例题2)按误差等作用原则进行误差分配有D≤7.1%，以此为选择仪表的依据例题3)选择测量仪表流量测量量程：40～400L/h，精度：1.5级温度测量量程：0～100℃，允许误差：±1.0℃现有仪表例题流量测量最大误差设计工况示值相对误差不满足要求温度测量设计工况示值相对误差例题选择上述仪表，则总误差为：要求误差总误差即：上述仪表不满足设计要求！更换设备例题重新选择流量计：量程：40～400L/h，精度：1.0级最大误差设计工况示值相对误差复核：选择上述仪表，则总误差为：§2.7：

误差的合成2.7.1随机误差的合成2.7.2系统误差的合成2.7.3随机误差与系统误差的合成2.7误差的合成实际测量中可能同时存在粗大误差、随机误差和系统误差；当剔除粗大误差后，决定测量准确度的是系统误差和随机误差，而测量的准确度是用总误差来度量的；误差合成：已知不同类型的单项误差求测量中的总误差即为误差合成问题。2.7.1随机误差的合成K个测量结果的随机误差彼此独立，则综合后误差的标准差：2.7.2系统误差的合成确定的系统误差的合成代数合成法：已知各系差的大小和符号绝对值合成法：可以估计系差绝对值大小，不能确定符号此法对于测量次数大于10时误差估计偏大2.7.2系统误差的合成确定的系统误差的合成（续）方和根合成法：可以估计系差绝对值大小，不能确定符号,且测量次数大于10当系差纯属于定值系统误差（大小及符号确定）时，可直接采用与定值系差大小相等，符号相反的量去修正例题例2.7.1使用弹簧管压力表测量管道压力，试计算系统误差。压力表p’ph管道流体压力测量示意图已知条件：压力表S＝0.5量程0～600kPa刻度分度值2kPah＝0.5m示值300kPa指针摆动±1格环境温度30℃（20℃使用，每偏1℃造成附加误差为基本误差4%）例题仪表基本误差：环境温度附加误差：安装位置误差：读数误差：系统总误差：相对误差：例题方和根合成法：相对误差：2.7.2系统误差的合成不确定的系统误差的合成线性相加法：方根合成法：测量次数q小于10标准差方根合成法：2.7.3随机误差和系统误差的合成随机误差的极限误差：k个独立的随机误差确定系统误差：m个确定的系统误差不确定系统误差：q个不确定的系统误差测量结果综合误差：§2.8：

测量数据的处理2.8.1有效数字的处理2.8.2等精度测量结果的处理2.8.1有效数字的处理有效数字从误差的观点定义近似值的有效数字；末位数字是个位，则包含的绝对误差不大于0.5；末位是十位，则包含的绝对误差不大于5；对于绝对误差不大于末位数字的一半，从它左边第一个不为0的数字起，到右边最后一个数字（包括零）止，都叫有效数字。2.8.1有效数字的处理3.1416五位有效数字Δ≤0.000053.142四位有效数字Δ≤0.00058700四位有效数字Δ≤0.587×102二位有效数字Δ≤0.5×1020.087二位有效数字Δ≤0.00050.807三位有效数字Δ≤0.0005可以发现：位于中间和末尾的零都是有效数字，位于第一个非零数字前面的0，都不是有效数字2.8.1有效数字的处理欠准数字测量结果最后一位是欠准确的估计值。决定有效数字位数的标准是误差。2.8.1有效数字的处理舍入规则：小于5舍，大于5入，等于5采取偶数法则最后面的数字大于0.5个单位，末位进1；最后面的数字小于0.5个单位，末位不变；恰为0.5个单位，则奇数进1，偶数不变。例如：12.34——12.3（4<5，舍去）12.36——12.4（4>5，进一）12.35——12.4（3是奇数，5入）12.45——12.4（4是偶数，5舍）2.8.1有效数字的处理有效数字的运算法则保留的位数原则上取决于各数中精度最差的那一项。加法运算原则：以小数点后位数最少的为准（无小数点则以有效数字最少者为准），其余各项可多取一位。减法运算原则：当相减两数相差甚远时，原则同加法。2.8.1有效数字的处理有效数字的运算法则：保留的位数原则上取决于各数中精度最差的那一项。乘除法运算原则：以有效数字位数最少的为准，其余参与运算的数字及结果中的有效数字位数与之相等2.8.1有效数字的处理有效数字的运算规则乘方、开方运算：运算结果比原数多保留一位有效数字。2.8.2等精度测量结果的处理对测量结果初步修正，列出表格求出算术平均值列出残差，验证计算结果列出残差平方，计算标准偏差按照极限误差剔除粗差和坏值所有残差小于极限误差判断有无系差，并给以修正、消除后重新测量算出平均值的标准差列出最后表达式2.8.2等精度测量结果的处理对某温度进行了16次等精度测量，测量数据已计入修正值，要求给出测量结果的表达式。nxivivi'(vi')21205.300.00+0.090.00812204.94-0.36-0.270.07293205.630.330.420.17644205.24-0.06+0.030.00095206.651.3506204.97-0.33-0.240.05767205.360.06+0.150.02258205.16-0.14-0.050.00259205.710.41+0.500.2510204.70-0.60-0.510.260111204.86-0.44-0.350.122512205.350.05+0.140.019613205.21-0.090.00014205.19-0.11-0.020.000415205.21-0.090.00016205.320.02+0.110.0121计算值205.300.000.002.8.2等精度测量结果的处理极限误差Δ＝1.332.8.2等精度测量结果的处理极限误差Δ＝0.812.8.2等精度测量结果的处理极限误差Δ＝0.81§2.9：

最小二乘法2.9.1最小二乘法的原理2.9.2线性经验公式的最小二乘法拟合2.9.3幂级数多项式的最小二乘法拟合2.9.4两种常用非线性模型的最小二乘法拟合2.9.5一般线性参数最小二乘法2.9.1最小二乘法原理基本原理：最小二乘法是指测量值与测量结果最佳值之差的平方和最小，即：等精度测量：算术平均值即为最佳值，各测量值与算术平均值之差的平方和最小；非等精度测量：最佳值为各测量值与算术平均值之差的加权平均值。2.9.1线性经验公式的最小二乘法拟合两个量x，y间有线性关系：(xn,yn)(x2,y2)(x1,y1)2.9.2线性经验公式的最小二乘法拟合